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1、探究教材,体会课程新标一题多变,发展核心素养摘要:义务教育数学课程标准(2022)版,(以下简称“新课标”)指出,“数学课程目的确定,要立足于学生核心素养的发展,通过数学眼光,能够抽象出数学的研究对象及其属性,形成概念、关系与结构.”出数学习题是数学教学中一个重要的环节,笔者以沪科版教材一道课本习题探究为例,通过一题多解,一题多变,串题成线等教学设计,浅谈如何通过深挖教材习题,发展学生数学核心素养.关键词:探究教材习题,一题多变,核心素养,数形结合,通性通法.一、原题呈现“已知,如图1.aABC是等边三角形,8。是中线,延长BC到E,使=CQ,求证:08=OE”(沪科版教材第16章A组复习题第
2、5题)图1图2解法1:由等边三角形性质,可知NO8C=30。,NoC8=60。,由CD=CE,可知NCDE=NE=30。,所以NDBE=N,所以OB=OE.解法2:由NoCE=I20。和CD=Cb可知DE=3几,因为在RtZXBCO中,NDBC=30。,所以DB=SDCt所以DB=DE.二、习题探究教材中本题立足于等边三角形性质基础上,利用“直角三角形30。对边等于斜边一半”证明线段之间数量关系,本文的探究思路为先通过延长瓦),进一步丰富图形.在此基础上,弱化条件,提出猜想,通过几何直观,化静为动,以等腰三角形作为探究载体,在般甲餐特殊H最常利用逐步形成数学理性思维.言论.在经历数学再发现的过
3、程中,2.1特例感知问题1:延长交AB于F,探究4尸与AB之间的数量关系.延长E。交AB于F,探究AF与AB之间的数量关系.简析:由原题结论可知,=30o,Z=60NADF化为“一般等腰三角形”后结论是否依然成立?由.2.2条件弱化,从“特殊倒”一般”变,结论A尸=IAB是否一定成立.4此时AF=IA8是否一定成立.BCE图3图4解析:如图4,由。为AC中点,作HBC因为CO=CE,所以CE=N,所以NF二G二假设AF=;AB,因为G为AB中点,所以;1,所ZAFD=90,所AFJAOjAB.以以24此,本题进行再探究如下:BCe交AB于GH,所以笈嗯唯=所以gQ所以一定存在AF=k,AGk+
4、A产二k.AB2+2总结:对猜想的结论证明,可以通过反证法,如本题中可以先假设猜想结论成立,再得出与条件不符,从而得到论证结果,最后将论证结果用数学语言呈现,归纳总结,发现其一般规律.2.3 条件结论互换多角度探究内在联系BCEB图5解析:如图6,作OGAB交BC于GAF = ADAD ABGCE图6,又因为NA三Z,所以型AABD,所NADF=NAB,所ZCDE=ZABD,又因为NABC=NACB,所h1.nh1./DBE=NDEB,所以DB=DE,又因为。G/AB,所以4DGB=ZDCE,所以ADBGAC解法1:参考上述结论推导过程,易证DG=GE=2,所以1BFBE33解法3:如图9,取
5、BE中点用,延长EQ,BC,交ED延长线于N,连接DN=DE=DB,所以/NBE90o,又因为M为BE中点,所以1BC,所以BN,所以aMCsZ3M4,MC=PC=1.f所以MC=1,所以CE=CE=_CE_匚,所ANAB2a2BE2ME2(MC+CE)3以AN1,所以BE=33解法3:过尸点作5C平行线或过C点作AB平行线均可证明,请读者自行证明.在探究2结论中,。为AC中点,是一个定点,数学教学过程中,教师尽可能透过现象看本质,应不断深化认知,拓展出更一般化的结论,让学生站在更高层次去认识它.笔者再次尝试弱化条件.问题4:将。从“定点”弱化为点。为一AC边上“动点”,其余条件不变,探究AF
6、和AB之间的数量关系.AF=AF.AD=m2;如图葭,作CG H:,因为=AB-=百AB AD AB nAA/AD 1FB 2n A-m所以空 m ,所以CEa2BF = +mD/rT-对比上述证明结果可知,结论1,2即为7=1时的比值,该证明过程可以通过类当2,变化,中寻找“不变”帮助学生感悟解决数学问题的基本思路,积累基本活动经验.2.4 聚焦思想方法,双动点齐呈现AA解析:如图14过P点作HBk,过O点作HBNPGDM所以PM-,所以CE%-,CE=m-n:1-n因为PGBAI中所NG(mn)2n22innn2GPInn22n1=2-2+2n2-2n+引入双动点,为后续探究一般三角形提供
7、了理论基础,对比单动点解决方法,这里继续通过构造平行线转化解决问题,对比解题思路,让学生联想解决问题方法,追根朔源,通过这种联系的,变化的,矛盾的观点挖掘问题串,突出价值引领.2.5突破现有框架,探寻世外桃源E点、在BC的延长线上,连接4E,E。交48于尸,8。交4E于G,探究GEAG的Z4-*Zm人图15图16解析:如图16,过C点作CBG,则G=BC=I,AG=AD=fn,所以HECEmGHDC1mAG-,所以AG=.HE-mGEm-m+(1-tn)-m2结合上述探究可知:EC=tn,M=I-,AG=团,所以ECBFAG=6.1一.m=1.74mrGE5CBFAGEm1-m2CR-m上述问
8、题的探究都遵循由浅入深,由易到难过程,虽然问题的条件和结论都在改变,但在变化过程中,又有一些是不变的,如思想方法不变,解题思路不变,利用代数法表示出3段比值,很容易让学生发现其间特殊关系,其积为1,那么这个结论是否具有具有普适性,对于任意三角形是否具有这一结论?为此继续探究如下.2.6回归基本图形,揭示一般结论立”.ABDCB图17图18解析:借助上述结论生成的过程,继续构造平行线成比例,问题,如图 18,过。作 H CF、DN / BE ,设AP= m , CD= n=是否成DB FA ECkDC结合代数法设比值解决,则CN= , BM =I fPDDBNEMFnAE=.,W一I,所以二+1
9、,CQ.AE=小+.?=1,至此可以FNAFmFAfmiECDBFAEC皿+1得出该结论对于任意的三角形都成立,而本结论恰好是著名的“梅里劳斯定理”!纵观本题是从一个特殊图形中形成一个基本方法和结论,再找出符合一般情况的几何图形规律,师生通过对解题实践的深刻体验和深入研究过程中,发现问题,并体验解决问题时蕴含的数学思想和方法.三、探究反思3.1 教学中重视教材,关注教材知识延伸新课标指出,“数学知识的获得,可以通过接受学习的方式,也可以通过自主探索等方式”,教师在教学中不应该单纯的灌输知识,更应该在教师的引领下让学生通过现有的素材进行挖掘,而这样的素材比比皆是.教材中的例题和习题,中考真题都是
10、很好的源头,如本文所探究的就是从课本一道习题出发,经历从特殊到一般,逆向思考,关注了过程和方法,数学思考,既能培养学生学习能力,又能启发学生自主发现与思考,让学生在不断操作和思考中学会反思,不断积累活动经验,最终找出符合一般情况的几何图形规律,在此过程中,逐步养成从数学角度观察现实世界的意识和习惯,发展好奇心,想象力和创新意识.3.2 善用一题多变,感悟“变”中“不变”新课标指出,“通过数学思维,可以揭示客观事物的本质属性“,本文通过对该题图象的扩展,得出特殊结论,在研究其逆命题的存在的条件下,引入不定比值,将定点再进一步拓展成动点,将问题不断引向深入,增加问题的宽度和深度.不改变背景和问题,
11、能有效揭示变中不变的规律和方法,引导学生根据已知的事实和原理,合乎逻辑的推出最终结论,最终发展学生构建数学逻辑体系,形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质,培养学生科学态度和理性精神.3.3 提炼通性通法,渗透数学素养回顾本题变式解决策略都是通过作平行线,利用平行线分线段成比例结合代数运算推出最终结论,问题虽不同,其实都殊途同归,都能提炼出通性通法和自然生成的解法.在探究过程中,可以有效培养学生问题分析,数形结合,由特殊到一般,再由一般到特殊、不断强化学生的转化能力,通过问题活动方式层层铺垫,又层层设疑,让学生在探3.4 重视数形结合,感悟数学思想华罗庚曾说“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休”以本题为例,最终动点位置都是通过引入比值来有效解决,比值变化对应了动点位置的变化,这个过程既有“以形助数”又有“以数解形”,既有几何的直观和形象,又有代数的严谨与规范,最终达到使复杂问题简单化,抽象问题具体化,开拓学生解题思路,提高学生的解题能力,发展学生数学核心素养.参考文献1义务教育数学课程标准(2022版)M.北京:北京师范大学出版社.