专题02空间向量研究距离、夹角问题(考点清单)(原卷版).docx

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1、专题02空间向量研究距离、夹角问题(考点串讲)目录一、思维导图2二、知识回归2三、典型例题讲与练3考点清单01点到平面距离4【考试题型1】利用空间向量求点面距4【考试题型2利用等体积法求点面距4考点清单02异面直线所成角5【考试题型11异面直线所成角5【考试题型2】异面直线所成角的最值或范围6【考试题型3】已知线线角求参数7考点清单03直线与平面所成角7【考试题型1】直线与平面所成角(定值)7【考试题型2】直线与平面所成角(最值或范围)8【考试题型31直线与平面所成角(探索性问题)9考点清单04两个平面所成角11【考试题型1】两个平面所成角(定值)11【考试题型2】两个平面所成角(最值或范围)

2、12【考试题型3】两个平面所成角(探索性问题)13一、思维导图二、知识回归知识点Oh点到平面的距离如图,已知平面。的法向量为,/4是平面内的定点,P是平面。外一点.过点P作平面的垂线/,交平面a于点。,则是直线/的方向向量,且点P到平面a的距离就是AP在直线/上的投影向量QP的长度.PQ=|AP=I=Pnnn知识点02:用向量运算求两条直线所成角已知。,人为两异面直线,A,C与B,。分别是。,上的任意两点,。,b为所成的角为夕,则ACBDaCBDcos=cos=cos=j-.IACIlBOlIACH8。y知识点03:用向量运算求直线与平面所成角设直线/的方向向量为,平面a的法向量为,直线与平面

3、所成的角为。,CI与U的角为少,则有COS0=猿彳Sine=Icose=上曲.(注意此公式中最后的形式是:Sine)知识点0%用向量运算求平面与平面的夹角若R4_La于A,PB工0于B,平面交/于E,则NAEB为二面角。一/一夕的平面角,ZAE8+ZAP8=180.若4%分别为面。,夕的法向量cosed/=/L工COSe根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角;I1Il2I若二面角为锐二面角(取正),则COSe=ICOS1;若二面角为顿二面角(取负),则COSe=-ICoSVnI,%|;三、典型例题讲与练考点清单Ol点到平面距离【考试题型1利用空间向量求点面距【典例1】(2023上广东佛山高二

4、华南师大附中南海实验高中校考期中)如图,正方体ABcd-ABCA的棱长为2,E为线段。的中点,尸为线段B瓦的中点,则直线FG到平面ABIE的距离为.【典例2】(2023上四川绵阳高二绵阳中学校考阶段练习)已知正三棱柱A8C-A4G的所有棱长均为2,D为线段CG上的动点,则A到平面AiBD的最大距离为.【专训11】(2023上广东深圳高二校考阶段练习)在三棱锥P-ABC中,PC_L底面ABC.ZBAC=90.AB=AC=4,ZPBC=45,则点C到平面QAB的距离是.【专训l-2(2023上安徽高二合肥一中校联考阶段练习)如图,四棱锥P-ABCD中,平面PBC/平面A8CO,底面ABCo是边长为

5、2的正方形,JPBC是等边三角形,M,N分别为AB和PC的中点,则平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为.【考试题型2】利用等体积法求点面距【解题方法】等体积法【典例1】(2023上上海高二校考期中)已知三棱锥尸-A8C,=P8=LPC=日且24、PB、PC两两垂宜,则点尸到平面ABC的距离为.【典例2】(2023上山西大同高二统考期中)在长方体A8CO-A4CQ中,OA=2D4=2OC=2,E,尸分别是棱AB,CG上的动点(不含端点),且AE=C尸,则三棱锥A-。E尸体积的取值范围是.【专训11】(2023上山东高二校联考期中)将边长为2的等边乂BC沿BC边中线A。折起得到三棱

6、锥A-BCD,当所得三棱锥体积最大时,点。到平面ABC的距离为.【专训l2(2023上重庆九龙坡高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习)如图,在直三棱柱ABC-AxBxCx中,AAl=AB=AC=BC=It点。是AC的中点,则点与到平面A/。的距离是.78、/I考点清单02异面直线所成角【考试题型1异面直线所成角【解题方法】向量法【典例1】(2023上上海高二校考期中)正四棱锥P-ABC。的侧面BAB是等边三角形,E为PC的中点,则异面直线BE和PA所成角的余尊僮为.【典例2(2023上四川成都高二校考阶段练习)如图,一个结晶体的形状为平行六面体A8CZ)-A4GA,其中,以顶点A为端点的三条梭长均

7、为6,且它们彼此的夹角都是60.则BA与AC所成角的余弦值为DC12【专训11】(2023上上海高二校考期中)如图,在正四面体中,CE=-CD,则异面直线A石与30所成角的余弦值为.【专训12】(2023上浙江金华高二校考阶段练习)如图,己知三棱锥A-88中,8C_L8。ABC和zM8O都是边长为2的正三角形,点E,尸分别是43,CO的中点.那么异面直线4尸和CE所成角的余弦值等于.【考试题型2】异面直线所成角的最值或范围【解题方法】向量法【典例U(2023上河北张家口高二校联考阶段练习)如图,在正方体A8CD-ABCA中,点尸在线段4。上运动,则直线GP与直线AG所成角的余弦值的最大值为.【

8、典例2】(2023上吉林高二东北师大附中校考阶段练习)若三棱锥A-BCO中,ABlAC,BCLBD,AB=AC=AD=BD=I,点E为BC中点,点尸在棱A。上(包括端点),则异面宜线AE与C厂所成的角的余弦值的取值范围是.【专训11】(2023上山东高二校联考阶段练习)在正方体A8CD-AqCQ中,M为线段4。的中点,N为线段AiB上的动点,则直线ABl与MN所成角的正弦值的最小值为.【专训12】(2023上河南高二长葛市第二高级中学校联考开学考试)在三棱锥P-ABC中,底面ABC为正三角形,PA_L平面A3C,PA=AB,G为APAC的外心,。为直线BC上的一动点,设直线AD与BG所成的角为

9、凡则6的取值范围为【考试题型3】已知线线角求参数【解题方法】向量法【典例1】(2022下江苏常州高二校考期末)如图,在正三棱柱ABC-AI片中,AB=AAi=2.E.尸分别是8C、AG的中点.设。是线段4G上的(包括两个端点)动点,当直线8。与仃所成角的余弦值为巫,则线段8。的长为.【专训11】(2022下江苏常州高二校联考期中)如图,在直三棱柱ABC-A与G中,NRAC=90,AAI=Aq=AG=4,点E是棱CG上一点,且异面直线Ab与AE所成角的余弦值为笔,则GE的长为.考点清单03直线与平面所成角【考试题型H直线与平面所成角(定值)【解题方法】向量法,法向量【典例1】(2023上高二课时

10、练习)正方体ABCZ)-48CR中,E,尸分别是48的中点,则A声与截面AxECF所成角的正切值为.【典例2(2023上河北邯郸高二校联考期中)如图,在直三棱柱ABC-AiBC,AA1=AB=AC=-BC,。为BC的中点,E为AA的中点.求证:QE/平面ABC;(2)求直线OE与平面EB1C1所成角的正弦值.【专训1-1*2023上河南高二校联考期中)在如图所示的几何体PQ-ABC。中,PQ。/。,平面人歌。,四边形ABCO是边长为4的正方形,PD=PQ=2,则直线A。与平面Ab所成角的正弦值为一.【专训12】(2023上广东广州高二校联考期中)如图,在直三棱柱ABC-AEC中,ABlAC,A

11、B=AC=JLvT,点M,N分别为AB和BC的中点.(1)证明:MN平面AACC;(2)求直线A,N与平面CMN所成角的正弦值.【考试题型2】直线与平面所成角(最值或范围)【解题方法】向量法,法向量,二次函数,基本不等式【典例1】(2022下.江苏淮安高二马坝高中校考期中)在正方体ABCQ-AAGA中,点。为线段8。的中点.设点尸在线段88(P不与8重合)上,直线Op与平面48。所成的角为。,则Sina的最大值是.【典例2】(2023上河南开封高二统考期中)如图,在四棱锥P-ABCfPt*,APS平面ABC。,ABHCD,ADCD,CD=AD=AP=2AB=2fE为线段AP上一点,且CP平面3

12、QE.求AE的长;(2)广为线段CP上的动点,求直线。与平面双出所成角正弦值的取值范围.【专训11】(2022高二单元测试)如图所示,在正方体ABCOABCTy中,AB=3,M是侧面BCCH内的动点,满足AM_L8。,若AM与平面8CC8所成的角。,则tan。的最大值为.【专训12】(2023上湖南长沙高三湖南师大附中校考阶段练习)如图所示,已知三棱柱ABC-AqG的所有棱长均为1.(1)从下面中选择两个作为条件,证明另一个成立;B、C=冬NABC为直角;平面AeCS平面48用A.(2)设点尸是棱BBl上一点.在(1)中条件都成立的情况下,试确定点尸的位置,使得直线CP与平面ACGA所成的角最

13、大.【考试题型3】直线与平面所成角(探索性问题)【解题方法】向量法,法向量【典例1】(2023上浙江杭州高三统考期中)在四棱锥尸-ABS中,底面48CO是直角梯形,/840=90。,AD/BCtAB=BC=a,AD=b(ba),KE4ACD,PO与底面ABCD成30角,且尸f=4PE(2)当直线PC与平面ME所成角的正弦值为迎时,求:的值.4b【典例2】(2023上广东广州高二广东广雅中学校考期中)在等腰梯形ABCQ中,A8CaN84。=1,48=24。=2。=4,2为48的中点,线段AC与OP交于。点(如图).将AACz)沿AC折起到“CO位置,使得平面AC。_L平面ABC(如图).(2)线

14、段尸。上是否存在点。,使得C。与平面BS所成角的正弦值为玄?若存在,求出黑的值;若不存在,请说明理由.【专训7】(2023上上海高二校考期中)在正方体48Cz)-A4CQ中,求:(1)二面角C-Aq-G的大小(2)点M在棱Cz)上,若AM与平面所成角的正弦值为噜,判断点M位置并说明理由【专训12】(2023上宁夏吴忠高二吴忠中学校考期中)在直角梯形ABCD中,AD/BCfBC=2AD=2AI3=2j2NABC=90。,如图把AABZ)沿Bo翻折,使得平面A8Z)_L平面BCQ(如图).(I)求证:CD1B;(2)在线段8C上是否存在点N,使得AN与平面ACO所成的角为60。?若存在,求出空的值;若不存在,请说明理由.考点清单04两个平面所成角【考试题型H两个平面所成角(定值)【解题方法】向量法,法向量【典例1】(2023上广东佛山高二佛山市南海区桂城中学校考阶段练习)在如图所示的试验装置中,两个正方形框架A3CQ,AB斯的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M,N分别在正方形对角线AC和M上移动,且CM和BN的长度保持相等,记CM=BN=当MN的长最小时,平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为.【典例2】(2024上.重庆沙坪坝.高三重庆八中校考阶段练习)如图,已知四边形AcDE是直角梯形,且EDUAC,平面ACz)Ej_

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