《2.2.3圆锥面及其内切球》教学案.docx

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1、2.2.3圆锥面及其内切球教学案教学目标：1 .学问与内容：(1)通过观看平面截圆锥面的情境，体会定理2(2)利用OwMe 双球证明定理2中状况(1)(3)通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆构造的理解2 .过程与方法：利用现代计算机技术，动态地呈现。WWe两球的方法，帮助学生利用几何直观进展思 维，培育学生的几何直观力气，重视直觉的培育和训练，直觉用于觉察，规律用于证明.3 .情感态度价值观：通过亲历觉察的过程，提高对图形生疏力气，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培 育，让学生辩证地观看、分析问题.教学重点、难点重点：定理2的证明；椭圆准线和离心率的探究难点：椭圆准线和离心率的探

2、究教学预备课件模型教学方法探究争论教学过程一、圆锥面的概念及其性质：Tl一条直线围着与它相交成定角eoe _)的另一条直线旋转一周，形成的曲面2叫做圆锥面.这条直线叫做圆锥面的母线，另一条直线叫做圆锥面的轴.母线与轴的交点叫做圆锥面的顶点，如图.顶点为S的圆锥面常记作圆锥面S.通过圆锥面的轴的平面叫做圆锥面的轴截面圆锥面有以下一些根本性质.性质1圆锥面的轴线和每一母线的夹角相等.性质2假设一平面垂直于圆锥面的轴线，则其截圆锥面所得的截线是圆.二、圆锥面的内切球及性质如图，设圆锥面S的母线与轴线的夹角为口 ,在圆锥面S的轴线上任取一个与顶点S不同的点O,设s4为任一条母线，作OHLj与点H,则O

3、H = SOSin由此可知，点到圆锥面S每一条母线的距离都相等.以。为球心，OH为球的半径作球0,则每一条母线都与球0相切.于是，从S动身的每一条切线长相等，切点在轴上的正投影都落在同一点G全部切点与点C的距离相等，并且在通过点C且垂直于轴线的同一平面上，所以圆锥面S的每一条母线与球。相切的切点的轨迹是一个圆.这个圆通常称作切点圆，球。叫做圆锥面S的内切球.由以上分析可知，圆锥面与内切球的交线是一个圆，并且该圆所在平面垂直于该圆锥面的 轴线.例一圆锥面S,其轴为立，一面。不过顶点S并且与圆锥面S的轴线相交于点如图）. 求证存在圆锥面的内切球与平面b相切.证明：过顶点S作直线垂直平面O与点H,则

4、平面SMH垂直于平面0 ,为这两个平面的交线.由于平面SMH过圆锥面的轴线衣,所以圆锥面S关于这个平面成镜面对称.设平面SMH和锥面分别相交于母线SZ, SB,则4 3在直线上./作/SBM的平分线交轴线SX与点0,作OFIL4B与产黄以。为球心，0尸为球的半径作球0,则球0与平面b相切于点尸.评由于Bo是NSBM的平分线，所以点O到SB的距离等于球O的半径，、因此球0与母线SB相切.由于圆锥的全部母线与其轴线的夹角相等，所以球0与全部的母线相切.总结以上争论，可知球。既与圆锥面S相切，又与平面b相切.同理可以证明，在平面。的下方任然存在一个球，既是圆锥面S的内切球，又与平面O 相切（如图）.

5、三、椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种.生成椭圆的方法有很多，例(2)椭圆的定义（1）圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图1；（3）平面内到定点和定直线的距离之比等于常数（Oel）的点的轨迹（4） 一动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成轨迹是椭圆；（5） 圆柱形物体的斜截口是椭圆，如图2由于是4PG的外角,所以P ;假设P a,那么/与84的延长线、4C都相交假设用一平面去截一个正圆锥，所得截口曲线是椭圆吗？还有其他状况吗？让我们共同来 探究平面与圆锥面的截线.思考：如图3-9（ 1 ）,40是等腰三角形力BC底边上的高，NB4。=a.直线/与4D相交于点P,且与AD

6、的夹角A为（0 a;/ Vx*反之,当a时与48（或AB的延长线）、AC都相交.E乙K（2）当/与48不相交时,则/A8,这时有B =a；反之,当B =。时,/48,那么/与48不相交.b L（3）当/与胡的延长线、AC都相交时,设/与B4的延长线交手G,9（2）思考：将图3-9中的等腰三角形拓广为圆锥,直线拓广为平面,则得到图3T0.假设用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会消灭哪些状况呢？归纳提升：定理在空间中，取直线/为轴，直线/”与/相交于。点，其 夹角为,围绕/旋转得到以。为顶点，n为母线的圆锥面，任取平面，假设它与轴/交角为S （与/平行，记住6 =0）,则：（1

7、）6 ,平面TT与圆锥的交线为椭圆；（2）6 = ,平面TT与圆锥的交线为抛物线；（3） af平面乃与圆锥的交线为椭圆.假设平面与一条母线平行（相当于图3-9（2）中的p =）,那么（1）平面就只与正圆锥的一半相交,这时的交线是一条抛物线；上争论：点4到占尸假设平面不与母线平行,那么会消灭两种情形：（2）平面只与圆锥的一半相交,这时的交线为椭圆；的距离与点A到直线血的距离比小于（3）平面与圆锥的两局部都相交,这时的交线叫做双曲线.1）-证明1：利用椭圆第确定义，证明E4+AE=朋+AC=定值，详见课本.证明2：上面一个DQnde加球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这 个圆所在平面

8、为江/；假设平面乃与平面加/的交线为m,在图中椭圆上任取一点4该。加曲丽球与平面乃的切 点为凡则点A到点尸的距离与点力到直线m的距离比是（小于1）.（称点F为这个椭圆的焦点，直 线m为椭圆的准线，常数为离心率e.）点评：利用可以证明截线为抛物线，双曲线的状况，以离/-心率的范围为准.L探究:如图3-12,点券Q（D找出椭圆的准线；（2）探讨P到焦点FI的距离与到两平面交线m的距离之%.A3-12如图3 -12,上面一个OQnde而球与圆锥的交线为圆S,记圆S,所在的平面为.设兀与的交线为m.在椭圆上任取一点P,连接PF.咨兀中过P作m的垂线,垂足 为4过P作兀的垂线,垂足为8,连接则是布在平面

9、兀上的射影.简洁证明,m 1 48故NR4B是平面与平面变成的二面角的平面角.在 Rt8P 中,/APB= ,所以 PB=PACosP. （1）设过P的母线与圆S交于点Q则在RtPQ产中，NQPB=a,所以PB = PQ cos.（2）由（1）（2）得竺=Cosa P PF cos PA-T由于 2,故cosPcos，则舟1.由上所述可知,椭圆的准线为m,椭圆上任一点到焦点的距离与到准线的距离之比为cosCOS常数因此椭圆的离心率为e =cosacosa即椭圆的离心率等于截面和圆锥的轴的交角的余弦与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比.争论：我们延用争论椭圆构造特点的思路,争论一下双曲线的构造特点.

10、 如图3-13,当P a时,平面与圆锥的两局部相交在圆锥的两局局部别嵌入OQ血球， 与平面兀的两个切点分别是F、F ,与圆锥两局部截得的圆分别为S、S .1212在截口上任取一点P,连接PF、PF .过P和圆锥的顶点0作母线,分别与两个球切于Q、Q ,则 1212PF =PQt PF =PQ .所以IPF-PF = PQ -PQ =QQ . 1122121212由于QQ为两圆S、S所在平行平面之间的母线段长,因此QQ的长为定值. 12121 2由上所述可知，双曲线的构造特点是：双曲上任意一点到两个定点(BIJ双曲线的两个焦点)的距离之差确实定值为常数.拓展：1.请证明定理2中的结论(2)2 .探究双曲线的准线和离心率3 .探究定理中的证明，体会当。无限接近。时平面77的极限结果课堂练习课后小结作业布置课后反思