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1、专题4.13等差数列和等比数列的综合应用大题专项训练(30道)【人教A版2019选择性必修第二册】姓名：班级：考号：1. (2022江苏南遹.将二期中)设容差数列*的前n项和为S1,已知/=IS,S5=45.(I)SRan1.着a1.1.为为与a2n7(n4.nN)的等比中项，求儿【解密思路】(1)由已知条件，列式后解方程组，求数列的首项和公差，再求通项公式：公差为d.SS=5a1+d=45,解褥4+2d=9,116=a1+Sd=15.所以d=2.a,=5.an=a1+(n-1)rf=Zn+3.(n4nen)jP(2n+3)z=(211-3)(4n+1).化简得：2n2-I1.n-6=0.解之
2、行n=6述n=-g(含)，故n=6.2. (2022广东高二期中)已知等差数列SG满足,a1=10.Ha2+10.a3+8,a4+6成等比数列.(I)求数列a1.1.)的通攻公式；(2)若数列%的通项公式为垢=2.求数列SnbJ的1“项和.【解曲思路】(I设等势数列%的公空为乩由超遇可知到(a3+8)2=(a2+10)-(a4+6),化为基本At5和d的关系,即可求解：2)根据惜位和减法求和即可.【解答过程】(I)等差数列a1.t)的首项5=10,公差设为d,Iha2+10.a3+8.a.+6成等比数列.WJ(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).8J(a1+2d+8)2=(a1+d+10
3、)(a1+3d+6),即(18+2d)2=(20+d)(16+3d).解得d=2.所以a”=Oj+(n-1)d=2n+8.2)1.1.,anbn=(211+8)2n.设数列*%)的前n项和为二.则Stt=102,+122z+-+(2n+8)2n.2S11=1022+12-23+-+(2n+8)2n41.两式相然得-51.,三20+2(22+23+2n)-(2n+8)-2】即-Sn=20+221.*b-(2n+8)2n+,.化简得$,=-16+(2n+7)-2+,.3. (2022江西高三阶段练习(文)已知等差数列斯的前“项和为SttK26-S5=3.2S6-3aft(I)求at1.的通项公式：
4、(2)若%=n2f求数列%的前“项和小.【解密出路】(I)设SC的公差为d,则由已知条件列方程祖可求出的,d,从而可求出通项公式：(2)由=(2n-3)2-然后利用错位相战法可求出。.【解答过程】(I)设S(J的公差为乩A2(a1.+5d)-(5a1+d)=3(2(6a1+等d)-3(a1+7d)=9化简幅3X-解明:所以数列att)的通项公式为a.=-1+(n-1)2=2n-3.由三(2n-3)2-*.所以Ttt=(-1)X20+1X2+3X2?+(Zn-3)2n-1.M2,=(-1)21+122+323+(2n-3)2n由一和-7；=(-1)+221+22z+-+221-(2n-3)222
5、i-22n,2-(2n-3)2n=-5+2+,-(2n-3)2=-S-(211-S)2n.所以数列1的前项和4=S+(2n-S)2.4. (2022四川,高三期中)已知等差效列时和等比数列%满足处=瓦=1,a2+a410,b2bt=a5(1)求StJ的通项公式：(2)求和：bi+bi+11-【裤即思路】（1）设等空数列a1.1.的公差为乩利用1=1.,+4=1.。求出d.再由等差点列的通项公式计算可知答案：2）设等比数列hn的公比为q,则奇数项构成公比为V的等比数列.利用2=好=9求出、qz.可汨（b2r是公比为3,首项为1的等比数列，再出等比数列的前n项和公式计口可汨答案.【解答过程】（1）
6、设等差数列%的公差为d,1.h1=1.a2+a4=10.可得：1.+d+1.+3d=10.耨得d=2.所以%的通项公式%=1+2（n-1）=2n-1；0,可得=3（舍去bs=-3）,（等比数列奇数4符号相同），所以q2=W=3,则坛tt-J足公比为3,首项为1的等比数歹人瓦+8+%+ft-1.N-).5. （2022广东图二期中）已知数列aJ的前n项和为Sr,J1.5r,=n2+1,递增的等比数列%满足：氏+6. =18.b2b3=32.（1）求数列4）、%的过项公式；（2）San,1.的前n项和分别为Sn,Tn,求Srj.Tn.【解时思路】（1）根据%=1.n-,求出*的通项公式,利用等比数
7、列的性质得到“b3b1*4=32,故如可看作方程-8+32=0的两极,根据函数学网性求出从而得到公比，求出仍“的通发公式：2时an=Sn-&t=#-翔T一处T3n-1.又3x1-1=2,满足上式故（arj）的通项公武为at1.=3n-1.次等比数列仍n的公比为q.因为仇+b4=18,b2bs=1.b4=32.所以瓦,几可看作方程/一i8x+32=。的两根,解Ma二；M因为等比数列单调递增,所以C;,:一由去.tt=y=8,解机=2.故%的通项公式为a=22n-1.=2n：(2)因为x=3n-1.所以q1.-j1.=3故Sj为等差数列,由等差数列求和公式得：S”=当F=他+；F=咚1由等比数列求
8、和公式为：=喑2=2-1-2.6. (2022江苏高二阶段练习)等差数列册满足%+h=10.a6-a4=4.(I)求册)的通项公式和前n项和Sn:设等比数列1%满足2=。3,b3=a7,求数列%的前n项和【好跑思路】1)设等基数列SQ的公差为d械匏双速可求得d、的值，利用等基数列的辿项公式可求褥a1.t的友达式,利用等基数列的求和公式可求得S”的友达K：2)设等比数列他,的公比为q求出g、瓦的值.利用等比数列的的求和公式可求得7；的衰达式.【解答过程】(1)解：设等差数列SJ的公差为4M12d=6-4=4.可知d=2.曲+a?=2%+d=2ai+2=10.解得处=4,则即=1.+(n-1.)d
9、=4+2(n-1)=2n+2.所以,SIt=W2)=+3m(2)科：设等比数列回的公比为g.则q=F=中=弓=2,fc1.=三4.*210Qd所以,TI1.=怛产=卑2=2?-4.I-Z7. (2022.黑龙江将二阶段练习)已知数列/满足：5=3,且对任意的nN都有1.n.冬”成等差数列.(1)证明：数列a1,-1为等比数列；(2)已知：bn=(%-1.)(2n+1)求败列他1.前加根为.【解咫思路】（1）由条件可知1+t1.=2tt,即,.-1.=2（1,-D从而得出数列册-1为等比数列：2)bn=(n-1.)(2n+1)=(2n+1.)211,利用错位相减法即可求解.【解答过程】(D证明：
10、由条件可知1.+n+1=2n,WanM=Zan-I.an+-1=2(an-1).且(-1=2,.an-1是以%-1=2为首项，q=2为公比的等比数列.2)由(I知%-1是以%-1=2为首项，q=2为公比的等比数列，.,an-1=2n.)!Jn=(an-1.)(2n+1)=(2n+1)-2n.Sn=32,+5-22+723+-+(2n+1)2.2Sn=322+523+724+-+(211+1.)2*1.两式相减可用,-Sn=3-2,+222+2-23+2-24+-2-2-(2n+1)-2*,fWJ-Sn=6+-b-(2n+1)2*1.I-Z化简得S1.,=(2n-1.)2r+2.8. (2022
11、福建淌：阶段练习)已知等差数列(art中，a1=1,a2+Za3+a4=12.(I)求+a的值：(2)若数列%满足Ibn=(1.t-1.证明：数列4是等差数列.【解陋思路】(I)中等弟数列的性质易得%=3.由等差数列的通项公式求得公差d.再由舫本盘运算求得结论：2)由(”求得通项公式及,从而可得6,计tZbr,-bn(1122)可汨结论.【解答过程】(I)a2+d4=2a3.a2+2a3+a4=Aa3=12.ai=3O3=aI+2d,d=1,.a5+a7=2a1IOd=12；由可知an=如.bn=a2n-1=2n-1.bn-bn.1.=(2n-1)-2(n-1)-1=2(n2).二数列(九是等
12、差数列，首项是1,公差是2.9. (2022广东高三阶段练习)已知数列=1,an+2+-anbn=0.若数列an为等比数列,公比为办Ia1.-W1.=2,求b1.t)的通项公式:(2)若数列(斯)为等差数列,a*2-a*=2.求%的曲”项和兀.【解题思路】（1）由已知条件求出等比数列%的公比和通项得到数列brt为等比数列可求出地项公式:（2）由等差数列%的通项利用案乘法求格数列（1.的通力,再用裂项相消求%的前W项和Tn.【解答过程】（I）数列SJ为等比数列.公比为Wf1.1.=1.1-2=2,2=3=-1.Ih9=q=3或q=-I1.1.1.t,42hnf1.-anbn=0.所以争=-2三-=2又仇=1.即数列（bj是以1为苜项,5为公比的等比数列故瓦=t）或耳=12）依题求得等差数列SG公差d=2,则%=a,+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1.由an+2%+-a11bn=0，所以能=1，,na*2从而/,=乌_.=生.”.瓦=吐1.吐山山瓦%7bn-?b12022的G小正整数.【杯即出路】（I）根则已知条件求得斯的公差，九）的公比，从而求得at1.与bj1.的辿顶公式：2022求斛不等式即可匐到.【解答过程】（I）依即意，（ar是以1为首项的等差数列，瓦是以2为百项的正项等比数列，设
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