齐次化妙解圆锥曲线斜率问题.docx

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1、大招一齐次化妙解圆锥曲线斜率问题大招总结圆锥曲线的定点、定值、弦长、面积，很多都可以转化为斜率问题，当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积，以往我们的常用方法是设直线y=区+b,与圆锥曲线方程联立方程组，韦达定理，再将斜率之和或之积的式子通分后，将士十x2和5W代入，得到关于大。的式子。方法不难，计算量较为复杂。如果采用齐次化解决，直接得到关于女的方程，会使题目计算量大大减少。“齐次”，即次数相等的意思，例如，。）=0+岫+02称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为/（X）中每一项都是关于X、y的二次项。如果公共点在原点，不需要平移。如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线

2、斜率是不变的.注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，你没有看错，“上减下加”，因为是在等式与y同侧进行加减，我们以往记的“上加下减”都是在等式与y的异侧进行的。例：y=履+b向上平移1个单位，变为y=fcr+O+l,即y-l=履+探=1向上平移1个单位，变为5+F=Icrbcrb设平移后的直线为如+y=l（为什么这样设？因为这样齐次化更加方便，相当于“1”的妙用），与平移后的圆锥联立，一次项乘以点+），常数项乘以（mx+犯）2,构造ay2+bxy+cx2=0,然后等式两边同时除以公（前面注明X不等于0）,得到4（2）2+bZ+c=O,可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，&+比=-2,

3、XXxx2a1.&=,即可得出答案。如果是过定点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回xx2a去。总结方法为：1、平移；2、联立并齐次化；3、同除/；4、韦达定理。证明完毕，如果过定点，还需要还原。优点是：大大减小了计算量，提高准确率！缺点：比+即=1不能表示过原点的直线，少量题目需要讨论。【思维引导1】已知内和占是方程2/+3x-4=OM两个根，求人+-的值.为看bE+、,+111X1+X2b3解：方法1：=-=一一=-x1x2x12c4a方法2：方程两边同时除以-4（1）2+3（一）+2=0,是方程两根，直接韦达XXX1X2定理，XiX24【思维引导2】直线lx+=1与抛物线=4x交

4、于A（Xl,）和%），求%oa%夕（用小、表示）解:T*”)1齐次化联立得y2=4x(nc+ny),y=4x等式两边同时除以(2)24(马-4加=0.XX所以：Wo8=2=4m【思维引导3】直线如+)，=1与椭圆1+_=佼于4%,%)和8(%7办)，求&”2O8(用机和表示)43mx+ny=22解:“fy2齐次化联立得：1+V=(AHX+y)2143等式两边同时除以f,(12一4)()2+24刖(2)+12疗,3=0,XX所以%=9=普x1x22n-4【思维引导4】已知动直线/的方程为/三+州=1.若m=2，求直线/的斜率.(2)若加=-1，求直线/所过的定点.2(3)若根=2+1,求直线/所

5、过的定点.(4)若m=2+2,求直线/所过的定点.(5)若包3k=i,求直线/所过的定点.4+12m解:A=-=-2n(2)-x+=l,消去,令y=0,所以过定点(-2,0)(3)整理得m-2=L所以过定点(1,-2)(4)整理得Lm-Z2=1,所以过定点(LT)22(5)整理得6加-;=1,所以过定点(6,-/)【思维引导5】抛物线),2=4%直线/交抛物线于A、8两点，且。A_LOB求证：直线/过定点.解：设直线4B方程为加r+y=1,4玉,丁1),3(工2，月)wc+ny=y2=4x联立得(2)2一4(马-4m=0所以普1 = 4,得欠.-4 nn 2于是AQAk)8=1=47=-LWn

6、=-x1x24所以直线AB：L+町，=1过定点(4,0).4【思维引导不过原点的动直线交椭圆右厅4晒点直线。4AA。硼斜率成等比数列，求证：直线/的斜率为定值.解：设直线AB方程为/nr+ny=,A(x1,y),B(x2,y2)mx+ny=炉2联立得(12n2-4)(2)2+24三()+12n2-3=0+=1XX43于是OAOBJiy2=12h2-3x1X212n2-4【思维引导.7】己知椭畤+,0按照平移要求变换椭圆方程，并化简平移后的椭圆方程将椭圆向左平移1个单位，求平移后的椭圆.(2)将椭圆向右平移2个单位，求平移后的椭圆.将椭圆向上平移3个单位，求平移后的椭圆.(4)将椭圆向下平移4个

7、单位，求平移后的椭圆将椭圆向左平移I个单位，向下平移当个单位，求平移后的椭圆.(6)将椭圆向左平移2个单位，向上平移1个单位，求平移后的椭圆.解W)+0-+y2=,即4/+/+2%-3二04(2)2)-+y2=l,BJ4y2x2-4x=042(3)y+(y-3)2=1,即4尸+-24y+32=02(4)+(y+4)2=1,即4y2+x2+3260=04.(5)5：、+(y+与=1,BJ4y2+x2+2x+43y=0(6)(X+2)-+(y-l)2=l,即4/+2+4x-8y+4=04【思维引导8】抛物线)，2=4x,P(l,2),直线/交抛物线于A、8两点,PA工PB,求证：直线/过定点解：将

8、图形向左平移1个单位，向下平移2个单位平移后的抛物线方程为(y+2)2=4(x+1),整理得V+4y-4x=0设平移后直线43方程为如+=1,4(工,),8(乙,%)wc+ny=VoV+6(2机+)Z+(6w+3)=0XX-I%=一6(2/+)二0x1x212n+4-6(2w+n)=0,侬+町，=1的斜率-=Ln2,r2V2,【思维引导.10】双曲线3-=1P(2,0),A、8为双曲线上两点，且ZPA+Zps=S46不与X轴垂直，求证：直线45过定点.*解：将图形左平移2个单位/平移后的双曲线为多或-=1,整理得/_/_4工_2=0设平移后直线AE方程为Tnr=LAxyl),Bx2,y2)tn

9、x+ny=y2-x2-4x-2=0联立得y2-%2-4x(nr+ny)-2(WLE+ny)2=O(l-22)y2-(4w+4wn)y-(2w2+4w+1)2=O同时除以f,(一2n2)(马2一(4+4mn)2-(2w2+4n+l)=0XX,%必4+4mnkPA=+=2=x1x21-2n4+4机=4n(m+1)=0,n=0或w=-1AB不与X轴垂直，n0.：./H=-I+y=l过(T,0),右移2个单位，原直线过(LO)典型例题例1.(2017秋重庆期末)已知抛物线。:9=2氏(0)上一点42,)到其焦点的距离为3.(I)求抛物线C的方程；（三）过点(4,0)的直线与抛物线C交于P,Q两点、,O

10、为坐标原点，证明：NPOQ=90。.法1：(I)由题意知：2-(-)=3=p=2=y2=4;(II)证明：设该直线为my=x-4,P、Q的坐标分别为(,yl),(x2,y2),fiy=X-4：=y2-4y-16=0,y=4x22OPOQ=x1x2+yiy2=%,+%必=(-16)2-16=0,16.-16所以NPoQ=90.法2：要证明NPOQ=90。,即证即。%o=-l设PQ：mx+=1,过(4,0),=1,m=-4y2=4x(mr+7j)y2-4nxy-4mx2=O同除Y得(上F-4上一4根=OXXk、.k2=-Atn6=；,.Ke=-1即/POQ=90。例2、(2015年陕西文科卷)如图

11、，椭圆上:于a=1(。60)经过点A(O,-1),且离心率为(I)求椭圆E的方程；（三）经过点(1,1),且斜率为A的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与A。斜率之和为2.b = fa2结合a?=6+(?,解得=0所以与+丁2=1；(II)证明：由题意设直线尸Q的方程为y=A(x-1)+1伏H0),代入椭圆方程5+V=I,可得(1+2k2)x2-4k(k-l)x+2k(k-2)=0,由已知得(1,1)在椭圆外，设P(,jl),Q(X2，y2)，Xw0，则 x1 + =W-l)2k(k-2)1 + 2公，,x2- + 2k2H=6k2(k-1)2-8A(-2)(1+2

12、k2)0,解得无0或无1-2.则有直线AP,AQ的斜率之和为如+以Q=卫!+!xIx2kx.+2-kkx.+2-k1、小，、十为=-+=2k+(2-2)(一+)=2+(2-)-1= 2k + (2-k).-= 2k-2(k-) = 2.X24&(%-1)2k(k-2)即有直线AP与AQ斜率之和为2.法2：(2)上移一个单位椭圆？和直线Z/：y + (y-l)2=ljnx-vny = 1如+町，=1过点(1,2)m+277=1m=i-2nx2+2(y-l)2=2,x2+2-4y=02y2+x2-4y(wr+,)=0(-4+2)2-4mxy+x2=0x0.同除2(-4+2产)+4n-+l=0-4n

13、 + 2 1-2n2m网=2m4m例3、(2017年全国卷文科)设A,B为曲线C:y=上两点，A与B的横坐标之和为4.,4(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线。上一点，。在M处的切线与直线AB平行，且AW_LB求直线AB的方程.222解：设A&,予,B(x2,予为曲线Uyq上两点，式_立则直线AB的斜率为A=/-=-(x1+x2)=-4=1;xl-x,44(2)方法1：设直线4?的方程为y=x+/,代入曲线C:)，=二，可得f-4x-4r=0,即有X+z=4,x1x2=-4/,再由y=?的导数为y=gx,设M(九也)，可得M处切线的斜率为L*42由C在处的切线与直线AB平行，可得=2解得加=2