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1、模拟试题模拟试题一、解答题:(15分)1.简述圣维南原理,举例说明其应用。(5分)2.什么是平面应力问题?什么是平面应变问题?分别写出弹性力学平面应力问题和平面应变问题的物理方程。(5分)3.什么是逆解法?什么是半逆解法?叙述解题路径。(5分)二、写出下列受力体的应力边界条件(固定端不必写)(20分)1.图1、2所示悬臂梁(用直角坐标形式)。(10分)2.图3所示三角形悬臂梁(用极坐标形式)。(5分)3.图4所示楔形体(用极坐标形式)。(5分)0qxyo0图3oyx22q0图4Poxyhl图2lxyo0q0qlx0hPM图1三、已求得一点的应力状态,试求主应力与主应力方向,并图示。(15分)(
2、1)已知 见图5所示。(2)已知 见图6所示。 ,5010,50,100MPaMPaMPaxyyx,500,1500,1000MPaMPaMPaxyyx图5xxyyxyxyoxy图6yyxxxyxyoxy图7四、设图7所示简支梁只受重力作用。梁的密度为,试求应力分量。(15分)lhxyghlgoghll图8q五、设有一刚体,如图8所示,具有半径为b的圆柱形孔道,孔道内放置外半径为b、内半径为a的圆筒,圆筒受内压力q,试求圆筒的应力。(20分)六、试用虚位移原理求图9所示梁的挠曲线,并求出 处的挠度值(忽略剪切变形的影响)。设挠度曲线为:2lalxnawnnsin1laPoxz图9(15分)模拟
3、试题答案模拟试题答案一、解答题:1.答:如果把物体的一小部分边界上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同,对于同一点的主矩也相同),那么,近处的应力分布将有显著的改变,但是远处所受的影响可以不计。这就是圣维南原理。如图a所示柱形构件,在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力P。如果把一端的拉力变换为静力等效的力,如图b,只有虚线划出的部分的应力分布有显著的改变,而其余部分所受的影响是可以不计的。PPP2/P2/P图a 图b2.答:等厚度薄板,承受平行于板面并且不沿厚度变化的面力,同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。这种问题称为平面应力问题。很长的柱体,在柱面上承受平行于板面并
4、且不沿长度变化的面力,同时体力也平行于板面并且不沿长度变化。这种问题称为平面应变问题。平面应力问题的物理方程为:xyxyxyyyxxEEE)1(2)(1)(1平面应变问题的物理方程为:xyxyxyyyxxEEE)1 (2)1(1)1(1223.逆解法:先设定各种形式的、满足相容方程 的应力函数 ,用公式 求出应力分量,然后根据应力边界条件来考察,在各种形状的弹性体上,这些应力分量对应于什么样的面力,从而得知所设定的应力函数可以解决什么问题。逆解法基本步骤:024422444yyxxyxYyxXxyxyyx22222,设定求出应力分量求出面力(合力)解决什么问题代入代入应力分量公式应力边界条件确
5、定半逆解法:针对所要求解的问题,根据弹性体的边界形状和受力情况,假设部分和全部应力分量为某种形式的函数,从而推出应力函数 ,然后来考察,这个应力函数是否满足相容方程,以及,原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量,是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足,自然就得出正确的解答;如果某一方面不能满足,就要另作假设,重新考察。半逆解法基本步骤:设定导出应力表达式得到正确解答满足边界条件满足04是是否否应力分量公式应力边界条件二、(1)222222000022202, 0, 0, 0,hhhhhhxxyxxxxhyxyhyyhyxyhyyPdyMydydy
6、lxq(2)22220022022,2cos,cos, 0, 0hhhhxxyxxhhxxhyxyhyyPdyhPydyPdy(3)0000, 0, 0,ararq(4)2cos,2sin, 022022qqaraara三、(1)主应力和主应力方向为:MPa0150501025010025010022214454,4142. 1tan1tan6135,707. 05010100150tan21211主应力方向如图c。(2)主应力和主应力方向为:MPa18096915002500225002221431,618. 05001000691tan11主应力方向如图d。yyxx122xy1xy1图dx
7、oyxxyy2211xyxy1图cxoy四、解:1.用半逆解法,设 ,则:)(yfy)()()(2)()(),(212122yfyxfyfxyfyxfxyfxy代入双调和方程后得:2345232322345223123224244144422424414244610)()(2610)()(,)(0)(2)(, 0)(, 0)(0)(2)()()(21GyHyyByAGyFyEyxDCyByAyxKyHyyByAyfGyFyEyyfDCyByAyyfdyyfddyyfddyyfddyyfddyyfddyyfdxdyyfdxdyyfd(2)(1)2.应力分量的表达式为:PxGFyEyCByAyxD
8、CyByAyKHyByAyFEyxBAyxxyyx)23()23(2622)26()26(22223232其中,特解取 ,而 。由对称性可知,正应力(剪应力)应是 的偶(奇)函数,因此, 。式(3)简化为:PxgPx0GFEPxCByAyxDCyByAyKHyByAyBAyxxyyx)23(2622)26(2223232(3)(4)3.由边界条件确定常数,进而求出应力解答:2222220, 00, 0hhhhlxxlxxhyxyhyyydydy将式(4)代入以上各式,可求得:101,2,2, 0222hlPHPChPAKDBJbQSxhyPyhyPyhyPyJMyPyhPyxlhPxyyx22
9、2222322224164125345346五、解:由题可知本题为一个轴对称问题,故环向位移 。0u另外还要考虑位移的单值条件,因此,应力分量和位移分量分别如下:1.应力分量为:CrACrAr22222.平面应变问题的位移分量为:1121112CrrAEur3.确定常数A、C:利用边界条件则有:当 时,ar qarr即得:当 时,br 0brru(1)011211CbbA(2)由(1)得:qaCaA222(3)(2)、(3)联立解得:21212122222222babqaAbaqaC4.筒壁应力:qbarrabaqbaaqbarbar2121212121222222222222222qbabr
10、r2222121121qbarrabaqbaaqbarba2121212121222222222222222qbabr2222121121而:六、解:应变能:12434202242nnlanlEIdxdxwdEIU使挠曲线级数中任一个系数 有一变分,就可得到一个从真实位移算起的虚位移:nalxnawnsin与之相应的应变能的变化为:nnnnaanlEIaaU4342外力P在虚位移过程中所作的功为:lanaPnsin应用虚位移原理,可得:lanaPaanlEInnnsin2434443sin2EInlanPlan由此得:挠曲线为:1443sinsin2nnlxnlanEIPlw当P力作用在梁跨度中央处,得: 44432513112EIPlwlx如只取级数的第一项,可得: EIPlEIPlwlx7.4823432