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1、专题5.7导致中的恒成立、存在性问题大题专项训练(30道)【人教A版2019选择性必修第二册】姓名：班级：考号：1) (2022广东高三阶段练习)已知(x)=C1Sinx.若Xe0,211,求诲“幻的单调区间和极值I(2)若对Vx2e0.11,x1.0成立,求实数。的取值范围.【解题思路】直按求导计算即可.(x)+x构造新函数g(x)=/CO+2在网上隼调递增即可，然后参变分离或者分类讨论都可以.【解答过程】(I)fr(,x)=ej,(sinx+COSX)=v2sin(x+)e*令/Ct)=。,因为w0,2*得X=智沃=M列入如下：X卜书3JrT(?)7JTT(211,(x)*OO+f(x)T
2、极大值极小伯1所以“外的单调增区间为oTI)和(手2n单皿减区间为管.)“外极大值为，格=9潦，/(x)极小值为/(巧=-专段2) )Xtvx1.rX2O.11),x1物，都有+aO成立可转化化为:x2x1./(*2)+2/(*)+a设g(x)=f(X)+ax2.则g(x)在O,j枚g(x)=ex(sinx+cosx)+2ax0.在也上忸成立方法一：(含金讨论)设八(X=g(x)=CX(SinX+CoSX)+2ax0.MJh(O)=10.h(11)=-ct+2an0,解得h,(x)=2(excosx+a),(0)=2(+1)O.h*(11)=2(-e*).当CjtIIsJ.(x)F=2c1(c
3、osx-SinX).故.当Xe用时，h(x)=2cx(cosx-SinX)0.h(x)递增：芍Xe-jr,t=2cx(cosx-SinX)min(,(0).h,(r)-h*(r)三2(-e*)0,h(x)=g(x)在0,川上单圜递增，h(x)g(x)g(0)=1.0.符合条件.里a时，H,当Xw词时,h(x)递增：当Xm时.八(外递减：Vh(；),(0)=2(a+1.)0.h,(11)=2(a-c11)0,(x)=g(x)尔园递增：当Xe(XOH时,h,(x)0.(;T)=-cx+2a110.g,(x)=h(x)minh(O),h(r)0.符合条件.琮上,实数a的收fft范围是S+8)方法二，
4、(参变分离)由对称性，不妨设OSXt。即为f(x2)+ax卡Ax.)+ax；.设g(x)=/(x)+ax2.则g(x)在|0.可上单调递增，故g(x)=c*(sinx+COSX)+2ax。在0,n上恒成立.V(0)=10,.,g(x)=e*(situ+COSX)+Zax0在0,可上恒成立。-2QyT?Vxe(On设MX)=砥叱。叫x(0,n1.,则V(X)=ScoM。叫xe(0,111.设W(X)=2x-tanx-1,xe(,j)(j,11.蜘5=2-表,x(00U(M1.,(x)O.Xe(OW)Ue.n.得MX)在(0,：).(g，T上单调递增：hXx)O,x(,)u(三,jr.Wv(x)t
5、f(三t),你舅上单调递减.故XC(oj)时s(x)WWe)=W-2-从而，(x)cosx=2xcosx-sinx-cosx0.x(0,)U(p乂X=B时.2xcosxsinx-cost=10.故八(x)=“伊0.x)单调递减.Xe(1,+8)/(X)o./(*)单4递减,所以“X)极大(ft为”1)=0.2)g(x)=cx-ex+(x)=cx-ex+c(1.nx-2x+2),g(1.)=0.=铲-e+G-，g=0g(x)=c*+k信+)=c-*若g(D=c-5k0.mxe(1.,),j11(x)0.所以g(x)的调递减g(x)V/(1)0.所以g(x)单调递减5(x)5(1.)=0.与题意矛
6、盾所以g(0)=c-fc0.UJ2e是命题1.,+).ex-cr+k(nx-2x+2)(Hn成也的必要条件.下面证明:kO恒成立”的充分条件即只需要讨明F当2c,Xe1.,+)不等式CX-ex+fc(inx-2x+2)O恒成立设M)=(IiU-2J+2)*+et-ex,由(D问InX-24+250,所以八伏)在&W(-8,ZeJ上单调递减,1.()min=(2c)=(Inx-2yT+2)2c+c*-ex,记t(x)=C1.-CX+2c0nx2v,x+2),t(1.)=0.t(x)=e*-e+2e&-ex-c+2eC=e-+2e(D=N0.所以Xe1.,+8)()单调递增.f(x)t(1.)=0
7、.嫁上4(-,2e.3. (2022江苏商三阶段练习)已知a0,函数f(x)=(a-X)InX.证明f存在唯一极大值点;(2)若存在a,使得f(x)a+b对任意X6(0,+8)成立，求b的取值范围.【解阳思路】(I)求导f(x)=Tnx+(-1.,xO,再对广(外求好,判断其单调性.然后结合零点存在性定理进而可知f(x)=。仃唯一零点，结合极值点定义可证得结论：(2)题目转化为x)-amaSb,构造U(X)=XIn2-x-*1.nx,x0,利用导数研究函效的率调性,求其最值即可得解.【解答过程】(I)rf1(x)=(a-x)1.nx.求导/，(*)=Tnx+(a-x)：=TnX+?-1.,x0
8、,令S(X)=Tm+?-1,x0.则。(幻=一：一=一詈XaO.5()0.当X=Ca时.fca)=-a+-1.=a-1.-1.0,故函数f(x)在(0,Xo)上单调递堵.当Xe(Xo,+8),()0,故函数/(*)在(Xa+8)上单调递减.所以f(x)存在唯极大值点；0.使得f(x)Sa+b对任意Xe(O,+8)成立，BP存在aO.使知bIf(X)-attx对任意X(0,+8)成立，由(1)如，/(x)max=/(*o)R-InO+-1=0.1.!a=x0(1.+11*o)*。/(X)-am4x=/(x0)-a=x0(1.+InXI)-x0InXO-x0(1.+Inx0),即存在a0,使得bx
9、01.n2x0-x0-X(J1.nXo)XGO恒成立.构造U(X)=X1.n-xx1.nx,xO.BP存在。0.使科bu(x)恒成立,即存在O.bU(X)Inm对任意X(0,+8)恒成立.求导u(x)=1.n2x+Inx-2,XO令u(x)=0.求得InXI=-2.Inx2=1(即占=c2.x2=c当X(0fe-2),u,(x)0,故函数U(X)在(0,e-2)上单调递埒，当*-u,(x)o.故函数Ua)在(c,+8)上单网递增.所以u(x)mi1.,=u(e)=c1.n2e-c-cine=-c0.由XG(0,e)时,u(x)=X(1.n2x-InX-I)=XKInX-0-j,因为X(0,c2
10、).所以InX。在Xe(0,厂2)上恒成立，所以b的取值范围是b-c.4. (2022,河北模拟预测)Q1.(x)=cx+In4;-3,jj(x)=(x)+1.n+2(0).(1)当a=1.时.求g(x)的单调性:(2)若f(x)恒大于0.求的取值范用.【解题思路】(1)将=1.代入，先求函数的定义域.再化简陶数，求守函数，根据甘南数的符号得到因数的单调性：e,n+In(X+3)恒成立,构造函数y=c*+X,根据单诩性格像不等人转化为Ina1.n(x+3)-x.求函数h(x)=In(X+3)-X的鼓大值，解得。的取值素闱.【解答过程】(I)当a=I时.g(x)=1.+1.nW-3+1.n詈+2
11、=c*-In(X+3)-3+In(X+3)-x+2=cx-x-1(x-3).(x)=cx-1.,则当*6(-3,0)时,g(x)0,g(x)唯调递堵，所以当a=1.时，9x)的值调城区间为(-3,0),单调增区间为(0,+8)：-3,且0.f(x)恒大于O.UPacjf+1.n-i-3Otg成立.则1.m+InaIn(X+3)+3.11ftcx+1.na+x+Ina1.n(x+3)+x+3=CIna仃)+g(x+3).囚为函数y=。*+*为增函数所以万十足。：加(+3)即加4：1!1(*+3)-1：.令MX)=1.n(x+3)-x(x-3).MftrW=-k-1=z当e(-3,-2)时，*(x)o,Mx)单调递增.当Xe(-2,+)Hr.1.(x)2,则d.所以a的取值范用是I,+8).5. (2022江苏二期末)已知函数x)=InX-Ox-g*3,(aeR)(1)若曲线y=x)在点(1.fa)处的切纹经过点(3彳)，求的值；(2)当XO时，f(x)者-g2对x0恒成立.设g(x)=号-；工.o,则只需g
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