第2章随机变量及其分布.ppt

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1、 关于随机变量关于随机变量(及向量及向量)的研究，是概率论的中心内的研究，是概率论的中心内容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往容这是因为，对于一个随机试验，我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量，而这些量就是随机变量也可以说：些量就是随机变量也可以说：随机事件随机事件是从是从静态静态的的观点来研究随机现象，而观点来研究随机现象，而随机变量随机变量则是一种则是一种动态动态的观的观点，一如数学分析中的点，一如数学分析中的常量与变量常量与变量的区分那样变量的区分那样变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念同样，概念是高等数学有别

2、于初等数学的基础概念同样，概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系，其基础概念是随机变量的理论体系，其基础概念是随机变量.随机变量随机变量常用常用X X、Y Y、Z Z 或或 、等表示。等表示。随机变量的特点随机变量的特点:1 X1 X的全部可能取值是互斥且完备的的全部可能取值是互斥且完备的2 X2 X的部分可能取值描述随机事件的部分可能取值描述随机事件 (1)掷一颗骰子，出现的点数 X1，2，6.X=3 (2)n个产品中的不合格品个数 Y 0，1，2，n Y=1 (3)某商场一天内来的顾客数 Z 0，1，2，(4)某种型号电视机的

3、寿命 T:0,+)1000T2000T=1200定义2.1.1 设 =为某随机现象的样本空间，称定义在上的实值函数X=X()为随机变量.随机变量常用随机变量常用,X,Y,Z等表示等表示(1)随机变量X()是样本点的函数，其定义域为，其值域为R=(，)若 X 表示掷一颗骰子出现的点数，则 X=1.5 是不可能事件.(2)若 X 为随机变量，则 X=k、a X b、均为随机事件.即 a X b=；a X()b (3)注意以下一些表达式：X=k=X kX k；a b=X b.(4)同一样本空间可以定义不同的随机变量.1,().0,HT 例1在抛掷一枚硬币时,出现正面(H)，或出现反面(T),则样本空

4、间正面，反面,记为随机变量,例2 将一枚硬币抛掷3次,观察正面(H)与反面(T)出现的情况,则样本空间为 HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT.记出现正面的总次数为(),则()为定义在上的函数:P(=1)P(=2)P(=3)P(=0)若随机变量 X 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 X 为离散随机变量.若随机变量 X 的可能取值充满某个区间 a,b，则称 X 为连续随机变量.前例中的 X,Y,Z 为离散随机变量；而 T 为连续随机变量.定义2.1.2 设X为一个随机变量，对任意实数 x，称 F(x)=P(X x)为 X 的分布函数.基本性质：(1)F(x)单调不

5、降；(2)有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1；(3)右连续.1,.0,HXT 设离散随机变量 X 的可能取值为：x1，x2，xn，称 pi=P(X=xi)，i=1,2,为 X 的分布列.分布列也可用表格形式表示：X x1 x2 xn P p1 p2 pn (1)pi 0，(2)1.iip(正则性)(非负性)求离散随机变量的分布列应注意：(1)确定随机变量的所有可能取值;(2)计算每个取值点的概率.例.用随机变量方法描述掷一颗骰子的试验情况。解:用表示掷一颗骰子出现的点数,可取16的自然数,则相应的概率值为1/6,列成概率分布为 12345 6 pk1/61/61/61/61/61/6

6、 事件“点数不大于5且不小于3”可表示为“35”,则相应的概率为 P(35)=(=3)+P(=4)+P(=5)=3(1/6)=1/2.例 设随机变量的分布律为 012p 0.3 0.5 0.2求的分布函数F(x)及概率P01.5。分析:F(x)=Px,随机变量,可取0、1、2,应该根据x的不同取值确定函数F(x).解:当x0时,F(x)=Px=0;当0 x1时,F(x)=Px=P=0=0.3;当1x2时,F(x)=Px=P=0+P=1=0.8;当x2时,F(x)=Px=P=0+P=1+P=2=1;因此的分布函数F(x)为xxF xxx0,0;0.3,0 1;(1)()=0.8,1 2;1,2.

7、(2)P0 1.5 =P01.5+P=0 =F(1.5)-F(0)+P=0 =0.8.0120.51xp 对离散随机变量的分布函数应注意：(1)F(x)是递增的阶梯函数;(2)其间断点均为右连续的;(3)其间断点即为X的可能取值点;(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.例2.1.1已知 X 的分布列如下：X 0 1 2P 1/3 1/6 1/2求 X 的分布函数.0,01/3,01()1/2,121,2 xxF xxx解：X 0 1 2P 0.4 0.4 0.2解：0,00.4,01()0.8,121,2xxF xxx 例2.1.2已知 X 的分布函数如下,求 X 的分布列.P=xk=F(x

8、k)-F(xk-0)(k=1,2,);Pab=Pb-P a=F(b)-F(a);Pa b=F(b)-F(a)-P=b;Pa b=F(b)F(a)+P=a.Pab=F(b)-F(a)+P=a-P=b F(b)-F(a).离散型随机变量的概率分布与分布函数满足关系.();kkkkxxa xbF xPxpP abp(1)(2)已知分布函数F(x),则 2.2.1 二项分布 记为 X B(n,p).X为n重伯努里试验中“成功”的次数,0,1,.,()(1).knkn kknP XkC pp当n=1时，称 B(1,p)为 0-1分布.二项随机变量是独立 0-1 随机变量之和.试验次数为 n=4,“成功”

9、即取得合格品的概率为 p=0.8,所以,X B(4,0.8)思考：若 Y 为不合格品件数，Y？Y B(4,0.2)一批产品的合格率为0.8,有放回地抽取4次,每次一件,则取得合格品件数 X 服从二项分布.例:设X B(2,p)，Y B(4,p)，已知 P(X1)=8/9，求 P(Y1).解:由 P(X1)=8/9，知 P(X=0)=1/9.由此得：P(Y1)=1 P(Y=0)所以 1/9=P(X=0)=(1p)2，从而解得:p=2/3.=1-(1p)4=80/81.例.某厂有同型号设备(独立工作),每台故障率平均0.01,求：(1)1名维修工负责看管20台设备,求不能及时维修的概率.(2)若3

10、名维修工共同看管80台设备,求不能及时维修的概率.(3)若有400台这种设备,为使不能及时维修的概率在0.01以下,问至少需要安排多少名维修工看管?解：解：设设 表示同时出故障的设备台数表示同时出故障的设备台数,则则 B(20,0.01),B(20,0.01),(1)22P=1-P 12210.0169 kk0-k0k=0C0.010.99则则 B(80,0.01),B(80,0.01),(2)44P=1-P m+n|X m)=P(X n)2.2.2 几何分布若随机变量 X 的概率分布为(),0,1,2,!kP XkekkL L则称 X 服从参数为 的泊松分布,记为 X P().泊松分布例如例

11、如:1.某高速公路每天发生交通事故的次数某高速公路每天发生交通事故的次数;2.在某在某公共汽车起点站公共汽车起点站,每辆车上的人数；每辆车上的人数；.一本书一页中一本书一页中的印刷错误数等的印刷错误数等.2311!2!3!xenxxxxn LL例.已知P(5),求P(=2),P(=5),P(=20)。解:已知5,因此 P(=2)=0.084224,P(4)P(=5)=0.175468,P(=20)=0。泊松定理定理(二项分布的泊松近似)(1)!knkkn kCppek若B(n,p)时,当n很大(n50)p很小(p0.1),且np5时有Bk(n,p)Pk(),=np,k=0,1,2,n。书上P3

12、0页 连续随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b).因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0，所以无法仿离散随机变量用 P(X=x)来描述连续随机变量X的分布.注意离散随机变量与连续随机变量的差别.定义2.1.4设随机变量X 的分布函数为F(x),则称 X 为连续随机变量，()()xf t dtF x若存在非负可积函数 f(x)，满足：称 f(x)为概率密度函数，简称密度函数.x0 xf(x)密度函数的基本性质(2)(1)()0;()1.f xf x dx满足(1)(2)的函数都可以看成某个连续随机变量的概率密度函数.(非负性)(正则性)2,01()0,xxf xotherwise.()()

13、baP aXbf x dx注意点(1)(1)(2)F(x)是(,+)上的连续函数;(3)P(X=a)=F(a)F(a0)=0;(4)PaXb=PaXb =PaXb =PaXb =F(b)F(a).注意点(2)(5)一般,f(x)=()F x00()()()limlim.xxP xxxF xxF xfxxx 连续型1.密度函数 X f(x)(不唯一)()()xF xp t dt2.4.P(X=a)=0离散型1.分布列:pn=P(X=xn)(唯一)2.F(x)=()iixxP Xx 3.F(a+0)=F(a);P(aXb)=F(b)F(a).4.点点计较5.F(x)为阶梯函数。5.F(x)为连续函

14、数。F(a0)=F(a).F(a0)F(a).求(1)k;(2)F(x);(3)P1.52.5.1,02()0,kxxf xotherwise201(1)1.2kxdxk 解：解：(1)(1)由由 有有110220,;(),.其它xxf x因此因此()1f x dx110220,;(),.其它xxf x已知 的概率密度为则有则有 的概率分布函数的概率分布函数2001d02412,()(),xxF xf ttxxxx(3)P1.52.5.200102412,(),xF xxxxx由于因此 P1.5 a 和 B=Y a 独立，解:因为 P(A)=P(B),P(AB)=P(A)+P(B)P(A)P(

15、B)2238ax dx318a 从中解得34a且 P(AB)=3/4,求常数 a.且由A、B 独立，得=2P(A)P(A)2=3/4从中解得:P(A)=1/2,由此得 0a a)例2.1.5 设 X f(x)，且 f(x)=f(x)，F(x)是 X 的分布函数，则对任意实数 a0，有()F(a)=1 F(a)=F(a)=F(a)F(a)=2F(a)10()af x dx01()2af x dx记为X U(a,b)1,()0,a x bf xb a 其 它0,(),1,x ax aF xax bb ab x 1.均匀分布ax0bf(x)1b a占整个区间长度的比例占整个区间长度的比例24420

16、xXxX有实根的概率.例:设随机变量X U(0,5),求方程解:21616(2)0XX 12XX 或3(12)5P XX 或 例:X U(2,5).现在对 X 进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于 3 的概率.解：记 A=X 3,则 P(A)=P(X 3)=2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y b(3,2/3)，所求概率为 P(Y2)=P(Y=2)+P(Y=3)230233321213333CC =20/272.指数分布记为 X E(),0()0,0 xexf xx其中 0.1,0()0,0 xexF xx特别：指数分布具有无忆性，即：P(X s+t|X s)=P(X t)说明说明:指数分布常用于描述具有指数分布常用于描述具有“寿命寿命”特征特征的的随机变量的分布特性。随机变量的分布特性。例:某产品的寿命(单位:小时)服从参数为1/2000的指数分布,求产品使用1500小时不坏的概率。解：已知 的概率密度为20001e0()200000 xxf xx因此32000415001P1500ee2000.x 例 某元件寿命(单位:小时)服从参数为(-1=1000)的