矩阵微分法.docx

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1、矩阵微分法在现代控制理论中，经常会遇到矩阵的微分(导数)，如对表达式而来说，由于4和8都可能是数量、向量或矩阵，可代表九种不同的导数。除数量函数对数量变量的导数外，还剩下八种。下面分别介绍八种导数的定义和运算公式。一、相对于数量变量的微分(自变量是数量变量，如时间t)定义1对于n维向量函数()=1(r)a2()an(t)定义它对t的导数为da(t)da(Z)da1(t)dall(t)出LdtdtdtJ(1.1)定义2对于nm维矩阵函数1)(012(04。=，;=KL%)/2(”ann(0定义它对t的导数为血血式，)T(E)Adtdtdtdtdtda,&如“UJ/rmLdtdtdt.(1-2)我

2、们不难看出,上述两个定义是一致的。当矩阵A(t)退化为向量a初寸，定义2就变为定义I0再退一步讲,当向量a(t)退化为数量函数a阴寸,定义1就变为一般的导数定义。这说明这样定义是合理的，是统一的。根据上述的两个定义，我们还可以推出下列的运算公式dUqdIdi(I-3)/A(f)=等4f)+4半为变量f的数量函数M)必)=誓B(，)+A(,)华这些公式都很容易证明，现证明最后一式(1-5),设矩阵和B(t)分别为nm和mI矩阵证：4(f) =au(t)d12(r)ain(t)a：心。“2(，)氏/)_Ixa)%bl2(t).bl(t)B=bi(t)b2(t)(r)1(0加(f)粼(0a；SbIQ

3、)aj(t)b(t)=Ixa)也(。1CSb从而根据矩阵导数定义2,有.A()3(3=国也证毕例1：求XIX对？的导数，其中Xa)X =11 anA =对称常系数矩阵习题1.若2.若3.若注：dXrdtdtAXR 珠X+A%=X7 A X+X A X = (X A X)r +X1 A X =X1AX + X1AX = 2XAX-(XX) = 2XAX dt(1-6)XZ X和X7 A X都是数量函数且A为对称阵，它们等于自己的转置。证明上式。Xa)吨,证明上式。Xla) 2(t-XAX求 力二、相对于向量的微分（自变量是向量X）1、数量函数的导数设函数/（X）=f（%,w,，月）是以向量X为自

4、变量的数量函数，即以n个变量X为自变量的数量函数。定义3xi我们将列向量LJ叫做数量函数f对列向量X的导数,记作df dX磔第 dxn. grad V/dfdXaf.dab+bxixi=+誓xxxl证毕dX其中X为n维列向量解：根据定义4G(X)=O1O市(X)dxrdXdxvdXr同理dX(XA)例4：求dX(1-14)注意：移乘作除要加转置(1-15)nm维常数阵J&，%，4为nl列向量因此xi=xz%Xa-(A=-(a-(Xa2根据定义PUdP“其中每一个列向量didX,dX因此有木二+出VI(1-16)-（xtA=A(1 -17 )推论：若2为nxn方阵，有d）例5:求d7Xn维列向量

5、，Bmn矩阵解：设类似可得：八）（1-18）例6:求二次型XlX对X的导数，4为对称方阵解：根据乘法运算公式（113）d/dXf,d(AX)(XAX)=-(AX)+-XdX、)dX7dXd(XAr=AX+L.=AX+AtXdX=(A+A)x=2AX(1 -19 )-(xA)=2AXdX,根据（I-Io）式da,X) da(X)dX L dXr .da(X) da,XdX =1_ dX（两边同取转置）AX)=乐 XTAX)= 2AXf =2XA例7:求函数47X对X的导数，其中力Ixn行向量，Ann常数阵，Xn维列向量解：AX=WAXy=XTA)-(AX=(XA)=ArCrXX，)因为47X是标

6、量，所以它与它的转置相等例8:求方程AXM的最小范数的平方解，其中4是mn阶常数矩阵，其秩为m（mn）,b为mXl常数列向量。解：这实际上就是求数量函数力=XJX=X1在约束条件研=6的条件极小值，采用拉格朗日乘数法，作函数FX=X-X+,AX-b)(X)(IX= 2X + A% = 0X=ArA -解出 2 代入约束方程AA1=b2其中AA是mm常数矩阵，根据给定条件，秩为m,其逆存在因而有：2(AAT)”代入X的表达式X=(AA,b可知所得的解是最小范数解。三、相对于矩阵的微分(自变量是矩阵)1、数量函数的导数设函数/=/（八）是以Pxm矩阵4的PXm元素%为自变量的数量函数，简称以矩阵A

7、为自变量的数量函数。例如/=4+(1+42)4：+(%+”22+423)%+“21+。22=k1俨a2=arAa=f（八）APaq02a21)a2a21)定义:PXm矩阵%M_叫S6ffMLdA(1 - 20 )定义：F（八）=U1（八）dZ（八）dAAU)；(1-22)(F（八）F（八）观”JF（八）=dAF（八）F（八）叫%J(1-23)其中每个分块矩阵(i,（八）里LrF（八）da*LiJ淄（八）如daU)ex7v例10：X是n维列向量，y是m维列向量，A是nm矩阵，求：解：根据矩阵乘法XAY=YYaijxiyjji三/=da；Xiyj根据数量函数导数的定义XAYA= X Y1(1 - 24 )顺便说一下，y是一个数量函数，与它的转置相等，即XIy=7yY=yR所以又有(YArX=XYA(1-25)四、复合函数的微分公式1设=w),丫=MX),则dfdYrdf=,dX(IXdYdfdfdYdXdYdX7(1-26)证明：由给定条件有“df.dY.df=-frdYdY=-dXdY和dX将上式结合起来df _ df dYd dY dX打dfdY.vdf7-,dX=dYdXy=y(x),则df=dfdYfdXXdXcY(1 - 27 )df_dffdYdXdXYdX