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1、3.3对数函数y=logax的图像和性质1.对数函数的概念:一般地,形如y=Iog0且。声D的函数叫对数函数.2.对数函数y=logx(a0且。1)的图像和性质。y=Ioga4ala图像L0,)性质(1)定义域:(0,F8)(2)值域:R(3)图像过定点:(1,0)(4)在(0,-8)上是增函数(1)定义域:(0,+8)(2)值域:R(3)图像过定点:(1,0)(4)在(0,+)上是减函数3.指对数函数性质比较图象特征函数性质共性向X轴正负方向无限延伸函数的定义域为R函数图象都在X轴上方函数的值域为R+图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都过定点(0,1)过定点(0,1)0a0时,0y
2、l;在第二象限内的图象纵坐标都大于1当xl图象上升趋势是越来越缓函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢;al自左向右看,图象逐渐上升增函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1当x0时,yl;在第二象限内的图象纵坐标都小于1当x0时,0y(),。工1.已知函数F=log,(x+加的图象如图所示,求。与人的值.【分析】由图象可知,函数图象过点(-2,0),(0,2),将点的坐标代入函数中,可得关于。力的方程组,从而可求出。,力的值【详解】由图象可知,函数y=iog0时,根据函数的极值可以排除C、D,当xO时,/(x)=x-,在X=I处取得最小值,排除C、D,X当XVo时,/(X)=L-X为减函数
3、,X故选:A.3(多选).在同一坐标系中,函数),=(尸与y=logilM0,且。01)的图象可能是()【答案】BD【分析】分情况进行讨论指数函数与对数函数的图象即可求解.【详解】当l时,丁=定义域为R,且在R上单调递减,y=bg,d定义域为(0,+),且在(0,+8)上单调递增,D符合;当00且l,。,人为常数)的图象如图,则下列结论正C. OVaV1, b0, -1 Z?0D.0aO,即b-l又因为函数图象与丁轴有交点,所以b0,所以TbaC. cabC的大小关系是()D.acb【答案】D【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小.【详解】y=OgaV的图象在(0,+o)上是上升的,所以底
4、数l,函数y=logZ?x,y=Iogcx的图象在(0,+)上都是下降的,因此Zbc(0,1),又易知c,故cZ?.故选:D.3 .已知函数Ar)=Ina+)的图象不经过第四象限,则。的取值范围是()A.(0,1)B.(0,+)C.(0,1D.1,+8)【答案】D【分析】根据对数函数的图象结合图象平移变换可得.【详解】/U)的图象是由Y=Inx的图象向左平移。个单位所得.y=lnx的图象过(LO)点,函数为增函数,因此l.故选:D.二、多选题4 .已知函数g(x)=log(x+A)(0且QHl)的图象如下所示.函数,(力=(Z-I)一一片的图象上有两个不同的点A(y),(x2,y2),则()B
5、. f(x)在R上是奇函数C. /(X)在R上是单调递增函数D.当x0时,2(x)(2x)【答案】BCD【分析】对于A结合对数型函数图像相关知识求解;对于B运用定义法判断是否在R上是奇函数;对于C运用定义法判断函数单调性;对于D通过作差法并对式子变形即可判断.【详解】对于A,由图像可知,函数g(x)=log,G+A)(0且4)在(-2,+00)上单调递增,所以al,因为g(x)经过(TO),所以g(T)=log(T+*)=0,所以=7+0k=2,故A错误.对于B,f(x)=ax-axf定义域R关于原点对称,f(-力=。一-/=-(x),所以f(力在R上是奇函数,故B正确.对于C,对于fa)=。
6、,由题意不妨令小cRgcR,贝U6小)十一巾TMm+等,因为x1x2,x1,x2/?,at所以再+町+10,优曰20,外-优20,即/(%)/(电),所以力在R上是单调递增函数,故C正确.对于D,2/(刈_/(2力=2(/_才(储力=2(/_)_(/_武)”+)=(优_/)(2_优_)J=丫2a-aJ=YaJ)ST2=卡+DST)3,因为,壮0,所以I)ax)crxa2tx+lO,(-l)3O,O,所以Y+WT)o,当且仅当X=O时等号成立,即当a2xx0时,2(x)(2x)成立,故D正确.故选:BCD题型四:对数函数图像过定点问题1 .函数/(X)=logrtXAa。且1)的图象所过定点的坐
7、标为.【答案】(LO)【分析】由对数函数的性质求解,【详解】由题意得/=0,X)的图象过定点(1,。),故答案为:(1,0)2 .函数y=kg,+l)+l(l)必过定点.【答案】(0,1)【分析】根据对数函数的性质,令X=O即可确定定点.【详解】由对数的性质知:当=0时y=logj+i=i,所以函数必过定点(0,1).故答案为:(0,1)3 .己知()且l,若函数/(另=45+与江力=108,(4-1)+4的图象经过同一个定点,jlJn+n=.【答案】1【分析】由Iog“1=0可得出函数g(x)所过定点,再由=l可得出血的值,得出答案.【详解】函数江=1吗,(工-1)+4的图象经过定点(2,4
8、)所以/(力=+”+的图象也过定点(2,4),即2)=诡+=4则用=-2,=3,所以6+=1故答案为:1题型五:对数函数图像的应用1 .己知函数/(力=1陶,(工+3的图象如图,则彷=.【答案】8【分析】由图像可得:/(x)过点(TO)和(0,2),代入解得纵b.【详解】由图像可得:/(x)=(x+b)过点(TO)和(0,2),则有:Py,I),解得f二:ogwZ=2a=2cb=S.故答案为:8.2 .lglogiw(0ml,0n).32【答案】iog;,则需,.故答案为:g2X的图像先向平移个单位,再向上移动2个单位.【答案】左1【分析】根据自变量加减左右移,函数值上加下减的平移原则,即可得
9、到答案;【详解】Vog2xlog2(x+l),图象向左平移1个单位,log2(+l)log2(+l)+2,图象向上平移2个单位,故答案为:左,1题型六:对数函数单调性1 .下列函数中,在区间(0,y)上单调递减的是()A.y=Iog2XB.y=2rC.y=y+1D.y=x3【答案】B【分析】根据函数解析式直接判断单调性.【详解】A选项:函数y=iog2”的定义域为(0,+g),且在(o,y)上单调递增,A选项错误;B选项:函数y=2=g)的定义域为R,且在R上单调递减,B选项正确;C选项:函数y=77T的定义域为T,go),且在卜1,转)上单调递增,C选项错误;D选项:函数y=的定义域为R,且在R上单调递增,D选项错误;故选:B.2 .已知1%(/+1)叫.(2),则实数0的取值范围是.【答案】(0,1)【分析】对。进行分类讨论,结合对数函数的单调性求得。的取值范围.【详解】当O2,6-2+1=(-i)20恒成立当I时,y=IogaX在(0,+8)上递增,a2+log,则底数。的取值范围为.【答案】(l,*o)【分析】根据对数函数底数范围和对数函数单调性即可判断的范围.【详解】若OVaV1,则log,210乳1,符合题意;综上,al.故答案为:(l,0).题型七:对数型复合函数