《选择性必修三》随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列第6课时.docx

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1、第6课时7.4.3二项分布的性质(-)教学内容二项分布的单调性、最大值、最小值.(二)教学目标通过具体实例,借助散点图和概率分布直方图,观察二项分布的特征,推导二项分布的性质,掌握取最值时&的取值,体会数形结合和转化思想,提高数学抽象及数据分析的核心素养.(三)教学重点和难点重点:推导二项分布的性质并运用.难点:二项分布的最值取值.(四)教学过程设计一、问题引入问题1:掷一枚质地均匀的硬币正面朝上的概率是多少?追问:掷IOO枚质地均匀的硬币最可能有多少枚硬币正面朝上?师生分析:学生回答掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5,根据直观感觉和生活经验猜测掷100硬币时最有可能有50枚正面朝上。掷100枚

2、硬币最可能有多少枚硬币正面朝上,即掷100枚硬币有多少枚硬币正面朝上时概率最大。设一枚掷硬币正面朝上的事件为A,掷100枚硬币正面朝上的次数为X,由于每次掷硬币的结果是相互独立的,则随机变量X服从二项分布,且事件A成功的概率为0.8,因此X8(100,0.5)则离散型随机变量X的分布列为P(X=%)=0.5a(1-0.5)3,A=0,1,2,L,100.探究是否有50枚硬币正面朝上时概率最大,即探究P的何时取到最大值。引出新课:探究二项分布的性质。设计意图:以学生熟悉的抛硬币的例子,通过设疑,引起学生兴趣。可以先误导,引起学生的认知冲突,再解释分析题意,明确研究问题,随机变量X服从二项分布8(

3、100,0.5)时,Z取何值时,P(X=k)最大?二、新课教学师生活动:可以把P(X=Q=GAOOO.531-0.5)K)OY,攵=0,1,2,L,100.看成以Z为自变量的函数/(k)=C:Oi)0.5*(l-0.5)3,其定义域是0,1,2,100o可以利用散点图观察性质。课前布置学生画出当掷硬币10次时的散点图,).P通过动手实践,发现画图比较复杂,教师借助信息技术,利用信息技术画出抛掷100枚质地均匀的硬币时的散点图,观察图象,抛掷10枚时当上5时概率最大,即最可能有5枚硬币正面朝上;即掷100枚硬币时,当上50时概率最大,最可能有50枚硬币正面朝上。设计意图:通过学生熟悉的例子,猜测

4、对于二项分布仇2),最可能值在Z=X处取到,引起认知冲突,激发学生的学习兴趣。2问题2:将问题1一般化,假设随机变量X服从二项分布3(,p),则该随机变量X具有哪些性质?师生活动:当试验重复次数和事件成功概率P发生变化时,我们仍然可以把P(X=Q=C(l-p)i=0,1,2,L,几可以看成以Z为自变量的函数f(Q=Cpl-p尸,其定义域是0,1,2,通过观察散点图,观察值域、单调性、最值、奇偶性、对称性等性质。(教师展示三个动图:不变P变,变P不变,和P同时变化)V当前的:项分布是XB(34,0.24)0X学生观察动图,总结二项分布图象的特征:1、二项分布是一种离散型分布,图象是离散型图象2、

5、二项分布的图象形状取决于尸和的大小2、当欠由O增加到小P(X=A)先增后减设计意图:从特殊到一般,类比以往的学习经验(二项式系数、数列)研究二项分布的性质,强化学生的类比推理能力。追问1:通过图象观察,若XB(n,p)(0p0oaba-b=0Oa=b、a-b0a0,则可以将9与1比较,巴l=ab、-=la=bhbbap)ik(n-k)/gi)!(A+)!0i)(,n-k+Y)p_np-kp+p_k(-p)-kjrp+npA(I-P)Z(I-P)%(l-p)1p(+n)-kk(-p)令.1,则A(+l)pPk-X所以当k(n+I)P时,Pkpk-,pk随k值得增加而减小;学生分组讨论,教师给予指

6、导:因为人一定是整数,所以需要对(+1)P是否为整数进行分类讨论-lW,iPtr.当IW的二项分布是XB(lD,Od)当(+1)P是整数时,一丝二1则Phl=P&,PI.二poPlpk+1Pn-IpM=Pk或Pk-I0X当(+1)P非整数时,不妨以具体取值为例,方便学生理解。以n=7、P=On为例,则(n+l)P=56所以R5.6时PAPk,k5.6时PRVPklpop1p2vp3p4p6p7,所以M=p5.即当(+1)P非整数时火取(+1)P的整数部分(记做5+l)p)poPlVP(n+I)p-!PK+1)+1pn-pnM=p(+i)p*.1一_OX师生总结:当(+1)P是整数时,M=PA或

7、PA+1当5+1)P非整数时,M=P(n+i)p设计意图:先通过图象(形)直观观察,推测增减性,再利用表达式证明,体现数学的严谨性。问题3:我们利用图象观察,并通过计算得到了二项分布最大值取值情况,请同学们自己思考并探究最小值取值情况及何时可取?师生活动:学生讨论,教师巡视并给予指导,请学生代表上台发言Po=C。(1-pr=(l-P),Pn=Cwp)=PnQ0p0Jll-p0展上V=(上丫,压1贝工1Po(I-P)V-79PoI-P.p0.5时p”o,则最小值为Po,p0.5时0Po,则最小值为幺P=0.5时p=Po,则最小值为O或p.过渡:刚刚我们利用散点图研究了二项分布的最值问题,体现了二

8、项分布每一项概率的大小,还可以利用概率分布直方图进一步研究对称性等性质。师生活动:通过信息技术展示动图身前的:七分是X(13,0.15)*i*的坳分布此XB(2l,OS)当p0.5时,图象向右偏倚;当P等于0.5时,图象对称,图象呈中间高两边低、先增后减的的趋势。当产等于0.5时,如果充分大时,服从二项分布伙7)的随机变量近似地服从正态分布,这正是我们下节课所需要学习的内容,体现单元教学的内在联系。教师展示动图,学生直观体会这种变化。三、例题精讲例1如果某射手每次射击击中目标的概率为0.8,每次射击的结果相互独立,那么他在10次射击中,最有可能击中目标几次解:设他在10次射击中,射中的次数为X

9、,由于每次射击的结果是相互独立的,因此XB(10,0.8),于是可得他恰好A次射中的概率为P(X=A)=C*jO.8aO.2io=OJ,2,L,10.KX=k)(10Z+l)x0.8111x0.8Z从而-=1-于是,当N8.8时,Pa=hl)P(=k);当Q8.8时,P(x=kl)P(x=k)故该射手在10次射击中,最有可能射中8次变式:如果X8(20”),求使?(X=A)取得最大值是女的值解:XB(20)则片20,p=l,(n+l)p=733则当上6或7时,P(XY)取得最大值设计意图:这两题为简单题,不同层次的学生都应该掌握,通过此题旨在让学生掌握二项分布概率最大值计算得两种思路。例2随机

10、变量X服从二项分布即X8(,),试求当=10,p=0.04.0.2、色、0.98时,试求2取何值时P(XF)取到最大值和最小值。11解:当=10,p=0.04时,(n+l)p=0.4,所以当上0时P(X=Z)取得最大值=P(X=0)=(0.96),0.66483p0.5,所以当上10时P(X=期取得最小值z=p(=10)=(0.04)=0.00000000000001048576当=10,p=0.2时,(nl)p=2.2,所以当上2时P(XM取得最大值M=P(X=O)=(O.96)100.664830.5,所以当仁10时P(XY)取得最小值小=P(X=IO)=(0.2)=0.00001024当

11、=10,*时,(+l)p=4,所以当上4或5时P(XY)取得最大值P(=4)=Gl)Aj0.24385M=尸(X=4)=尸(X=5)0.24385p0.5,所以当k=0时P(X=A)取得最小值,n=P(X=O)=(0.02)0.00000000000000001024四、总结提升(1)知识:二项分布的图象最大值:当(+I)P为整数时M=p(+i)p-i或p(”+i)当(+l)P非整数时M=P(n+)pP0.5时P,0,则最小值为O最小值:pPo,则最小值为凡P=05时p”=PO,最小值为Po或p.(2)方法:数形结合思想、类比思想等。五、作业布置1、-次数学测验,由20个单择题构成,每个选择题有4个选择项,其中有且仅有一个是正确的,若某学生在测试中对每题都从4个选项中随机地选择1个,求该生在这次测验中答对多少个题的概率最大。2、一次数学测验,由20个不定项择题构成,每个选择题有4个选择项,若某学生在测试中对每题都从4个选项中随机地选择若干个,求该生在这次测验中答对多少个题的概率最大。设计意图:这两题的背景和学生息息相关,即可以巩固本节课的知识,也可以激发学生学习数学的兴趣。自主探究题:二项分布的偏倚性的证明,二项分布的其他性质。

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