专题14 抛物线（解析版）.docx

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1、专题14抛物线目录一览2023真题展现考向一直线与抛物线真题考查解读近年真题对比考向一抛物线的性质考向二直线与抛物线命题规律解密名校模拟探源易错易混速记/二级结论速记考向一直线与抛物线1.（多选）（2023新高考II第10题）设O为坐标原点，直线y=-5（X-1）过抛物线C：y2=2px（p0）的焦点，且与。交于M,N两点，/为C的准线，则（）A. =2B. MN=gC.以MN为直径的圆与/相切D.AOMN为等腰三角形【答案】AC解：直线y=-5（X-I）过抛物线C：yP=2px（p0）的焦点，可得=1,所以p=2,所以A正确；抛物线方程为：9=4彳，与C交于M,N两点，直线方程代入抛物线方程

2、可得：3-10x+3=0,10xm+xn=y所以MN=xm+xn+p=卒所以8不正确；M,N的中点的横坐标：中点到抛物线的准线的距离为：1+：=（所以以MN为直径的圆与/相切，所以C正确：32-10x+3=0,不妨可得XM=3,Xn=py,M=-23,M=芋，IOM=9+12=21,TOM=木瑶=写,IMM=争所以4OWN不是等腰三角形，所以。不正确.真题考查解读,【命题意图】考查抛物线的定义、标准方程、儿何性质、直线与抛物线.考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想.【考查要点】抛物线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等

3、.【得分要点】一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线1（1不经过点Q距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的焦点，直线1叫做抛物线的准线.注，在抛物线定义中，若去掉条件“1不经过点尸，点的轨迹还是抛物线吗？不一定是，若点尸在直线I上，点的轨迹是过点尸且垂直于直线1的直线.定义的实质可归纳为“一动三定”一个动点M一个定点及抛物线的焦点）；一条定直线（抛物线的准线）；一个定值（点好到点尸的距离与它到定直线1的距离之比等于1）.二、抛物线的方程及简单几何性质准线jr=f性质范围*20,yRjtO,yRjrR,y20xR,y0开口方向向右向左向上向下三、直线与抛物线的位置关系设直线Ity

4、=kx+mt抛物线：=2px(p0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于N的方程般+2(knp)x2=0.(1)若AO,当“0时,直线与抛物线相交，有两个交点；当4=0时,直线与抛物线相切，有一个交点；当40)的焦点的直线交抛物线于4(万，万),B(出,H)两点，那么线段四叫做焦点弦，如图：设四是过抛物线/=2Rr(P0)焦点尸的弦，若4(禹，/1),B(x2,，则I四I=Jn+花+P.(2)%度=一/(3) IAB=汨+石+p=si30(a是直线形的倾斜角).1 19(4)卤+卤=定值(户是抛物线的焦点).(5)求弦长问题的方法一般弦长：I羔I=#1+/|曷一股I,或I四I=/1+去|%一

5、.|焦点弦长：设过焦点的弦的端点为NGbJi),Ba,万)，则=与+乃+.B近年真题对比考向一抛物线的性质2.(多选)(2022新高考H)已知O为坐标原点，过抛物线C：=2px(p0)焦点/的直线与C交于A,B两点,其中4在第一象限，点M(p,0).若HFl=HM，则()A.直线AB的斜率为2EB.OB=OFC.AB4OF【解答】解：如图,D.NQAM+NOBMV1800(至返),422由抛物线焦点弦的性质可得XA八二正一，则XDxAxB4B等r，kAB=kAF=飞=26,故A正确；上，则B(2.,厚,IobIP_P420F=-tOBOF,故8错误;932H用=晋制+ph2p=4O,故C正确；

6、oa2=ob2am2=IbmI2=m=p.ioyioyVOA2+Afl2Ofl2,OB1+BM202,ZOAMf/08”均为锐角，可得NOAM+NO8MV180,故。正确.故选：ACD.A.1B.2C.22D.43. (2021新高考II)若抛物线)?=2力(p0)的焦点到直线y=x+l的距离为,则P=()【解答】解：抛物线=2pK(p0)的焦点(,0)到直线y=x+l的距离为5,恃-0+1I可得17=5,解得p=2.2故选：B.4. (2021新高考I)已知O为坐标原点，抛物线Cy2=2px(p0)的焦点为F,P为C上一点,PF与X轴垂直，。为X轴上一点，且PQ_1.oP.若FQ=6,则C的

7、准线方程为.【解答】解：法一：由题意，不妨设P在第一象限，则p),kop=2,PQYOP.所以kpQ=-所以PQ的方程为：y-p=-i-(x-J=O时，X=员,2IFQ=6,所以号号=6，解得P=3，所以抛物线的准线方程为：X=-旦.2法二：根据射影定理，可得/网2=尸OllFQ,可得2=冷乂6,解得p=3,因此，抛物线的准线方程为：x=-X2故答案为：X=-.2考向二直线与抛物线5. (多选)(2022新高考I)已知。为坐标原点，点A(1,1)在抛物线CW=2py(p0)上，过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点，则()A.C的准线为y=lB.直线AB与C相切C.IoPHoQlOA2D.B

8、PBQBA2【解答】解：点A(1,1)在抛物线C：x1=2py(p0)上，2p=1解得p=-,抛物线。的方程为了=)，准线方程为y=，选项A错误；y4由于A(I,1),B(0,-1),则ke=l-(-D=2,直线AB的方程为y=2-1,ABI-Qfy=91C联立.c，可得72x+l=0,解得工=1,故直线AB与抛物线C相切，选项B正确：X2=y根据对称性及选项8的分析，不妨设过点3的直线方程为y=依-】(Q2),与抛物线在第一象限交于P(XIy),Q(X2,1y2),联立消去y并整理可得；Aiv+1=0,则x+x2=k,xx=1,y=y1y2=(kx1-1)(kx2l)=kx1x2-k(X1+

9、x2)+l=l,IOPIIOQI=12+y1222+y22-42X1y12x2Y2=21x2y1y2=2=IOA12由于等号在Xl=A2=yi=)2=1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；IBPllBQl=x12+(y1+l)2x22+(y2+l)2x12+4y1x+4y=Bx125x22-5(x172P=5=IBA1一.抛物线的标准方程（共1小题）1.（2023道里区校级二模）己知抛物线的顶点在原点，对称轴为X轴，且过点（-3,3）,则此抛物线的标准方程为.【解答】解：抛物线的顶点在原点，对称轴为X轴，且过点（-3,3）,设抛物线y2=-2px,可得9=6p,所以2p=3,所以抛物线的标准

10、方程V=-3x.故答案为：J=-3x.二.抛物线的性质（共39小题）2.（2023海淀区一模）已知抛物线y2=4x的焦点为凡点P在该抛物线上，且P的横坐标为4,则IPFl=（）A.2B.3C.4D.5【解答】解：Y抛物线方程为=4x,E=1,又点尸在该抛物线上，且P的横坐标为4,.PQ=品4=5故选：D.3.（2023润州区校级二模）图1是世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”一一500加口径抛物面射电望远镜,反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面）,其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线。的一部分，放入如图已知

11、该抛物线上点尸到底部水平线（X轴）距离为125?，则点尸到该选项。正确故选：BCD.命题规律解密根据近几年考题推测考查内容抛物线的定义、方程、性质，以小题出现，常规题，难度中等.2所示的平面直角坐标系xy内,抛物线焦点尸的距离为（）图1图2名校模拟探源A.225mB.215mC.300z?D.350加【解答】解：令抛物线方程为f=2Py且p0,由题设，(250,156.25)在抛物线上，则312.5=25()2,解得P蜷与二200，oJ1.O又P(XP,yp)且yp=125,则P到该抛物线焦点F的距离为yp号=125+100=225米故选：A.4. (2023郑州模拟)抛物线有条重要性质：从焦

12、点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过该抛物线的焦点.已知抛物线C：E=2py(p0),一条平行于y轴的光线，经过点4(1,4),射向抛物线C的8处，经过抛物线C的反射，经过抛物线。的焦点凡若IABI+8Q=5,则抛物线。的准线方程是()【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为y=上，y2根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,所以IabI+bfI=4玲=5,得p=2,所以抛物线的准线方程为y=-1.故选：B.5. (2023红山区模拟)已知抛物线Cy1=2px(p

13、0)的焦点广到准线的距离为4,点M(X,y),N(十,)在抛物线C上，若(y2”)(y+2)=48,则-=()A.4B.2C.工D.工42【解答】解：抛物线Cy1=2px(p0)的焦点/到准线的距离为4,则p=4,C：y2=8x,依题意,yj-4yj=4g而y；=8x/4yg=32x2,故8l32X2=48,即8x+16=32x2+64,则w+2=4(x2+2),MFIal+2NFT=x2+24故选：A.6. （2023河南模拟）设尸为抛物线C/y2=2的焦点，点尸在抛物线上，点。在准线/上，满足PQX轴.若IPQI=IQ则IPQ=（）A.2B,23C.3D.33【解答】解：依题意有俨。|=|。月=P,则APQ尸为等边三角形，又R2X轴，所以IPQ=IPQ=4OQ=2.故选：A.7. （2023四川模拟）抛物线CW=心的焦点为尸，直线-y+3=0与C交于A,B两点,则aAB尸的面积为（）A.4B.8C.12D.16【解答】解：Y抛物线Cf=4y的焦点尸为（0,1）,又易知直线x-y3=0与y轴交点尸为（0,3）,联立Iy-x+3,可得/4x72=0,lx2=4y解得W=-2,2=6,ZXAB尸的面积为春IPFI.-2I=Jx2X8=8,故选：B.8. （202