龙de船人杆件的扭转理论天.ppt

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1、3-1 3-1 直杆的扭转直杆的扭转基本概念基本概念（1）何谓直杆扭转）何谓直杆扭转直杆在两端受到作用于杆断面的大小相等方向相直杆在两端受到作用于杆断面的大小相等方向相反的力矩（扭矩）作用，则发生扭转。反的力矩（扭矩）作用，则发生扭转。（2）一般直杆扭转变形的特点一般直杆扭转变形的特点 截面发生扭转变形截面发生扭转变形截面有可能发生翘曲截面有可能发生翘曲（3）直杆扭转划分直杆扭转划分圆断面杆的扭转、非圆断面杆的扭转圆断面杆的扭转、非圆断面杆的扭转 薄壁杆件扭转薄壁杆件扭转 开口、闭口薄壁杆件扭转开口、闭口薄壁杆件扭转（2）按杆件断面形状划分为：）按杆件断面形状划分为：（1）按翘曲变形是否受约束

2、划分：）按翘曲变形是否受约束划分：自由扭转与非自由扭转自由扭转与非自由扭转u自由扭转自由扭转（纯扭转）：（纯扭转）：u非自由扭转非自由扭转（约束扭转）：（约束扭转）：如果一等断面杆仅在两端受到扭矩作如果一等断面杆仅在两端受到扭矩作用，并不受其他任何约束，杆在扭转用，并不受其他任何约束，杆在扭转时可以自由变形。翘曲一致。时可以自由变形。翘曲一致。如果杆在受到扭矩作用后，由于支座如果杆在受到扭矩作用后，由于支座或其他约束存在使它在扭转时不能自或其他约束存在使它在扭转时不能自由变形由变形。翘曲不一致。翘曲不一致dx式中式中 为扭矩，为扭矩，为为断面半径，断面半径，为为断面的断面的“极惯性矩极惯性矩”

3、断面最大剪应力为：断面最大剪应力为：tmaxM rJ tM2rd/432Jd/（3-1）tMddxGJ 设设 为杆的扭角，则单位长为杆的扭角，则单位长度的扭角度的扭角 即扭矩为：即扭矩为：d/dx （3-2）圆断面杆的自由扭转圆断面杆的自由扭转研究杆件的扭转问题就是在给定的扭矩下求出杆件的扭转应力与研究杆件的扭转问题就是在给定的扭矩下求出杆件的扭转应力与变形（扭角）。满足刚周边假定条件。如下图：最简单的等断面变形（扭角）。满足刚周边假定条件。如下图：最简单的等断面圆杆圆杆 Mt Mt xlmax 如图：内径为和外径为如图：内径为和外径为 d=2r 和和 D=2R的空心的空心圆断面圆断面 如图可

4、见断面剪力分布如图可见断面剪力分布极惯性矩为：极惯性矩为：JDd 4432ttrM rM RJJ R及及 JDdD t 4431324式中式中 为薄壁管壁厚中心线的直径；为薄壁管壁厚中心线的直径；为壁厚为壁厚D(Dd)/12t(Dd)/2内径及外径处的内径及外径处的剪应力分别为：剪应力分别为：对于薄壁杆件，对于薄壁杆件，r 与与R相差不大，可近似认为相差不大，可近似认为 与与 差不多相等差不多相等r R 由此：由此：式中式中 为薄壁管壁中心线所包围的面积为薄壁管壁中心线所包围的面积ttMMD ttJA 122AD/214剪流为：剪流为：Rr（3-3）（3-4）非圆断面的自由扭转非圆断面的自由扭

5、转如果杆件断面不是圆形，则扭转变形特征如果杆件断面不是圆形，则扭转变形特征 有所不同，其主有所不同，其主要差别在扭转时段面不在保持要差别在扭转时段面不在保持 平面而发生平面而发生“翘曲翘曲”(warping)翘曲问题翘曲问题与圆截面自由扭转的最大区别：与圆截面自由扭转的最大区别：在自由扭转条件下，因杆扭转不受阻碍，所以各段面在自由扭转条件下，因杆扭转不受阻碍，所以各段面 的翘的翘曲都相同，因此杆件上平行于杆轴的直线在变形后长度不变且曲都相同，因此杆件上平行于杆轴的直线在变形后长度不变且仍为直线。仍为直线。但翘曲是但翘曲是自由的自由的应力分布不同应力分布不同如图：狭长矩形断面（矩形段面长边或高度

6、如图：狭长矩形断面（矩形段面长边或高度h与短边或高度与短边或高度t之比为大于之比为大于5）的扭率：）的扭率：tMGJ 31Jht3 tmaxM tJ 称为断面的称为断面的“扭转惯性矩扭转惯性矩”变形变形断面在长边周界中点的剪应力最大，为：断面在长边周界中点的剪应力最大，为：狭长矩形断面的变形及应力分布狭长矩形断面的变形及应力分布尺度比：尺度比：应力分布及最大剪应力应力分布及最大剪应力t23Mht 3-2 薄壁杆件的自由扭转薄壁杆件的自由扭转(a)(e)(d)(c)(b)薄壁杆件的定义薄壁杆件的定义薄壁杆件的划分：薄壁杆件的划分：开口薄壁杆件开口薄壁杆件闭口薄壁杆件闭口薄壁杆件本章学习的目的：本

7、章学习的目的：求解位移及应力求解位移及应力开口薄壁杆件的自由扭转开口薄壁杆件的自由扭转 一等断面的开口薄壁杆件，在两端的扭矩作用下就发生自由扭转。一等断面的开口薄壁杆件，在两端的扭矩作用下就发生自由扭转。在自由扭转时，杆件断面不能保持平面而发生翘曲。如图（在自由扭转时，杆件断面不能保持平面而发生翘曲。如图（a）：工字）：工字形梁扭转时的变形情况。形梁扭转时的变形情况。可见梁的上下翼板相互转动了一个角度（即扭角），梁的断面不再为可见梁的上下翼板相互转动了一个角度（即扭角），梁的断面不再为平面，上下翼板向沿相反的方向发生翘曲。平面，上下翼板向沿相反的方向发生翘曲。薄壁杆件在扭转时断面虽然发生翘曲，

8、但在小变薄壁杆件在扭转时断面虽然发生翘曲，但在小变形情况下可以假定杆件扭转后在其原来平面中的投影形情况下可以假定杆件扭转后在其原来平面中的投影形状与原断面形状相同，即形状与原断面形状相同，即 “刚周边假定刚周边假定”。(b)变形的基本假定条件变形的基本假定条件刚周边假定：刚周边假定：假定条件对分析产生的影响：假定条件对分析产生的影响：在计算杆件断面在其平面内的扭转位移时可把断面当作一在计算杆件断面在其平面内的扭转位移时可把断面当作一刚体一样发生平面运动，断面在扭转时各组成部分的扭角相同。刚体一样发生平面运动，断面在扭转时各组成部分的扭角相同。t1t2t3tMMMM，整个工字形断面的扭矩满足力的

9、平衡条件整个工字形断面的扭矩满足力的平衡条件截面的力平衡条件截面的力平衡条件123截面的变形条件截面的变形条件工字形断面在扭转后的变形情况工字形断面在扭转后的变形情况:123ttttMMMM截面的力平衡条件截面的力平衡条件123123ttttMMMMGJGJGJGJ式中：式中：311131thJ 322231thJ 333331thJ，；变形条件变形条件ttJ MMJ 11每个狭长矩形承担的扭矩每个狭长矩形承担的扭矩提示提示:截面中的扭矩分布特点：按抗扭抗刚度比进行分配，截面中的扭矩分布特点：按抗扭抗刚度比进行分配，刚度较大的矩形，承受较大的扭矩。刚度较大的矩形，承受较大的扭矩。ittiJ M

10、MJ ttttMMMM123ttM JMJ 11t2t2M JMJ t3t3M JMJ 23ttttM JM JM JMJJJ1截面的总扭转惯性矩截面的总扭转惯性矩JJJJh th th t 3331231 12 23 3111333n3i ii 1aJht3 推广到一般（推广到一般（n个狭长矩形）：考虑到实际个狭长矩形）：考虑到实际中薄壁型钢断面的各组成部分在连接处通过中薄壁型钢断面的各组成部分在连接处通过圆角连成一体，因此刚度略为增加，所以惯圆角连成一体，因此刚度略为增加，所以惯性矩一般公式为：性矩一般公式为：hi与与ti分别为第个狭长矩形断面的长边与短分别为第个狭长矩形断面的长边与短边的

11、长度，系数边的长度，系数 与型钢断面形状有关与型钢断面形状有关 (3-9)截面上的应力分布：截面上的应力分布：tM tJ1 1max11截面上截面上最大应力最大应力出现在厚度最大的矩形的长边中点处。出现在厚度最大的矩形的长边中点处。右图为工字形断面在自由扭转时的右图为工字形断面在自由扭转时的 剪应力分布情况剪应力分布情况其分布规律为：其分布规律为：沿壁厚为线性分布，在壁厚中心线沿壁厚为线性分布，在壁厚中心线处为零。处为零。tJ MJ1tJ 11tM tJ 1ti it iiiM tM tJJmaxlsJt ds 3013 任意曲线形状的开口薄壁断面亦可以看作任意曲线形状的开口薄壁断面亦可以看作

12、 是狭长矩是狭长矩形断面组合的结果（图形断面组合的结果（图a），故其扭转惯性矩亦可用公式），故其扭转惯性矩亦可用公式（3-9）推广得到：）推广得到：式中式中s s为沿薄壁断面中心线的为沿薄壁断面中心线的坐标坐标;s1;s1为薄壁断面为薄壁断面的长度。的长度。开口薄壁断面的扭转惯性矩与壁厚的三次方成正比开口薄壁断面的扭转惯性矩与壁厚的三次方成正比例例,因此壁厚的大小对扭转惯性矩的影响甚为显著，即因此壁厚的大小对扭转惯性矩的影响甚为显著，即开口薄壁杆件的壁厚越小，其抗扭能力越小，反之薄开口薄壁杆件的壁厚越小，其抗扭能力越小，反之薄壁增加，抗扭能力大大增加。壁增加，抗扭能力大大增加。：ts1杆件在扭

13、转时断面中的剪应力将沿着断面形成剪应力流。杆件在扭转时断面中的剪应力将沿着断面形成剪应力流。用用 表示。表示。因为壁厚很小，故可认为剪应力沿壁厚不变，因为壁厚很小，故可认为剪应力沿壁厚不变，闭口薄壁杆件的自由扭转闭口薄壁杆件的自由扭转f 其主要特征是：其主要特征是：ft t如图：如图：一等断面的闭口薄壁杆件，两端受到扭矩一等断面的闭口薄壁杆件，两端受到扭矩 M t作用而发生扭转。作用而发生扭转。X轴为型心轴。轴为型心轴。MtMt0 dxxf0s dsf薄壁杆件自由扭转时，断面上任意点的剪应力与壁厚的乘积始薄壁杆件自由扭转时，断面上任意点的剪应力与壁厚的乘积始终不变。终不变。由平衡条件：由平衡条

14、件：dxxdsyzxo现杆件中取出现杆件中取出 的一微块（如图），在微块的断面上有剪流的一微块（如图），在微块的断面上有剪流 dxds 及及fdsfdxdsdxxff ffds dxs 剪力流等于常数剪力流等于常数o杆件断面中剪力流对断面上任一点的力矩应等于杆件断面中剪力流对断面上任一点的力矩应等于扭矩，现在把剪流对断面与扭矩，现在把剪流对断面与x轴的交点（左图中轴的交点（左图中O点）取矩，则有：点）取矩，则有：tMrdsffrds Ards2 tMAf 2AMtft2 式中式中r为剪流为剪流f到到O 点的垂直距离；点的垂直距离；rds为断面上为断面上 ds长度与长度与O点之间所形点之间所形成

15、的三角形面积的两倍；成的三角形面积的两倍；rds沿断面周长的积分则为断面中心线所围成沿断面周长的积分则为断面中心线所围成的面积的两倍，我们用的面积的两倍，我们用2A表示之，即表示之，即这就是闭口薄壁杆件自由扭转时的剪流计算公式，称为这就是闭口薄壁杆件自由扭转时的剪流计算公式，称为 布雷特（布雷特（Bredt）公式。公式。于是得于是得 或或rfdsA(3-12)(3-13)以下用材料力学中的以下用材料力学中的“单位力法单位力法”推导联系扭角与剪应力的推导联系扭角与剪应力的“环流方环流方程程”将两端受扭矩作用的闭口薄壁杆件叫做第一状态，如图将两端受扭矩作用的闭口薄壁杆件叫做第一状态，如图（a）；同

16、样这根杆两端受单位扭矩作用时叫做第二状态，如图（同样这根杆两端受单位扭矩作用时叫做第二状态，如图（b）。）。dsdx 为了计算应变能，在杆中考虑为了计算应变能，在杆中考虑 的微块，的微块，dxds MtMt11lds (a)(b)于是于是第二状态外力第二状态外力（单位扭矩）对（单位扭矩）对第一状态变形（扭角）第一状态变形（扭角）的的功功 1则有应变能为则有应变能为 :dx=第二状态的内力对第一状态应变的功即第二状态的内力对第一状态应变的功即应变能应变能。为第二状态中的剪应力为第二状态中的剪应力;为第一状态杆中的剪切角为第一状态杆中的剪切角 ldxtds00 At2/10 G/lldsAGldxAGdsdxtds00022 dsAGl 21所以所以：于是得于是得：或或此式为此式为环流方程式环流方程式。将（。将（3-13）式代入后，即得闭口薄壁自由扭转的）式代入后，即得闭口薄壁自由扭转的扭率为：扭率为：(3-14)dsds2AG2AG1 1闭口薄壁自由扭转的扭率为：闭口薄壁自由扭转的扭率为：闭口薄壁自由扭转的剪应力：闭口薄壁自由扭转的剪应力：AtMAMtftt2,2dsAG21024221