隐零点设而不求（解析版）.docx

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1、隐零点设而不求隐零点设而不求专题阐述：隐零点是用导数判断函数单调性和求最值常规方法的补充，而求最值和判断单调性是所有导数大题共有的解题基础，因此这部分内容是导数的基本功，如果尝试在导数压轴大题上争取更高的分数，则隐零点问题必须熟练掌握.规律方法隐零点问题的出题特征较为明显，在参数范围的题目中所求的参数经常为整数，因为利用此类方法求出的最值通常是一个范围，当然也不排除有些题目设计较为巧妙，在求最值时的未知零点可以约分成一个具体的数字.例题1.设函数八力二。一一2.(I)求函数/U)=-办-2的图象在点A(O,T)处的切线方程;(II)求/W的单调区间；(In)若=l,k为整数，且当xO时，(xd

2、)(x)+x+lO,求k的最大值.【解析】(I)/(x)=ev-0r-2,xR,f,(x)=ex-a,xR,ff()=l-a,函数/(X)=e-ar-2的图象在点A(OI)处的切线方程为y=(l-)x-l.(II)f,(x)=er-a,xR.若O,则/(力0恒成立，所以，力在区间(Yo，”)上单调递增.若a0t则当xw(-,lnQ)时,(x)Of所以，外”在区间(YUna)上单调递减，在(hw,Ho)上单调递增.(III)由于。=1,所以,(XT)由(x)+l=(x-0时，(x-2)(x)+x+l0女VU+x(xO).令&(，)=弁+，则,(H=冷m+J半营1.e-1(eT)(e-1)函数MX

3、)=dr-2在(O,+8)上单调递增,而0.所以MX)在(o,y)上存在唯一的零点，故g()在(o,y)上存在唯一的零点.设此零点为,则e(l,2).当XE(O,a)时,(x)0;所以g(x)在(0,+功上的最小值为8(。).由/(a)=。，可得产=2,所以g()=+l(2,3).由于式等价于&0恒成立.【解析】(1)-ft()=e一一,=o是/()的极值点，.r(o)=o,解得加=1.x+mm，函数/(6=eTn(x+l),其定义域为(T,).V(x)=e-,设g(x)=e*-J7,则gM)=e+y7M,g(x)在(T,+)上为增函数，X+1IX+IJ又g(0)=0,当“0时，屋力0,即r(

4、)o；当-IVXVO时,g(x)v,r(x)O.，f(x)在(TO)上为减函数；在(0，+8)上为增函数.(2)证明：(x)=/(x)-+ln(2-x)=er-ln(x+/n)-er+ln(2-x),;g(x)=/(X)-e-+ln(2r)为奇函数，.*.g(x)+g(-x)=e*-In(x+/W)-ex+In(2-x)+ex-In(-x+w)-erIn(2+x)=0,gpln(2-x)ln(2+x)=ln(x+n)+ln(w-x),解彳导?=2,(x)=e-ln(x+2),则广(力=已,一脸在(-2,同上单调递增，VX-1)0,/(尤)=0在(-2,y0)存在唯一实数根.%,且毛-1,0),

5、当x(-2,%)时，r(x)0f当x=/时，函数取得最小值，W=六，即0=Tn(2+0),(x)(x0)=e,h-ln(2+)=-!+=-0,(x)0.3.B0S8ft()=-2()lnxx2-2tr-22+,其中O.(I)设g(x)是力的导函数，讨论g()的单调性;(11)证明：存在。0)，使得/(”0在区间(L+oo)内恒成立，且/(x)=0在区间(1,+CO)内有唯一解.【解析】(I)由已知,函数/(x)的定义域为(0,+8),g(x)=r(x)=2()-211-2(1+5，.2L.lY+2L,n如)=2二+与J2)(.XX2X2当。3；时，g(x)在P哼可，件严，+上单调递增，ZZ在区

6、间上手M，匕亭亚上单调递减；当;时，g()在(o,y)上单调递增.(II)由广(刈=2(工一。)一21口一2(1+0)=0,解得丁丁,X/1X人/JX-I-InX,JX-I-InRJX-I-InxYx-1-lnx令)=邛+下丁卜ET-F7m-rm+7，则9=lO(e)=-芈-2(然0.故存在0w(l,e),使得姒o)=0.令/,w(x)=x-l-lnx(xl),由/(x)=l,0知，函数“6)在(l,+)I十oX上单调递增.w(xfl)w(e)e-2z、0=-=-=-r/(%)=O；当x(,+)时，r(x)(),从而f(x)f(%)=O.，当xe(l,)时，/(x0.综上所述存在。40)使得/

7、(x)0在区间(1,+CO)内恒成立目力=0在区间(1,)内有唯一解.【针对训练】1 .已知函数f(x)=-ln(x+m)设X=O是f(x)的极值点，求m,并讨论f(x)的单调性；(2)当m2时,证明f(x)O.22 .已知函数/(x)=奴+在(TO)上有两个极值点，对与，且XVX2.求实数的取值范围；(2)证明：当时，/)苏.3 .已知R,函数/(x)=e*+加,g(%)是F(X)的导函数.当。0时，求证：存在唯一的,0),使得g(%)=o;(2)若存在实数。,b,使得f(x)加恒成立，求方的最小值.参考答案：1 ./在(To)上是减函数；在(0,yo)上是增函数(2)见解析fix)=*【详

8、解】匕十出.由X=O是f(x)的极值点得f,(O)=O,所以m=l.尸(M=F于是f(x)=ex-ln(x+l),定义域为(-1,+),X1./(X)=et函数X1在(-1,+8)上单调递增,且f(O)=O,因此当X(-1,0)时，f,(x)O.所以f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增.当m2,X(-m,+)时,ln(x+m)ln(x+2),故只需证明当m=2时,f(x)O.,X=ex-当m=2时，函数上,2在(-2,+8)上单调递增.又f(l)v,f(0)0,故f(x)=O在(-2,+oo)上有唯一实根W,且七三1四.当工y-2,XJ时，f，(x)o；当X时，f，(xo

9、,从而当“与时，f(x)取得最小值.1由f2,!n(w2j=-%,八邛-fLx)-+三。故4+2综上,当m2时,f(x)O.2 (W)(2)证明见解析【分析】(1)根据题意得方程2+2x+=0在(To)上有两不等实根,进而结合二次函数零点分布求解即可;22I(2)根据题意得559,进而得/(占)=石+石+3+lAgW+E+gF+l,再构造函数比)=+f+1+,研究单调性得MX)在H，o单调递增，进而MX)*(=*(1)2解：/(%)=/+/+v+,，/(x)=2x2+2x+a,2、；函数/(x)=3V+2+r+1在(To)上有两个极值点内,修，且演0故有g(O)=aO,解得ogg(T=+(T)

10、+0所以,实数的取值范围是o)(2)证明：由题意知是方程2f+2x+=0的较大的根,故-别，由于O-x2 ,221(x2)=-0r2l-x2l设(X)=gxW+g+l,xe(-g,),(x)=2(x+；)+0,3)在(-；可单调递增，g)-)=,即/5)苫成立.不等式成立证毕.3.(1)证明见解析【分析】(1)求出g(x),即可得到g(x)的单调性,再根据零点存在性定理判断即可；(2)分。0三种情况讨论，当0时，由(1)可得了的最小值为/(%),则f(Xo),从而得至h-b%(l+4-+令MX)=+,x0时，g()o,函数g(x)在(y,+)上的单调递增，又g(5)=ef0诙唯一的(，0),使得g(M)=0.(2)解：当0时，则当x0,即函数/()在(y,0)上单调递增，且当XfF时，/(k)tyo,这与/()b矛盾；当=0,et/?,彳导b0,a-hO;当。0,由(1)知当xt(-,陶时，鼠)0；即/W在(-8,再)上单调递减，在(%”)上单调递增，f(x)的最小值为/(与),其中K满足e+2/=0,故且%0,ZXO)4m立，(/),即一)a-N,于是 -bN-e% =-e$ 1+-+I 2x。 2 J,记 MX) =x(.1 Xe 1 +I 2- 2，x0得-lev。，即函数MX)在(to)上单调递增，/?(min=Mf=T，综上得E的最小值为:此时=T.