第6讲构造辅助函数的方法（原卷版）.docx

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1、第6讲构造辅助函数的方法对于证明与函数有关的不等式、零点或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围，讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并通过求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决.题目本身特点不同,所构造的函数可有多种形式,解题的繁简程度也不同，所以为了构造出合理的函数，方便我们解题，我们需要遵循一大构造原则是“导函数可判定原则”.所谓的“导函数可判定原则”就是所构造的函数，求导之后要能够判定出函数的正负号,从而研究原函数单调性，如果无法判定导函数正负号，则说明原函数构造得有问题，需要重新构造.本节会总结出一些常用的构造函数的方法，如果解题过程中求导很复杂或者进行不下去

2、就需要思考函数构造得是否合理,而且在解题过程中函数的构造方式有很多种，要选择合理的构造方式,而所要遵循的就是“导函数可判定原则”.构造法一:移项作差构造函数移项作差构造是我们最常用的方法，当试题中给出简单的基本初等函数，例如/(x)=x3,(x)=lnx,进而证明在某个取值范围内不等式/(x).g(x)成立时,可以通过移项作差,构造函数/(X)=/(x)-g(x),进而证明RX)IniIl即可,在求最值的过程中，可以利用导数作为工具.注意:下面的例题用到了隐零点相关的内容,读者如果有疑惑可以在看完后面隐零点部分的章节后再回来看.例1已知函数/(x)=(2-i)e其中R,Tx施)j(x)依一1,

3、求实数4的取值范围.【例2】已知函数力=XeA(其中e为自然对数的底数)，求证：/(力6、12-；.构造法二:等价变形构造函数通常我们对不等式移项构造出来的函数无法直接判定导函数的正负号，所以需要利用不等式性质对所证不等式进行等价变形，先做一个简化，再构造函数，而简化的原则通常是“减少分式,去掉分母”，构造出一些常用的,可判定的函数.例1设函数/(x)=lT.证明:当XT时,【例2已知函数/(X)=-以-1(41t),若对任意的工0,+0恒成立,求。的取值范围.构造法三:拆分转化构造函数有些函数经直接移项作差构造出来的新函数,求导后无法直接判断导函数的正负号,变形后也不行,则需要利用不等式性质

4、对所证不等式拆分为/(x)g(x)的形式,若能证明/(X)ming(x)ma,即可得/()(x).本方法的优点在于对X的项进行分割变形,可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强,如果/(%)min与g(%)max不满足/Wming*)ma，则无法通过这种方式证明/(%)g(%)z、12x(0,+),111+1【例1】求证：eex.【例2】设函数力=X其中x(0,l)/为正实数.(1)若不等式/(x)0恒成立,求实数，的取值范围.(2)当X(0,1)时.证明:Y+X-，一10.证明：F(X)=(l+g)是增函数，且/(x)0时,(eI)In(R+l)2【例2】知函数/(x)=e-3,若4l,xln时,ln(O时,戈)-InX+lna.l恒成立.