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1、专题06椭圆、双曲线、抛物线(含直线与圆锥曲线的位置关系)(考点清单)目录一、思维导图2二、知识回归2三、典型例题讲与练4考点清单Oh直线与圆锥曲线的位置关系4【考试题型D直线与圆锥曲线的位置关系的判断4【考试题型2】根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数6考点清单02:中点弦问题8【考试题型D中点弦问题8【考试题型2】中点弦问题10考点清单03:弦长(椭圆、双曲线)13【考试题型D求弦长(定值)13【考试题型2】求弦长(最值或范围)16【考试题型3】根据弦长求参数18考点清单04:弦长(抛物线)21【考试题型U抛物线非焦点弦问题21【考试题型2】抛物线焦点弦问题23考点清单05:圆锥曲线中的三角
2、形(四边形)面积问题25【考试题型D圆锥曲线中的三角形(四边形)面积(定值问题)25【考试题型2】圆锥曲线中的三角形(四边形)面积(最值或范围问题)28考点清单06:圆锥曲线中的向量问题32【考试题型D圆锥曲线中的向量问题32考点清单07:圆锥曲线中的定点问题35【考试题型D圆锥曲线中的定点问题35考点清单08:圆锥曲线中的定值问题37【考试题型D圆锥曲线中的定值问题37考点清单0%圆锥曲线中的定直线问题40【考试题型D圆锥曲线中的定直线问题40一、思维导图弦长二、知识回归知识点OL相交弦中点(点差法):直线与曲线相交,涉及到交线中点的题型,多数用点差法。按下面方法整理出式子,然后根据实际情况
3、处理该式子。主要有以下几种问题:(1)求中点坐标;(2)求中点轨迹方程;(3)求直线方程;(4)求曲线;,pwz、1+2y+y中点M(Xo,),=-2y0=2知识点02t点差法:设直线和曲线的两个交点A(X,%),B(X,为),代入椭圆方程,得M+卷=1;+=l;a-b-ab将两式相减,可得三+勺Jo;4上,2=_值+2最后整理得:。2(凹+%)也一%)Z72(xi+x2)(x1-2)2/、/、2同理,双曲线用点差法,式子可以整理成:1n1=-b-(xl+x2)(x1-x2)b-x0设直线和曲线的两个交点A(%,y),B(x2,y2),代入抛物线方程,得y2=2vy=2px2;将两式相减,可得
4、(m-%)(M+%)=2p(x-m);整理得:上二1=3一司一期y+%知识点03:弦长公式A8=J(Xl-工2)2+(%一%)21.4=7(l+k2)U1-X2)2=12x1-x2=(l+2)(x,+x2)2-4xix2(最常用公式,使用频率最高)M+ %)2 -4Xy2知识点04:三角形面积问题直线AB方程:y = kx + m,1 kxn - yn + md = PH = . 1 117FSjIM百当恒/利=酶件网AA 阱 2l 12 IAI I7F2Al知识点05:焦点三角形的面积直线AB过焦点八,ABK的面积为SSBf、=;恒用)L 囚=中%| =需JS/dA?+/。2)ICl a2A
5、2-ib2B2 A2 + B2_+从82-,242 a2A2 +b1B1注意:a,为联立消去X后关于y的一元二次方程的二次项系数知识点06:平行四边形的面积直线A8为),=依+小,直线CD为丁 =履+祖21481=1+21-X2=J+k2y(xi+x2)2-4x12=1+2J(-;)2-4-=含YAAIAlS3i=g*=5注意:a,为直线与椭圆联立后消去y后的一元二次方程的系数.知识点07:探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种:从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.解答的关键是认真审题,理清问题与题设的关系
6、,建立合理的方程或函数,利用等量关系统一变量,最后消元得出定值。常考题型:与面积有关的定值问题;与角度有关的定值问题;与比值有关的定值问题;与参数有关的定值问题;与斜率有关的定值问题三、典型例题讲与练考点清单01:直线与圆锥曲线的位置关系【考试题型11直线与圆锥曲线的位置关系的判断【解题方法】联立+判别法【典例1】(2022上黑龙江哈尔滨高二哈尔滨七十三中校考期中)双曲线一?=1与直线942y=-j+w(meR)的公共点的个数为()A.0B.1C.0或1D.0或1或2【答案】Cfv22【详解】因为双曲线土-匕=1的渐近线方程为y=:x,9432所以,当?=O时,直线Ly=-+m与渐近线重合,此
7、时直线/与双曲线无交点;当m0时,直线/与渐近线平行,此时直线/与双曲线有个交点.故选:C【典例2】(2。23上高二课时练习)对不同的实数讨论直线/:,与椭圆。(十丁=1的公共点的个数.【答案】答案见解析【详解】由y=x+mX2,7消去了并整理得5/+8Lr+4Mi一4=0,+)广=1(2),4此方程的实数解的个数由它的判别式决定,4=(8m)2-45x(4l-4)=16(5-m2),当-有机正时,(),方程行两个不相等的实数根,代入方程可得到两个不同的公共点坐标,此时直线/与椭圆有两个公共点,即它们相交.当利=-6或/W=百时,A=O,方程有两个相等的实数根,代入方程得到一个公共点坐标,此时
8、直线/与椭圆有一个公共点,它们在这一点相切.当m-有或m有时,(),方程没有实数根,此时直线/与椭圆没有公共点,即它们相离.综上,可得:当-小m小时,直线,与椭圆有两个公共点;当切=-正或?=有时,直线/与椭圆有一个公共点;当加-6或有时,直线/与椭圆没有公共点.2专训Ll(2023上辽宁大连高二大连二十四中校考期中)己知椭圆U三+V=1,直线/“_2),+&=0,4则/与C的位置关系为()A,相交B.相切C.相离D.以上选项都不对【答案】A【详解】由卜消去并整理得:+2-l=0,显然=(应)2-4xlx(-1)=60,+4y=4因此方程组卜2:忘。有两个不同的解,Jr+4y=4所以,与C相交
9、.故选:A【专训12】(2023上高二课时练习)已知抛物线Uy2=2x,直线/过定点(0,-2).讨论直线/与抛物线的公共点的情况.【答案】答案见解析详若直线/斜率不存在,此时/为y轴,与抛物线有艮仅仃一个交点(o,o);若直线/的斜率存在,记为k,则可设直线/的方程为:y=kx-2t由一2得:22-(4+2)x4=0:y=2x当&=O时,x2-(4+2)x+4=-2x+4=0,解得:x=2,此时y=-2,,直线/与抛物线有且仅有一个公共点(2,-2)当A0时,方程-f-(4k+2)x+4=0的判别式A=(4A+2)2-16F=i6A+4;若AvO,即40,即2-;艮&0时,方程i-(4Z+2
10、)x+4=0有两个不等实根,则直线/与抛物线有两个不同交点;综上所述:节直线/斜率不存在或直线/斜率欠=0或-!时,直线/与抛物线有且仅有个公共点;当直线/斜率Av一时,直戊/与抛物线无公共点;当直线/斜率Q-LfUwO时,直线/与抛物线仃两个公共点.44【考试题型2根据直线与圆锥曲线的位置关系求参数【解题方法】联立+判别法【典例1(2023上黑龙江哈尔滨高二哈尔滨三中校考期中)已知双曲线F:/-/=1,直线Ly=+l,若直线/与双曲线E的两个交点分别在双曲线的两支上,则k的取值范围是()A.k-33C.ky/3【答案】BR 33D . K 33D. 3 k O,解得_3%立,33所以女的取值
11、范围是-正女立.33故选:B【典例2(2023上上海宝山高二上海交大附中校考期中)若直线),=丘T与椭圆江+片=1恒有公共点,5m则实数m的取值范围是.【答案】相1且相。5【详解】由直线y=履-1,则可知其过定点(0,-1),易知当该点在椭圆内或椭圆上时,宜线与椭圆恒有公共点,iM,则J5m,解得zl且m工5.m5故答案为:ml且m5【专训”2023上高二课时练习)若直线一以与椭圆有唯一公共点,则实数w一【答案】32y=2x+m【详解】直线/的方程与椭圆C的方程联立但/.T+T消去y,得9x2+Sntx+Im2-4=0.方程的判别式A=(8m)2-4乂9、(24一4)二一8渥+144.因为直线
12、/与椭圆C有唯公共点.则A=O,解得n=3j故答案为:32【专训12】(2023下上海长宁高二校考期中)已知直线y=0x-l与曲线/-V=2只有一个公共点,求实数。的值;【答案】,-.2V=ClX-Izx22)=(-2片+2加3=0,X-y=27当1一/=0即。=1时,方程是一元.次方程,有唯一解;当1-2工0时,方程为一元二次方程,方程有唯一解时,=4cf2-4(l-6r2)(-3)=12-8a2=0,解得=如,2故直线.y=atT与曲线/-丁=2只有一个公共点时,。的值为,土且.2I考点清单02:中点弦问题【考试题型1】中点弦问题【解题方法】点差法【典例1】(2023上安徽芜湖高二安徽师范
13、大学附属中学校考期中)已知A,8是椭圆E:+.=1上的164两点,点P(-2,l)是线段AB的中点,则直线AB的方程为()A.x-2y+4=0B.x-y+3=0C.2x-y5=0D.x-4+6=0【答案】A【详解】设AQ,y),B(x2,J2),则AB的中点坐标为(上1上,入尹),- -2214 2& 4作差可得五井+工 16所以笥上=_2,七&=1,将A,8的坐标代入椭圆的方程,所以Z=.lx=lX-X2422所以直线A8的方程为y-l=;(x+2),即x-2y+4=0.故选:A.【典例2】(2023上宁夏高二六盘山高级中学校考期中)已知A8为抛物线V=2上的两点,且线段AB中点的纵坐标为2,则直线AB的斜率为.【答案】I/0.5【详解】由题意,AB为抛物线y2=2%上的两点,旦线段AB中点的纵坐标为2,设A(X,),B(再,%),线段AB中点为。,Y+%=2x2=4,l),2=2x2尤一员=(y-必)(X+片)=4(y%)=2(%-