积分中值定理的推广及其应用.docx

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1、摘要错误!未定义书筌.关键词镣误!未定义书筌.AbStnUt错误!未定义书签.Keywords错误!未定义书签.前言错误!未定义书筌.1 .积分中值定理I1.1 积分第中值定理11.2 积分第二中值定理22积分中值定理的推广42.1 积分第中值定理的推广42.2 积分第二中值定理的推广63积分中值定理的应用83.1 积分第一中值定理的应用8用于确定数列极限8用于确定函数极限83.1.3用丁判别级数的收敛性错误!未定义书签.3.2 积分第二中值定理的应用错误!未定义书签.定理的直接应用错误!未定义书签.积分第二中值定理在不等式中的应用错误!未定义书筌.参考文献错误!未定义书签积分中值定理的推广及

2、其应用摘要：本文根据讨论积分中值定理及其假设干改良与推广彩式，结合积分中值定理及其推广形式的和美证明，例举了枳分中值定理的一些典型应用.关键词：枳分中值定理;掂广；应用TheIntegra1.MeanVa1.ueTheoremforItsSpreadingandApp1.icationAbstract:Thispaperdiscussestheintegra1.meanva1.uetheoremanditsimprovedandp11moteiform,combiningtheintegra1.meanva1.uetheoremanditspromotedform,andgivingexamp

3、1.esforitstypica1.app1.ications.Keywords：theintegra1.meanva1.uetheorem;spreading;app1.ication前言积分中值定理是数学分析中的一个根本定理之一，对一元函数的积分中值定理进入了深入讨论，更加深对此问题的理解，同时对于学习重积分及曲线曲面积分的中值定理都有很大的意义.本文将借助枳分上限函数的性质及微分中值定理证明枳分中值定理，给出了积分中值定理几种推广形式，同时给出了它们确定数列极限及函数极限等方面的应用,使我们对它有了更深一层的理解.1积分中值定理1.1 积分第一中值定理定理I假设/(x)在可上连续,那么至

4、少存在一点JqaR,使得ff(.r)必=(g)(b-).证由T/(*)在a句上连续,因此存在最大值M和最小值，n.由nt/(.r)M,xe.,使用枳分不等式性质得到zj(b-)f(x)dxM(b-a),或f(x)dxM.一Of1.再由连续函数的介值性，至少存在点力,使得即有*(x)dv=()(-w).定理2假设/(x)在上连续,那么至少存在点S(o),使得证由于/(x)在,上连续，从而/(x)在,回上可积.设其原函数为(x),那么根据原函数存在定理可知，F(X)在,b上连续，且F(X)在,回上可导,由由拉格朗日中值定理知存在一点J(”,)使得.bn那么得f(x)dx=f()(b-a).显然定理

5、2的结论要强于定理1的结论,所以将积分第一中值定理表达成定理2的形式更好一些,这不仅是由在很多应用中要用到这个“内”字,而且也与微分中值定理的表达相一致.1.2 积分第二中值定理积分中值定理无论在理论上还是在应用上在积分学中都有重要意义,所谓积分第二中值定理那么比枳分第一中值定理更为精细，卜面给出该定理与其证明.定理3设函数f(x)在句上可枳，g()在,力上单调且在.”上连续，那么存在一点,fr使得/(x)在”用上可积/(x)g(X)以招()J：f(x)t+KS)I/(x)dJ(I)证假设g(X)在4句上单调减少且非负.将区间可分成几局部，HI1.a=X0,x2x1i=Z,:而Ar*=.vt-

6、xt-1.(=1.,2,)，记2=maxArA,那么：f：/（八）（八）Jx=HmEW(媒)J：f(x)dxi6x1.i,xa,由于g(x)在上单调减少I1.非丸即g(4jg值)“(幻之。而infJf()而fg（八）/(x)rfvsup(w)u.根据阿贝尔引理有：g).f/(“)必4f(x)g(x)dSg(6)氏：/(“)&,当JTo时,有g(4)g()即:g(0)业1.C/(“)&5f/(x)g(x)“rS8（八）swjf(u)du,所以，当g（八）时有：(g()=O时成立的)1W八志：x)g3去:照/()飙而当K()=O时也成立由介值定理知连续函数/(“)()&=()4t.式中。与一般不相

7、等,但如下的定理给出了一般性结论特别地,当g(x)=1.时,就是定理8.定理9设/()与g(R都是上的Rienm可积函数,且g(x)在。,句上不变号，那么至少存在点wm,M,使得f()g()()dj(3)其中?=inf/(,V),M=sup/(x).特别地，当/(X)在0可上连续时，(3)式可以改写为(K)J：x)g(x)杰=4)g(x)d定理10假设函数f(x)(x)和g(x)r(x)分别在(力)内连续且在.b上可积,在(。力)内(x)0,那么至少存在一点Smb),使得g(三)f(XW(X)必=fJ)(W(XMJ定理11假设/(x)奴X)G=I23,)在内连续I1.在a/上可积，在(。仍)内

8、W(X)W0,那么至少存在一点fw(方)，使得.f-GW(岫J：.(X)Nx)-=Oi,-()以2.2积分第二中值定理的推广上面我们介绍了枳分第二中值定理及其证明，卜.面我们把它推广，于是我们有以I；定理.定理12函数/(x)在a句上可枳，R(X)在肉上单调递或且g(x)2O,那么存在Jw可，使得:f/(r)g(.r)dr=()f(x)dx.(2)函数/(力在侬句上可积，身(x)在,句上单调递增，且g(x)O,那么存在ff(x)g(X)公=Rg)J：/(x)dx.定理13函数x)在肉上可积,g(x)在回句上单调,那么存在心回药,使得:f/(x)g(x)dt=*(。)J)杰+g(b)fx)dx.

9、定理14函数/(x)在,村上连续可做g(x)为连续可微的单调函数,那么存在火回村,使得：f(x)g(x)d=g()j(x)r+ge)f7(x)dr注:与定理13相比,这里的条件要强的多.定理15(I)设函数f(x)在同上单调递增且非负，g(x)在回上可积,wR且之1,那么存在央侬句,使得:(2)设函数/(x)在幽可上单调递减且非负,g(x)在,可上可积,且“1,那么存定理16设函数/(x)在a,b上单调且非负，g(%)在&句上可积，m1wR且HIM”,那么有以下几点：(1)函数/(.V)在”.句上单调递增时，存在ea,b,使得心+aO)fg(*)A(2)函数/(x)在a.6上单调递减时，存在ea,b,使得ff(x)g(x)心:卬Cg(X)山+何0)fg(.定理17设/(x)是4可上有原函数，g(x)在&以上用石必可枳且不变号，那么至少存在一点e(a,b),使得:f()g()必=g()ff(x)+g(b)Cf()康.3积分中值定理的应用积分中值定理的理论非常复杂，证明方式也很多，这里不做过多的讨论，下面我们给出它在各个方面的应用.3.1 积分第一中值定理的应用用于确定数列极限例1证明Iim二必=0.C1.)1+.r分析此数列通项含有定积分,而定枳分不易求出