《线性代数》复习提纲.docx

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2、量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵;判定二次型或对称矩阵的正定性。第二部分：基本知识一.矩阵1 .矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵一一如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2 .矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：矩阵乘法一般不满足交换律（若AB=BA,称A、B是可交换矩阵）；矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；若A、B为同阶方阵，则

3、IABI=IAllB|；IkAI=KlAl3 .矩阵的秩(1)定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；(2)秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数(每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为。的矩阵称为行阶梯阵)。求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。4 .逆矩阵(1)定义：A、B为n阶方阵，若AB=BA=E,称A可逆，B是A的逆矩阵(满足半边也成立)；(2)性质:(AB),=(B)*(Al),(A),=(A,);(AB的逆矩阵，你懂的)(注意顺序)(3)可逆的条件：A0;r（八）=n;A等价于E;(4)逆的求解伴随矩阵法A,=(1A

4、)A*;(A*A的伴随矩阵)初等变换法(A:E)n(施行初等变换)(E:A,)5 .用逆矩阵求解矩阵方程：AX=B,则X=(A,)B；XB=A,则X=B（八）AXB=C,则X=(A-I)C(BT)二、行列式1.行列式的定义用rP个元素aij组成的记号称为n阶行列式。（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2,行列式的计算一阶=行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。方法：选取比较简单的一行（列），保留一个非零元素，其余元素

5、化为0,利用定理展开降阶。特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；(2)行列式值为O的几种情况：I行列式某行(列)元素全为0；II行列式某两行(列)的对应元素相同；III行列式某两行(列)的元素对应成比例；三、线性方程组1.线性方程组解的判定定理：(1) r(Azb)r（八）无解;(2) r(Azb)=r（八）=n有唯一解；(3)r(A,b)=r（八）n有无穷多组解；特别地：对齐次线性方程组AX=O(1) r（八）=n只有零解；(2) r（八）n有非零解；再特别，若为方阵，(l)A0只有零解(2)A=0有非零解2 .齐次线性方程组(1)解的情况：r（八）=n,(或

6、系数行列式D0)只有零解；r（八）n,(或系数行列式D=O)有无穷多组非零解。(2)解的结构：X=cll+c22+.+Cn-rn-ro(3)求解的方法和步骤：将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；写出对应同解方程组；移项，利用自由未知数表示所有未知数；表示出基础解系；写出通解。3 .非齐次线性方程组(1)解的情况：利用判定定理。(2)解的结构：X=u+clal+c2a2+.+Cn-ran-o(3)无穷多组解的求解方法和步骤：与齐次线性方程组相同。(4)唯一解的解法：有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法(初等变换法)。四、向量组1 .N维向量的定义注：向量实际上就是特殊的矩阵(行矩阵和列矩阵)。2

7、.向量的运算：(1)加减、数乘运算(与矩阵运算相同)；(2)向量内积CfB=albl+a2b2+anbn；(3)向量长度|a|=Vata=V(alA2+a2A2+.+anA2)(根号)(4)向量单位化(l)6(5)向量组的正交化(施密特方法)设al,2,.,an线性无关，则l=al,2=a2-(a2,ll,)*l,3=a3-(a3,ll,l)*l-(a3,22,2)*02,3 .线性组合(1)定义1=klal+k2a2+.+knan,则称B是向量组al,a2,.,an的一个线性组合，或称B可以用向量组CI1,2,.,an的一个线性表示。(2)判别方法将向量组合成矩阵，记A=(Cl1,a2,，a

8、n),B=(al,a2,.,anz)若r（八）=r(B),则可以用向量组al,a2,.,CIn的一个线性表示；若r（八）r(B),则不可以用向量组al,a2,.,an的一个线性表示。(3)求线性表示表达式的方法：将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。4 .向量组的线性相关性(1)线性相关与线性无关的定义设klal+k2a2+.+knan=0,若kl,k2,.,kn不全为0,称线性相关；若kl,k2,，kn全为0,称线性无关。(2)判别方法：r(al,a2,.,an)n,线性相关；r(al,a2,.,an)=n,线性无关。若有Fl个Fl维向量，可用行列式判别：n阶行

9、列式aij=O,线性相关（M）无关）（行列式太不好打了）5 .极大无关组与向量组的秩（1）定义极大无关组所含向量个数称为向量组的秩（2）求法设A=（l,2,.,an）,将A化为阶梯阵,则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。五、矩阵的特征值和特征向量1 .定义对方阵A,若存在非零向量X和数入使AX=入X,则称人是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值人的特征向量。2 .特征值和特征向量的求解：求出特征方程IM-Al=O的根即为特征值，将特征值人代入对应齐次线性方程组（M-A）X=O中求出方程组的所有非零解即为特征向量。3 .重要结论：（1）A可逆的充

10、要条件是A的特征值不等于0；（2） A与A的转置矩阵A有相同的特征值；（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。六、矩阵的相似1 .定义对同阶方阵A、B,若存在可逆矩阵P,使Pa-IAP=B,则称A与B相似。2 .求A与对角矩阵人相似的方法与步骤(求P和八)：求出所有特征值；求出所有特征向量；若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化(否则不能对角化)，将这Fl个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P,依次将对应特征值构成对角阵即为八。3 .求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵：方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三步要将所得特征向量正交化且单位化。七、二次型1 .定义n元二次多项式f(xl,x2,，Xn)=EaijXiXj称为二次型,若aij=O(Hj),则称为二交型的标准型。2 .二次型标准化：配方法和正交变换法。正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q,Q-1=Q,即正交变换既是相似变换又是合同变换。3 .二次型或对称矩阵的正定性：（1）定义（略）；（2）正定的充要条件：A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0；A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0；各科期末考试复习资料由QQ：1175252575整理