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1、106 高斯公式高斯公式 通量与散度通量与散度一、高斯公式一、高斯公式二、通量与散度二、通量与散度高斯公式的物理意义、散度散度的计算、通量、高斯公式的另一形式一、高斯公式一、高斯公式 定理1 设空间闭区域W是由分片光滑的闭曲面S所围成,函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在W上具有一阶连续偏导数,则有dvzRyQxPWSRdxdyQdzdxPdydz,或 dvzRyQxPWdSRQP)coscoscos(S这里S是W的整个边界的外侧,cos、cos、cos是S上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦 这两个公式称为高斯公式证明 如图所示,把S看成由S1,S2和S3三部分组成,
2、其中S1和S2的方程分别为zz1(x,y)和 zz2(x,y),S1 取下侧,S2 取上侧,S3 取外侧设闭区域W在xOy面上的投影区域为D xy简要证明:x y zOWS2:zz2(x,y)S3S1:zz1(x,y)Dxy 根据三重积分的计算法,有dvzRWxyDyxzyxzdzzRdxdy),(),(21xyDdxdyyxzyxRyxzyxR),(,),(,12 另一方面,有S1),(,),(1xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR,S2),(,),(2xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR,S30),(dxdyzyxR,SdxdyzyxR),(xyDdxdyyxzyxRyxzyx
3、R),(,),(,12以上三式相加,得所以有 dvzRWSdxdyzyxR),(类似地有dvxPWSdydzzyxP),(,dvyQWSdzdxzyxQ),(,把以上三式两端分别相加,即得高斯公式 例 1 利用高斯公式计算曲面积分dydzzydxdyyx)()(S,其中S为柱面 x2y21 及平面 z0,z3 所围成的空间闭区域W的整个边界曲面的外侧 解 这里P(yz)x,Q0,Rxy,xPyz,xQ0,xR0由高斯公式,有201030)sin(dzzrrdrd29 Wdzrdrdzr)sin(Wdxdydzzy)(dydzzydxdyyx)()(Sx y zO113 例 2 计算曲面积分S(
4、x2 cos y2 cos z2 cos)dS,其中S为锥面 x2y2z2介于平面 z0 及 zh(h0)之间的部分的下侧,cos、cos、cos是S上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦 解 设S1为zh(x2y2 h 2)的上侧,则S与S1一起构成一个闭曲面,记它们围成的空间闭区域为Wx y zOx2y2 h 2hS1S22yxz:而因此S(x2 cos y2 cos z2 cos)dSSS1(x2 cos y2 cos z2 cos)dS22222)(2hyxhyxdzzyxdxdy222222hyxhyxzdzdxdy222)(222hyxdxdyyxh421h 由高斯公式得x2 co
5、s y2 cos z2 cos)dSWdvzyx)(222222)(2hyxhyxdzzyxdxdy222222hyxhyxzdzdxdyx2 cos y2 cos z2 cos)dS421hh 4421hS1(x2 cos y2 cos z2 cos)dS x2 cos y2 cos z2 cos)dS S1z2 dS2222hyxdxdyhh 4二、通量与散度二、通量与散度 高斯公式的右端可解释为单位时间内离开闭区域W的流体的总质量,左端可解释为分布在W内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量高斯公式的物理意义:dvzRyQxPWdSSnF 在流速场 F P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)内一定点M(x,y,z)附近任取一包围M点的闭曲面S,设S所围成的区域为W,W的体积为V,则散度:表示单位时间从W的单位体积内所产生的流量,而dSVSnF1MWlimdSVSnF1表示在点M处单位时间内所产生的流量,我们称其为向量场F在点M的散度,记为divF,即 divFMW limdSVSnF1 设P、Q、R具有一阶连续偏导数,则散度的计算:divF zRyQxP 设S是向量场F内的一片有向曲面,n是S上点(x,y,z)处的单位法向量,则通量:dSSnF叫做向量场F通过曲面S向着指定侧的通量(或流量)高斯公式的另一形式:dvdivWF=dSSnF