导数习题 答案.docx

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1、一.解答A1.(共9小愚)1 .已知a0,函数f()=Inx-ax2.x0.(I)求fX)的单调区间；(11若存在均属于区!叫1,3)的,6，且B-吟1,使f()=f(,证明方311.n2&(n-1)2,其中*2.3 .己知函数f求函数f(X)的单调区间和股值：(11)若m0.n0,a0,证明:f(m)+f(n)+am+n)In2f-1)上的最小值：(2)求证:X1.n,x1.n2时,恒有2e-y-2(1.+1.n2)x5 .设a为实数，函数f(x=e,-2x+2a,xR.(I)求f(X的单圜区间及极依；(2)求证：当a1.n2-I且x0时.cxx2-2ax+1.6 .已知函数f(X=In(x

2、+2)-a0.(1)求函数fX的单调区间：(2)若x-2.证明：(x+2)x+1.x+27 .已知函数f(x)=In(x+1.)-X.(I)求函数f(X)的单调递减区间；若-1.,证明：I-击V1.n(x+1.)0)X(1)当a=1.时,利用函数单调性的定义证明函数f(x)在(0.1内是单询减函数：(2)当x(0.+8)时fx21恒成立，求实数a的取值范围.9 .已知函数f(X-.X(I)当a0恒成立，求实效a的取值范阻.参考答案与试题解析一.解答(共9小1 .已知a0函数f(X)=InX-ax2,xO.(I)求f(X)的单调区间：(H若存在均展于区间U,3的,B，且B-S1.使f()=f(,

3、证明1.n3；1.a塔.OJ为利用导数求闭区间上函数的最低：利用导致探讨函数的单调性.点：专综合胭。分析:18：由f，(X)+2W中，XE(0),令3=。，解得,=.列表探讨旎求出f(X)的单周递增区间和单调速战区间.川)由f（八）=f()及的结论却a21.2a,从而f()在a,可上的殿小值为f.由6-aZ1.a.1.3,知1.a283.由此能够证明1.n3-1.n2111253解2答：(D解：F(x)=-2ax=1-,x(O,+).X2当X改变时，r。fX)的改变状况如下表：X(0,导华(号,+CO)/a/a/af(X)+0f(X)个极大i所以,f(X)的单询递增区间是(0,冬).f(X)的

4、单调速战区间是从而fX在a.上的最小值为f（八）.又由B-a21.a.1.,3,知1.a2f（八）1,1.n2-4a-avf(2)f(3)1.n2-4a1.n3-9a从而代写点本的考查函数单调区间的求法和利用导致求闭IX间上函数最值的应用,考查化归与评：转化、分类与整合的数学思想,培育学生的抽象概括实力.推理论证实力、运算求解实力和创新意识.2 .1.1.afi(f=x1.nx-2x+a.其中aR.(1)求f(x)的单词区间：(2)若方程f=0没有实极，求a的取值范围：(3)证明：1.n1.+21n2+31.n3+.+n1.nn(n-1)其中n2.苫.专版分W.不等式的综合：利用导数探讨函数的

5、IRiHi性：数学归纳法.证明鹿：媒合题：转化思想. 1)利用导数求出函数的极值，然后求f(X)的单园区间：(2)若方程f(X)力没有实根，由(1可汨fx在x=e处取得微小伯，且f(x)=O没有实根，即可求a的取值范困：0,XInX2x-3恒成立，即可证明1n1.+21n2+31.n3+.+n1nnn-1)2.方法二：利用数学归纳法验证n=2成立，然后通过假设，证明n=k+1.不等式也成马上可.解：(1)由即意可知：r(X)=Inx-1.令r(x)=0,寿x=e,(1分)则当x0.e)时，r0,f(X)单调递减；(2分)当XWe,2)时，f0,f(X)单调递墙(4分0,即a-eO,解褥：ac(

6、8分) 3)方法I：由得，令a=3e,f(x)=XInN-2x+30成立，则VxO,XInX2x-3忸成立(10分)故In1+21n2+31n3n1.nn=21.n2+31n3+n1.nn22-3)+(23-3)+24-3)+(2n 3)=2*(n+2)9tn-n-3(n-1.)=(n-I)2,即窗证.(14分)方法2：数学归熟法(I)当n=2at,In1.+21n21.2(3)成立：(4)当n=k时,In1.+21.n2+31n3+k1.nk(k-1)2成立，当n=k+1.时，In1.+21n2+31.n3+k1.nk+(k-1)2+(k+1.)In(k+1.同理令a=3e,x1.nx2x-

7、3.即(k+1.In(k+1.)2(k+1.)-3,(10分)则(k-1)2+(k-I)2+2In(k+1.)k2.Bf1.In1.+21.n2+31.n3k1.nk(k-1)2jn=k+1.也成立,综合(1)(n-I):恒成立.(14分)本翘足中档遨.考查函数的导致的应用,不等式的综合应用,数学归纳法的陶用.考杳计完实力，转化思想的应用.3 .已知函数f(X)=ax1.nx求函数f(x)的单调区间和最值:：11Zrm0.nO.aO,证明：f(m)+f(n)+am+n)1.n2fO,设把不等式左边化简得到ank1.nk+k+1.)设g(k)=k1.nk+g(1)=0.又-.a0,nQ,，左边-

8、右边20,得证.解解：(I.r=a1.nx+a(x0),令f(x)20,答当a0时，即InxZ-I=Ine1./.e-1=x-.+co).CC同理.令f(X40可徨(0,-.f(X)的调递增区间为1,+co),单调递减区间为(O,-1.由此可知尸f(X)iun=V)=U根大值.当aV0时，令(x)20即InXf-I=Ine1.x0,则m=kni-ti=a(m1.nmn1.nn(mn)1.n2-(mn)Inn(m+n)J=akn1.nkn+n1.nn+(k+1.)n1.n-7：-1=(k+1.)nakn1.nk+(k+1.)n1.nf=ank1.nk(k+1.)1.n-77-r(k+1.)(k+

9、1.)令g(k)=k1.nk+(k+1.)In-z,2,则(k+1.)2(k+1.)(k)=1.nk1.+1.nfJ(k+1.)22k1.nk+1.ng+1)=3(k+1.)XK十1/Z.g(k)g(I)=0,又.a0,n0,，左边-右边式)，得证.点考查学生利用导致探讨函数单调性的实力，利用导数求比区间上函数最值的实力，驾坡评证明不等式方法的实力.4 .已知函数f-1)上的最小值：(2)求证：X1.n-,x1.n2时，忸有2ec-2-2(1.+1.n2)x考.专卷分批解羯利用导致求闭区间上函数的最值：导数在最大伯、最小依问应中的应用.计算题；证明咫。(I)求出f(X)的导困数，令导函数为O求

10、出根，通过探讨根与定义域的关系，推断出函数的单词性，求出函数的最小(ft.(2)将不等式变形，构造新南数g(X).求出gx的号函数，通过推断导南数的符号推断出其单词性,进一步求出其最小tft得证.解(1)当f(X)=2cx-1=0.叫二尾当!D1.中,(7,1啖上递减,(呜，+8)上述墙，则f()的最小值为f(1.n=I-InA22(2) g()=2ex-2-2-(1.+1.n2)Xg(x)=2ex-x-I-1.n2=f(x)-1-1112由(1)知当111.ng时，f的最小值为f(1.n-)=1-1.n=1.+1.112所以当x1.n2时g0.g(X)在(In2,+)上总网递增.所以g(x)

11、g(In2)=2-I(1.n2)2-1.n20所以2e-2-2(1.+1.n2)x求函数在区间上的最值,常利用在函数推断出函数的利用性,选一步求出函数的M评：竹：证明不等式向超常速过构造新函数，转化为求解数的最值同Sfi5 .设a为实数,函数f()=cx-2x+2a.xR.(1)求f(X)的单调区间及极值：(2)求证；当a1.n2-1且x0时，exx2-2ax+1.考利用导数探讨函数的极值；分数在最大值、最小侑问题中的应用.点：专计算SS,18：分(1)f(x)=e*-2x+2a,xR.知6=/-2,xR.令f()=O,得x=1.n2.列折：衣探讨能求出f(x)的单调区间区间及极值.1.n2-1时,g,0.于是对随意xR,(X)0,所以g在R内或调递增.由此能膨证明cx1.2ax+1.解(1)斛：Vf(X)=et-2x+2a.xR.答：.rx)=cx-2.xR.令，(x)=0.得x=1.n2.于是当X改变时,F(X1,f(X)的改变状况如下表：X(