龙de船人船舶结构力学能量法.ppt

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1、第六章第六章 能量法能量法6-1.应变与余能应变与余能6-2.杆件的应变能计算杆件的应变能计算6-3.虚功原理虚功原理6-4.虚位移原理的应用虚位移原理的应用6-5.位能驻值原理的近似解法位能驻值原理的近似解法6-6*虚力原理的应用虚力原理的应用 解析法解析法弯曲梁初参数法，力法，位移法弯曲梁初参数法，力法，位移法 精确精确解解 能量法能量法复杂结构、复杂载荷复杂结构、复杂载荷 近似解近似解 采用能量原理描述结构的平衡与变形连续条件采用能量原理描述结构的平衡与变形连续条件 功能关系功能关系 弹性体：在外载作用下，外力功转变为应变能。弹性体：在外载作用下，外力功转变为应变能。外力卸载外力卸载变形

2、恢复变形恢复 非线性（几何非线性、材料非线性）在外载作用下，非线性（几何非线性、材料非线性）在外载作用下，外力功转变为应变能外力功转变为应变能能量法虚功原理虚位移原理虚力原理面积，故两者互余矩形与纵坐标轴所围的面积为曲线整个过程外力余功外力余功无限小增量：余功下的面积为曲线外力功整个过程外力功无限小增量外力功：OABCWWOAdPWdPWdOABOAWPdWPPdWdP*d,*,0d,110011、外力功与应变能、外力功与应变能 应变能应变能 弹性体应变能等于外弹性体应变能等于外力功力功V=W面积等于应力应变曲线下的能密度）单位体积应变能（应变应变能弹性拉杆：000011,VdVdAlWVlA

3、PPlA 0zxT00 xxyyzzxyxyyzyzzxzxxxyyzzxyxyyzyzzxVddddddVdVV dxdydz三维弹性体：体系中的应力与应变分量单位体积的应变能为或整个弹性体应变能为 dxdydzVVdV*0T*0能）为整个弹性体余能（应力余能为三维弹性体单位体积的2.线性体系线性体系 dxdydzVVVdVVPkdkPdWWkPTT010011200212121,1弹性体的应变能和余能或余能同理单位体积的应变能则外力功和余功设外力功外力功=余功余功应变能应变能=余能余能W+W*,V+V*等于矩形面积，等于矩形面积，故均为面积的一半。故均为面积的一半。能量法分析中，应变能和余

4、能计算很重要，能量法分析中，应变能和余能计算很重要，大部分为线性体系大部分为线性体系 应变能计算方法应变能计算方法（1）取微段）取微段（2）断面力视为外力，微段外力功为变形能）断面力视为外力，微段外力功为变形能（3）沿杆长积分得杆件应力能）沿杆长积分得杆件应力能 应变能计算方法应变能计算方法 拉压，扭转，拉压，扭转，弯曲弯曲，剪切，剪切 弹性支座，弹性固定端，弹性基础弹性支座，弹性固定端，弹性基础6-2.杆件的应变能计算杆件的应变能计算1.拉伸或压缩拉伸或压缩222001112221122llTdxT dxdVTduTEAEAT dxVEAudxEA微段应变能杆件应变能TduEEEuAdxTd

5、xduEA2.扭转扭转222001112221122ttttlltM dxM dxdVM dMGJGJM dxVGJdxGJ微段应变能杆件应变能ttMGJMddxGJ3.弯矩（纯弯曲）弯矩（纯弯曲）222001112221122tllMdxM dxdVMdMEIEIM dxVEIv dxEI微段应变能杆件应变能dvdxMEIv 3.弯曲（剪切）弯曲（剪切）22222222222222001112221112221122AASSAllSSdANSdA dxdAdxdAdxGGIbNSNSN dxdVdAdxdA dxGIbGIbGASAIdAbN dxVGA v dxGA上的剪应力的功其中应变能

6、为：4.弹性支座与弹性固定端弹性支座与弹性固定端2222111222111222VRvARvAVMM弹性支座应变能弹性固定端变形位能5.弹性基础弹性基础21212xxVkv dx*用用位移位移表达的是表达的是应变能应变能，用，用应力应力表达的是表达的是余能余能2222000011112EA222lllltSM dxT dxM dxN dxVGJEIGA一般情况一般情况，杆件同时受到拉伸（或压缩）、扭转和弯曲应力，杆件应变能：杆系结构杆系结构，各杆件应变能之和即为整个结构的，各杆件应变能之和即为整个结构的应变能。应变能。对于对于一般以弯曲为主一般以弯曲为主的应变能，剪切和拉压应的应变能，剪切和拉

7、压应变能可忽略不计。变能可忽略不计。6-3.虚功原理虚功原理虚位移原理：虚位移原理：一组真实力系在任意满足变形协调的虚位移过一组真实力系在任意满足变形协调的虚位移过程中的做功情况，程中的做功情况，等价于结构的平衡条件；等价于结构的平衡条件；虚力原理虚力原理：任一组满足平衡条件的虚力系在真实位移过程任一组满足平衡条件的虚力系在真实位移过程中的做功情况，中的做功情况，等价于变形协调条件等价于变形协调条件1.虚位移原理虚位移原理 设结构在外力作用下处于设结构在外力作用下处于平衡状态平衡状态，如给结构一个，如给结构一个虚位移，则外力对虚位移作的功（虚功）必等于结构虚位移，则外力对虚位移作的功（虚功）必

8、等于结构因虚变形而获得的虚应变能。因虚变形而获得的虚应变能。虚位移原理是结构处于平衡状态的充分和必要条件虚位移原理是结构处于平衡状态的充分和必要条件（等价于结构的平衡条件）（等价于结构的平衡条件）虚位移虚位移：假象的、可能发生的、无穷小的、满足边界：假象的、可能发生的、无穷小的、满足边界条件、不破坏结构连续性的位移条件、不破坏结构连续性的位移外力：外力：发生虚位移过程中，外力大小方向不变化。发生虚位移过程中，外力大小方向不变化。=外力对虚位移做的功（虚功）结构虚应变能真实外力 虚位移（真实应力 虚应变)dWV两端简支梁两端简支梁000()0llIVlEIvqvdxEIvvWV0000()0()

9、llIVllWVq vEIvv dxEIvqvdxEIvvEIvv必要：必要：平衡平衡充分：充分：平衡平衡2.虚力原理：如果给一个不破坏平衡条件及静力边界条件的虚变化，并由此产生的变形是协调的，则虚余功必等于结构的虚余能。dPVWTiii或虚力原理6.4虚位移原理的应用虚位移原理的应用 从虚位移原理出发可以引申出各种能量定理来计算结从虚位移原理出发可以引申出各种能量定理来计算结构的位移和变形等本节介绍常用的几种能量定理：位能驻构的位移和变形等本节介绍常用的几种能量定理：位能驻值原理、应变能原理（卡氏第一定理）、单位位移法。值原理、应变能原理（卡氏第一定理）、单位位移法。1、位能驻值原理、位能驻

10、值原理0则有：iiiiiiPPWiiiiiiPUPU,VW虚位移原理虚位移原理外力对虚位移做的功外力对虚位移做的功力函数力函数iiiPVUVVU令0总位能总位能此时表示总位能此时表示总位能 有一驻值（极大值或极小值），（有一驻值（极大值或极小值），（6-44）表示表示“位能驻值原理位能驻值原理”。弹性体稳定平衡，总位能极小值，。弹性体稳定平衡，总位能极小值，位能驻值原理又称为位能驻值原理又称为“最小位能原理：。最小位能原理：。（6-44）（6-43）（6-42）（6-41）例：用位能驻值原理解图例：用位能驻值原理解图6-8之静不定桁架。之静不定桁架。32323223232122322231co

11、s210cos21022cos22cos22cos,2cos2)cos(2cos2:EAPlPlEAPlEAlEAPlEAlEAUVlEAlEAVVVVlEAVlEAlEAlEAVV变形的）（故有有0 0的的条条件件，故故未未知知，现现变变化化满满足足故故结结构构的的总总位位能能为为外外力力的的力力函函数数为为P P,对对杆杆2 2，对对1 1、3 3杆杆杆杆的的面面积积为为A A,算算结结构构的的应应变变能能，设设各各为为计计算算结结构构总总位位能能，先先:解解1、计算结构应变能 V=v1+V2+V32、计算力函数U3、计算总位能4、对 求极值，求解未知位移2.应变能原理，或3,2,1,0.

12、)()()(.332211333222111332211332211iPVPVPVPVPVPVPVVVVVPPPPViiiii故故有有由由于于虚虚位位移移的的任任意意性性，以以写写作作时时，应应变变能能V V的的变变分分可可，由由于于发发生生虚虚位位移移根根据据虚虚位位移移原原理理公公式式得得2 21 1（6-47）（6-46）（6-47）称为”应变能原理“或”卡氏第一定理，它代表了结构力的平衡条件，在结构分析中用来建立位移法方程式。用用。（见见第第七七章章）中中十十分分有有的的单单元元刚刚度度矩矩阵阵计计算算的的平平衡衡，在在总总结结构构分分析析多多大大的的力力才才能能保保证证结结构构在在某

13、某一一点点需需要要施施加加应应变变。可可用用来来计计算算结结构构为为单单位位虚虚位位移移引引起起的的虚虚d d1 1P P则则1 1,i i处处发发生生一一单单位位虚虚位位移移2 24 4）式式，若若结结构构仅仅在在虚虚位位移移原原理理（6 63 3.单单位位位位移移法法0 00 0T Ti ii i此此位位移移相相应应的的广广义义力力。广广义义唯唯一一的的偏偏导导数数等等于于表表示示结结构构应应变变能能对对某某一一P PV V移移保保持持不不变变，则则发发生生虚虚位位移移，而而其其余余位位结结构构中中仅仅有有k kk kk k6-5.位能驻值原理的近似解法位能驻值原理的近似解法1.李兹法（R

14、itz method）nnnxaxaxaxv2211李兹法（Ritz method）时变分法中的直接法，它是利用位能驻值原理 把变分问题看作是一求一个包含有有限多个变量的普通函数的极值问题。0(6-50)数状数边条数数n nn n式式中中：(x)基(x)基函函（形形函函），不不破破坏坏梁梁端端位位移移界界件件的的函函a 待a 待定定系系具体步骤1、将梁的挠曲线V(x)写成级数形式v v-最小值v(x)解。最小值v(x)解。为为代入，即得满足代入，即得满足6、将求得的待定系数6、将求得的待定系数；a a,求出待定系数a求出待定系数a0,0,a a5、计算5、计算；4、计算梁的总位能4、计算梁的总

15、位能；3、计算梁的力函数U3、计算梁的力函数U；2、计算梁的应变能V2、计算梁的应变能V2 21 1n n v v-N N v v v v-M M图图6-10中两端自由支持受力均中两端自由支持受力均布荷重作用的单跨梁。布荷重作用的单跨梁。4 4n n2 2n n4 4n n2 2n nl l0 0l l0 02 22 2k ki ij jk kn nn n1 1i il l0 02 22 2n n1 1i il l0 02 2n nn nn n3 32 21 1l ln na aE EI Il l4 41 12 2l ll ln na aE EI I2 21 1所所以以V Vk k当当n n,

16、2 2l lk k当当n n0 0,d dx xl lk kx xs si in nl ln nx xs si in nd dx xl lk kx xs si in nl ln nx xs si in n)l lk k()l ln n(a aa aE EI I2 21 1d dx xl ln nx xs si in nl ln na aE EI I2 21 1d dx xv vE EI I2 21 1V V2 2、计计算算梁梁的的应应变变能能为为未未知知数数式式中中a al ln nx xs si in na al l3 3x xs si in na al l2 2x xs si in na al lx xs si in na ax xv v 0 0v v0 0，l l时时v v0 0及及x x件件为为x x自自由由支支持持的的位位移移边边界界条条函函数数1 1、根根据据边边界界条条件件写写基基l ln nx xs si in nn n1 1E EI I4 4q ql lv v(x x)求求得得梁梁的的挠挠曲曲线线方方程程,6 6、代代入入a a1 1,3 3,5 5,，n nE EI