学而思全等三角形培优.docx

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1、第一讲全等三角形的性质及判定【例1】如图，AC/DE9BC/EF9AC=DE.求证：AF=BD.【补充】如下图：ABCD,AB=CD.求证：AD/BC.【例2】：如图，B、E、八。四点在同一条直线上，AB=DC,BE=CF,/B=NC.求证:OA=OD.【补充】：如图，AD=BC,AC=BD9求证：ZC=ZD.【补充】如图，在梯形ABa)中，AD/BC,E为CD中点,连结AE并延长AE交Be的延长线于点尸.求证：FC=AD.【例3】如图，AB,8相交于点O,OA=OB9E、F为CD上两点,AE/BF9CE=DF.求证：AC/BD.【补充】，如图，AB=AC9CEA.AB9BFA.AC,求证：B

2、F=CE.【例4】如图，ZZ)CE=90o,CD=CEtADlACtBELAC9垂足分别为八，4,试说明AZHAB=应：【例10】如下图，AB=DC9AE=DF,CE=BF9证明：AF=DE.【例11】E、/分别是正方形ABeZ)的8C、8边上的点,且比：=CF.求证：AEYBF.t补充】E、尸、G分别是正方形ABCr)的BC、CD、AB边上的点，GELEF,GE=EF求证：BG+CF=BC【例12在凸五边形中，ZB=ZE,NC=ZD,BC=DE,M为CD中氤.求证：AMA.CD.【补充】如下图：AF=CDtBC=EF,AB=DE,ZA=ZD.求证：BC/EF.【例13(1)如图，ZA8C的边

3、48、AC为边分别向外作正方形A8DE和正方形ACFG,连结EG,试判断AABC与AAEG面积之间的关系，并说明理由.(2)园林小路，曲径通幽，如下图，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.中间的所有正方形的面积之和是。平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米？IJLAC 交N = BM ,的大小.= AB,求【例14如图，ABC中，AB=BC,NAeC=90。，。是AC上一人AB于E点.求证：AD=DE=EB.【例15ABC中，Z=90o,M为AB上一点，使得AM=BC,连/W、CM交于P点.试求ZAPM的度数，并写出你的【例16如图，/是ZkABC的

4、内心，KCA+AJ=BC.假设NBAc【例17：80、CE是ABC的高，点尸在8。的延长线上，BP=A一证：(1)AP=Q;(2)APLAQ.【例18如左以下图，在矩形ABCD中，E为C8延长线上一点且AC=C石，尸为AE的中点.求证：BFLFD.如右以下图，在A3C中，BE、C分别为边AC、B的高，。为BC的中点，DMLEF于求证：FM=EM.18.补充：如图，NABD=NAa)=60。，且NAOB=90。一gNBDC.求证：ABC是等A腰三角形./【例19如图，ABC为边长是1的等边三角形，ABDC为顶角(N3DC)是120。的等腰/三角形，以。为顶点作一个60。角，角的两边分别交AB于M

5、,AC于N,连/接MN,形成一个AMV.求AWTV的周长./，家庭作至一；C【习题1】:如图，AB/DE9AC/DF,BE=CF.求证：AB=DE.【习题2】：ADEF注AMNP,且EF=NP,NF=NP,ND=48,ZE=52o,MN=I2cm,求：NP的度数及DE的长.【习题3】如图，矩形ABC。中，石是AD上一点，CE工EF交AB于F点,假设。E=2,矩形周长为16,ACE=EF,求AE的长.【习题4】在四边形中，AD/BC,ZA的平分线AE交/X;于E.求证：当BE是NB的角平分线时，AD+BC=AB.3月测备选）【备选1】如下图：AB=AC,AD=AE9CD、BE相交于点O.求证:【

6、备选2】如下图，在ZXABC中，AD_LBe于点。，ZB=2ZC.求证：【备选3】如图，44BC中，。是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F9交AC的平行线8G于G点，DELDF9交AB于点E,连结EG、EF.（1）求证：BG=CF.（2）请你判断8E+CF与EF的大小关系，并说明理由.第二讲全等三角形与中点问题版块一倍长中线【例1】在AABC中，AB=5,AC=9t那么BC边上的中线AO的04平分Zn4E.AB + BD = CD.长的取值范围是什么？【补充】：A8C中，4）是中线.求证：AD-（AB+AC）.2【例2】：如图，梯形ABa）中，AD/BCt点石是8的中点，跖的延长线与4）的

7、延长线相交于点尸.求证：BCEFDE.【例3】【例4】【例5】如图，在ABC中，。是Bc边的中点，F9证：ABDEmACDF.如图，AH中，ABEF.【例9】【例10】E分别是AC）及其延长线上的点，CF/BE.求AD=Aiy求证I）求证DACZDAB.E是AD上一点,E在RlAC中，ZA=90o,点。为BC的中点，点、厂分别为AB、AC上的点，且EDA.FD,以线段跖、EF、尸C为边能否构成一个三角形？假设能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？AB3Z=ZC,D9E分别是28及4：延长线上的一点，且BD=CE,连接DE交底8C于G,求证GD=GE.【例11如下图，在ABC中，。是

8、8C的中点，Z）M垂直于ON,如果BM2+CN2=DM2+DN2,AD2=(AB2+AC2).(勾股定理的内容，选做)【例10在RtABC中，尸是斜边4?的中点，D、分别在边C4、CB上,满足ZD庄=90。.假设AD=3,BE=4,那么线段DE的长度为.家庭作业）【习题1】如图，在等腰ABC中，AB=AC9。是8C的中点，过A作AAF工DF,且AE=AF.求证：EDB=FDC.【习题2】如图，在ABC中，4）是AC边上的中线，是）上一点，且4E=AC,延长的交AC于F9AF与EF相等吗？为什么？【习题3】如右以下图,在ABC中，假设Zfi=2NC,ADLBC9石为BC边的中点.求证：AB=ID

9、E.【备选1】如图，AB=DC9AD=BCt。是8。中点，过。点的直线分别交。4、8C的延长线于&F.求证：NE=NF【备选2】如图，ABC中，AB=AC,NBAC=90。，。是BC中点，ED1FD,ED与AB交于E,田与AC交于F.求证：BE=AF9AE=CF.第三讲全等三角形与角平分线问题【例1】在ABC中，。为8C边上的点，ZBAD=ZCAd,BD=CD,求证：/义AB=AC.5C石分别平分N84C、NBC4,且AD与CE的交点为尸.求证：FE=FD.【例4】如图，ABC的周长是21,OB,OC分别平分ZABC和ZAC8,8_L6C于。，且OD=3,求ABC的面积.【补充】如下图：AB=

10、AC,AD=AE9CD、8石相交于点O求证：OA平8-NC分NZME.【例5】ABC中，ZA=60,BD、C：分别平分ZABC和ZAC8,BD、CE交于点O,试判断的、CD、BC的数量关系，并加以证明.【例6】如图，Zr是AC上的一点，又N1=N2,3=Z4.求证：ED=EB.【例7】如下图，QP是NAOC和48的平分线，OA=OC,OB=OD.求证：AB=CD.【例8】如下图，ABC中，AD平分NBAC,E、产分别在比、AD上.DE=CD9EF=AC,求证：EF/AB【例10如图，在四边形/W8中，AC平分ZM,过C作CE并且AE=I（A8+A0,2那么ZABC+NADC等于多少？【补充】长

11、方形ABCo中，AB=4,BC=I9NBA。的角平分线交BC于点&EFlED交AB于F,那么EF=.【补充】在A8C中，ABAC,4）是NBAC的平分线.P是上任意一点,求证：AB-AOPB-PC.【例11如图，在ABC中，ZB=2ZC,NBAC的平分线AD交8C与。.求证：AB+BD=AC.【例12如图，ABC中，AB=AC9ZA=IO8。，8。平分ZABC交AC于。点.求证：BC=AC+CD.【稳固】等腰A3C,ZA=100o,NABC的平分线交4C于。，那么A。+AD=8C.【例13如下图，在ABC中，4）平分N84C,AD=AB,CM_LAD于求证AB+AC=2A【例14如图，ABC中

12、，AB=AC,BD、CE分别为两底角的外角平分线，ADtBD于D,AEA.CE于E.求证：AD=AE.【例15如图，ZA+ZD=180o,跖平分NABC,CE平分NBCD,点E在AP上.探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系.探讨线段BE与CE之间的位置关系.家庭作业）【习题2如图，在ABC中，AB+BD=AC,NBAC的平分线AD交8C与O,求证：ZB=2ZC.【习题3】AD是ABC的角平分线，踮J_AD交AD的延长线于E,所AC交AB于尸.求证：AF=FB.【习题4】如下图，AD平行于8C,ZDA&NEAB,ZABE=ZEBC,AD=4,BC=21那么A8=.【习题5】ABC中，。为8。中

13、点，DE!_BC交/84C的平分线于点E,所_LAB于尸EG_LAC于G.求证：BF=CG.蚓月测备选）【备选1】在ABC中，4）平分NSAC,AB+BD=AC.求NB:NC的值.【备选2】如图，在A4C中，ZABC3ZCZI=N2,BEAE.求证：ACAB=IBE,【备选3】如下图，在四边形ABa中，AD/BC9NA的平分线AE交QC于E,求证：当BE是ZB的平分线时，有AP+BC=AB.第四讲全等三角形与旋转问题【例1】:如图，点C为线段AB上一点，ACMACBN是等边三角形.（1）求证：AN=BM.2求证：CD=CEN求证：CF平分NMCN/A（4）求证：DEABz/【例2】如图，四边形ABC。、。石厂G都是正方形，连接AE、CG.求证：/【例3】如图，等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点.求证：AWBAE=BD.【例4】如图，。是等边A3C内的一点，且加=AD,BP=AB,NDBP=NDBC,问NBPf）的度数是否一定，假设一定，求它的度数；假设不一定，说明理由.【例5】如图，等腰直角三角形ABC中，ZB=90o,AB=a,O为AC中点，EO_LOf.求证：BE+BF为定值.【补充】如图，正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转,其交点为E、Ff求证：AE+CF=AB.【例6】（2004河北）如图，点石是正方形ABCr）的边CD上