7医学信号处理现代谱估计.ppt

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1、1第七章第七章功率谱估计的现代方法功率谱估计的现代方法 2 经典谱估计以傅立叶变换为基础，具有计算效经典谱估计以傅立叶变换为基础，具有计算效率高的优点，但是由于将未观测数据认为率高的优点，但是由于将未观测数据认为0 0和数据和数据加窗，而具有频率分辨率低、旁瓣泄漏等严重的缺加窗，而具有频率分辨率低、旁瓣泄漏等严重的缺陷。陷。现代谱估计与经典谱估计不同，它以参数模型现代谱估计与经典谱估计不同，它以参数模型为基础，能够得到小方差和高分辨率，特别是数据为基础，能够得到小方差和高分辨率，特别是数据长度很短的情况，更具优势。长度很短的情况，更具优势。7.1 概述概述3现代谱估计法的基本思想：现代谱估计法

2、的基本思想：处理步骤：处理步骤：1 1 确定或选择一个合适的模型确定或选择一个合适的模型依赖于对所研依赖于对所研究随机过程进行理论分析和实验研究；究随机过程进行理论分析和实验研究；2 2 根据观测数据估计模型参数根据观测数据估计模型参数涉及各种算法涉及各种算法的研究；的研究；3 3 由模型参数计算功率谱。由模型参数计算功率谱。关键关键 1 1、模型选择问题（、模型选择问题（AR，MA，ARMA）2 2、参数确定方法（导致产生了各种算法）、参数确定方法（导致产生了各种算法）4 7.2 自回归模型自回归模型(AR)谱估计谱估计数字系统的数学模型数字系统的数学模型:如下图：如下图：()()H zh

3、nw(n)x(n)式式中中ak为自回归系数，称为为自回归系数，称为AR系数；系数；bk为滑动平均系数，称为为滑动平均系数，称为MA系数。系数。传递函数传递函数为：为：00()()()qkkkpkkkb zB zH zA za z010()()B()pkkkqllA za zzb z极点：（零点）50101()(1).()()(1).()pqa x na x na x npb w nb w nb w nq的差分方程为：的差分方程为：01()()()qplklkx nbw nla x nk令令a0=1有：有：2()(0,)w tWNw(n)为高斯白噪声，为高斯白噪声，612121()()()()(

4、)()()xxB zB zSzH z H zA zA z模型的功率谱密度：即系统输出功率谱和输模型的功率谱密度：即系统输出功率谱和输入功率谱之间关系为（假定入功率谱之间关系为（假定h(n)为实序列）：为实序列）：12121()()()()()()()xxB zB zSzH z H zA zA z22()()()jjxxjB eSeA e70011,0,AR()()()lpkkabbpx na x nkn 当 则 阶自回归模型：1()11()()()1ARpkkkX zHzW zA za z22221()()1xxjpj kkkSA ea e如果如果除除b0外其它的外其它的MA系数都等于系数都等

5、于0，即，即AR（p）模型）模型)()()(12zAzAzSxx全极点全极点模型模型8自回归模型自回归模型9010MA()()0aaqkqx nbnlll当，则 阶滑动平均模型：0()()qkMAllHzB zb z22220()()qjkxxllSB ebe如果如果除除a0外其它的外其它的AR系数都等于系数都等于0，即，即21()()()xxSzB z B z全零点全零点模型模型MA（q）模型）模型10如果如果除除a0=1和和b0=1外其它的外其它的AR系数和系数和MA系数都不全系数都不全等于等于0，即，即01()()()qplklkx nbw nla x nk00()()()qkkkpkk

6、kb zB zH zA za z121()()()()()xxB zB zSzA zA z22()()()jjxxjB eSeA e11：任何一个有限方差的平稳任何一个有限方差的平稳ARMA过过程可以分为完全随机的部分和确定的部分。程可以分为完全随机的部分和确定的部分。：任何有限方差的任何有限方差的ARMA或或MA平稳过程可平稳过程可以用一个无限阶的以用一个无限阶的AR模型表示；同样，任何模型表示；同样，任何ARMA或或AR模型可以用一个无限阶的模型可以用一个无限阶的MA模型表示。因模型表示。因 此，此，如果在这三个模型中选了一个与信号不匹配的模型，如果在这三个模型中选了一个与信号不匹配的模型

7、，利用高的阶数仍然可以得到对信号的好的逼近。利用高的阶数仍然可以得到对信号的好的逼近。12 结论结论：由于对由于对AR模型参数的估计，得到的是模型参数的估计，得到的是线性方程。故线性方程。故AR模型比模型比ARMA以及以及MA模型有计模型有计算上的优点，即只需解一组线性方程，而算上的优点，即只需解一组线性方程，而ARMA或或MA模型一般需要解一组非线性方程。同时，模型一般需要解一组非线性方程。同时，实际的物理系统往往是全极点系统。实际的物理系统往往是全极点系统。AR模型得到模型得到了深入的研究和广泛的应用。了深入的研究和广泛的应用。13已知：自相关函数已知：自相关函数 要求：要求：AR模型的阶

8、数模型的阶数p，以及，以及p个个AR 参数参数a(i),激励源方差激励源方差 2Yule-Walker方程方程 7.3 AR模型的模型的Yule-Walker方程方程141.对对 进行求逆进行求逆z变换变换 2.直接由模型差分方程推导，把模型的差分方程代直接由模型差分方程推导，把模型的差分方程代入入x(n)的自相关函数的自相关函数)()()(12zAzAzSxx1()()()pkkx na x nkw n()()()xxRmE x n x nm151()()()()pxxkkRmE x na x nkmw nm1()()()pkka R mkE x n w nm 如何根据自相关函数确定系统参数

9、如何根据自相关函数确定系统参数020022()()()()()()()()()()0,0()(0)0lllE x n w nmEh l w nl w nmh l E w nl w nmh lmlmhmhm(0)lim()1zhH z11()=1ARpkkkHza z160.)(0.)(211)(mkmRamkmRaxxpkxxkpkxxkmR121()()0,0(0)(),0pxxkxxkpxxkxxkRma RmkmRa Rkm可见，可见，AR模型输出信号的自相关函数具有递推性质，即：模型输出信号的自相关函数具有递推性质，即：170.0.1)0(.)1()(.)1(.)0()1()(.)1(

10、)0(21paaRpRpRpRRRpRRR选择选择m0的前的前P个方程并写成单一正规矩阵的形式为：个方程并写成单一正规矩阵的形式为：以上利用了自相关函数的偶对称性。以上利用了自相关函数的偶对称性。Y-W方程表明：方程表明：只要已知输出平稳随机信号的自相关函数，就能求出只要已知输出平稳随机信号的自相关函数，就能求出AR模型中的参数模型中的参数ak，并且需要的观测数据较少。，并且需要的观测数据较少。18N个样值个样值x(0),x(1)x(N)自相关函数自相关函数R(0),R(1).R(N)AR模型参数和模型参数和a1,a2，ap激励源方差激励源方差功率谱密度功率谱密度21920Levinson-D

11、urbinLevinson-Durbin递推算法：递推算法：算法的关键就是要推导出由第算法的关键就是要推导出由第K阶阶AR模型模型的参数计算第的参数计算第k+1阶阶AR模型模型AR(k+1)参数的迭参数的迭代计算公式。代计算公式。首先以首先以AR(0)和和AR(1)模型参数作为初始条件，计模型参数作为初始条件，计算算AR(2)模型参数，然后根据这些参数计算模型参数，然后根据这些参数计算AR(3)模型模型参数，等等，一直到计算出参数，等等，一直到计算出AR(p)模型参数为止。模型参数为止。2111(1)/(0)xxxxaRR 22111(1)(0)xxaR2111(0)(1)1 (1)(0)0

12、xxxxxxxxRRaRR222122(0)(1)(2)1(1)(0)(1)0 0(2)(1)(0)xxxxxxxxxxxxxxxxxxRRRRRRaaRRR2222222(0)(2)(1)/(0)(1)xxxxxxxxxxaRRRRR 2111(2)(1)/xxxxRa R 2221(0)(1)(1)(2)/(0)(1)xxxxxxxxxxxxaRRRRRR112211aa a2222221(1)a23121,11()()/kkkxxklxxklaRkaRkl ikkkkikkiaaaa,1,1222120(1),(0)kkkkxxaR递推公式为：递推公式为：将所估计的模型参数代入即可计算功

13、率谱估计值：将所估计的模型参数代入即可计算功率谱估计值：22,1()1pxxpj kp kkSae24AR模型参数和模型参数和a1,a2，ap激励源方差激励源方差功率谱密度功率谱密度25给定初始值和给定初始值和AR模型的阶数模型的阶数p，可按照，可按照L-D算法流程算法流程进行进行估计，流程终止规则为估计，流程终止规则为 或或MATLAB里有专门实现里有专门实现L-D算法的函数可估计算法的函数可估计AR模型参数：模型参数：a E=aryule(x,p),a为模型参数，为模型参数，E为噪声方差。为噪声方差。mpp26AR模型谱估计的模型谱估计的L-D算法流程算法流程、给定给定N个观察数据个观察数

14、据xN(n),n=0,1,N-1;、由、由xN(n)估计自相关函数值估计自相关函数值 ，m=0,1,p;、利用利用L-D递推算法，根据递推算法，根据 计算计算AR模型参数的估模型参数的估计值。首先令计值。首先令p=1，按下式计算，按下式计算a11和和()xxR m()xxR m11(1)/(0)xxxxaRR22111(1)(0)xxaR21 然后，使然后，使p=p+1,按下式计算按下式计算app,api,、重复以上递推过程，直到满足、重复以上递推过程，直到满足p=m或者或者 。、代入、代入 计算公式估计功率谱。计算公式估计功率谱。2p121,11()()/pppxxplxxplaRkaRp

15、l1,1,pipipppp iaaa a2221(1)ppppa2p()xxS27()x n(0)55,(1)40,(2)26,(3)14xxxxRRRR23,13,23,33,aaa1,12211,1(1)/(0)0.72727(1)(0)25.909xxxaRRaR 例例7-1、已知实数据序列已知实数据序列的自相关为：的自相关为：用用Levinson-Durbin递推算法求递推算法求AR模型的参量：模型的参量：解：解：281,122,2122222,21*2,11,12,21,1(2)(1)0.11929125.54030.81403xxRaRaaaaaa 2,12,223,3222233

16、,32*3,12,13,32,2*3,22,23,32,1(3)(2)(1)0.093702125.3160.802850.4301xxxRa RaRaaaaa aaaa a 29一、一、AR模型的稳定性具有下面性质：模型的稳定性具有下面性质：H(z)全部的极点在单位圆内全部的极点在单位圆内 自相关矩阵正定自相关矩阵正定 激励信号方差随阶次增加而递减激励信号方差随阶次增加而递减30 阶太低，功率谱平滑的太厉害，平滑后的谱分辨不出真实谱中的两个峰；阶太高，可以提高谱估计的分辨率，但会出现许多虚假谱峰。真实谱真实谱虚假谱峰虚假谱峰二、有关二、有关AR模型的阶的问题：模型的阶的问题：31,.1,2,.,0.1,2.p iaipk iippka 所以，估计一个AR(p）过程，选取AR(k）阶数要求 kp,但k不能太大。如果估计精确的话，kp时，AR(p)模型参数估计为：32三、确定三、确定AR模型的阶的方法模型的阶的方法 一般的观一般的观察方法，简单而直观察方法，简单而直观 不断增加阶数，观察预测误差功率，下不断增加阶数，观察预测误差功率，下降到最小时，对应的阶选为模型的阶；降到最小时，对应的