导数 极值 最值问题.docx

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1、导致在探讨函数中的应用学向旅理-函数的单调性1、利用导致的符号推断函效的单性：-ft*.设函数.V=f()在某个区间可导，假如f(X)O，则/(-)为增函数；假如F（八）0是/(X)在某个区间上为*函数的充分非处良条件.f在某个区闾上为南数的充分非必要条件.3、利用导致推断函数单耀性的步h求函数AX)的akr.令/30解不等式，得X的茶国就是通地区间.令/()V。解不等式，IVX的范围，就是建区110.4、已知函数的单调性求参数的取值范BI是一种常见的J型，客利用导数与通数单调性关系，即“若曲数单递增，M()0,若函数单辑地凌，则/6)0”来求解，Brt此时公式中的等号不能省略，否则解.二函数

2、极大值、微小值1、极大值，假如X=C是曲数f(X)在某个开区间(.y)上的大值点，即不等式“c)/(x)对一切XWmJ)成立，就说函数f(x)在I=，处取到横大值/(C),并稼，为函数f(x)的一个极大值点，/(C)为f(x)的一个极大值.2、微小值I假如=是函数f(x)在某个开区间(“,1)上的量小值点，IP不等式f(c)(x)对一切X(，)成立，就说的数f(x)在=处取到微小值并稼，为函数f(x)的一个豢小值点，/(C)为f(x)的一个微小值.3、极大值与微小值俄彝为极值，极大值点与微小值点俄称为横值点fc)=0,Jrr=C叫做函数f(x)的驻点I可导函数的极值点必为驻点，但驻点不肯定是极

3、值点.4、判别/(而是横大、微小值的方法:若，意/(,并且mDr(X)在C两IW1.意“左正右负”，则C是f(x)的极大值点，/(Q是极大值:假如/(X)在C两儡清意.左负右正。JKc是/(x)的微小值点，/(%是It小值5、求可导函数A力的极值的步:(1)确定函数的定义区间，求导数f(力(2)求t()的驻点，即求方程f(力=0的根(3)用函数的导数为O的点，次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检IEfG)在方程根左右的值的符号.假如左正右负，那么在这个根处取得极大值：假如左负右正那么丹力在这个横处取得*3.3.1利用导象探讨函数的单调性典例剖析：型一求函数的单辑区间例1已知函数V

4、=X+1,祓探讨出此遢数的单0区间.X分析探讨函数的单调区间，可以利用导致来推断工他，1“11(-V+i)(x-1)Mt/=(-)*=1一一-=.X.(+1.)(x-1.)j1._令；o.解得或-1.X.y=+的单调地区闾是(一8,-1)和(1,+8).(.r+1.)(x-1.).-U-0,得通地区间，解不等式r()o,得温流区间.离型二已知函数的单性，求分数的取值低围例2.若函数(A)=1-r+-1.)A-+1.在区间”,4)内为减函数,在区间(6,+8)上为*函数,试求实效“的取值范$.分析t常利用导数与函数单性关系：即“若函数单逢增，则f()2O,若凿数单调遣款，三/(x)0-来求解，此

5、时公式中的等号不能省略，否则解.的数求导得/(x)=2-+-1=(-1.)-(-1),令/)=()将X=I或x=-1.,因为函数在区间(1.4)内为X函数，所以当G(1.4)时，/0)M0又因为在西数区间6+x)上为增函如所以当、G(6.+oo)时，,(x)0,4u-I6,5w7.即实效”的取值范*5,7点评：已知单辑区间求H。的取值范B1.是近年来常见的考查导致的一科JB型.备选例3t己知函数/(=2rTrUe(0,1,若/J)在Xe0.即a-.-1.当斫一1时.r(.t)=-2+彳时XW(OJ)也有r0,满意)在(0.1上为增函数.工。一1.评述:求参数的取值范围.凡涉及函数的单调性、最低

6、问遨时.用导数的学何耨决较简洁.点击双基1.函数y=x+cosx在(-+8)内是()A增函数B减函数C有增有减D不能确定解：因为=1.rinx0恒成立，故选A2.函数八*)=/+2*-的单，流区间是(D)2.(-2)B.(-2.).C.,(-.O)D.以上都不对.解，/(X)=3+201HA*,不存在单调减区间，故选D3 .函数/CO=(!).()A.f（八）=f(b).B.f（八）f(b).D./()J(加大小关系不能确定e一z,1XI解：/goe时水1,所以(-8J)为流区间，又。人0,所以88XA单Iiif区间为(0,斗)5 .偎如的数尸!2+1.nx-ax在定义域为增函数，JUa的取值

7、粒B1.是2M定义域为(O,+),)；1+1-川,即/又+，在定义城(0,+8)上恒成立，又x1.小值为2,所以XXXa23.3.2函数的横大值和It小值第TIW典例剖析JS型一函数极值的求法例1已知/(x)=*+F+t+在X=I与,t=一一时，都取得极值.3(1)求。.的值I(2)若/(7)=g,求/(X)的单区间和极值；分析，可导函数在M点取到极值时，/()=01求函数横值时，先求单0区间，再求极值.Mt(1),(x)=3x2+2x+b=0.由JB设，=.=-j为7(X)=O的解.22b2.1-j=1.-j,3=1X()*a=-2*b=-2.(2)/(x)=x,-x,-2x+c,由f1.1

8、.)=T-+2+c,c=1.X(8,)(,1)(1,+)fM+()的递增区间为(-8,一，及+6+，的图象如图所示，且与F=O在点相切，着函数的微小值为T,(1)求&C的值I(2)求函数的斑区间.分析;从图上可得K=()是函效的极大值点，函效的图量经过(0,0)/V.1点且图望与X轴相切于(0,0)点,可先求出“,C的值.解：(1)函数的图象酷过(0,0)点.*.C=Ot又图象与X轴相切于(0.0)点.y,=3x2+2ox+b：.0=302+2o0+b,得b=0：.yxiax2,y=3xi+2ox2 2当x“时，y”时.y03 32当时，函数有微小值一4(j0)+/()2=-4得a=-3(2)

9、y,三3-6x0,M0x2地就区间是(0,2)评析，求出。力.N+1.=令f(x)=o,JUx=X3XX3宙意的数定义域为(0,+8),所以胜点是X=近，当XW(0,I)时f(X)0Bm0Cm0D,m0O解，yNx1.m=OJe方程要有两解，函数y=3+mxr才有极值.所以mv,故选B3、f(1)在区间(,b)的图像如右则f(x)在区间(a,b)内有极大值点()解:A,B,D三点左右导数舁号，是横值点，其中A,D是极大值点B是款小值点.留意C不是极值点，故选A4、y=x+2的概大值为It小值为X解：.y=1W=O,则x=2或x=2,x=2是极大值点,所以摄大值为4x=2是徵小值点.所以微小值为

10、4.x5、若函数/(x)=x(X-c)2在X=2处有极大值.则常数C的值为：输*)=32-4cr+c2J=-8c+12=0.c=2,或6,c=2时取微小(ft.c=6时取极大值,故常数C的值为6典例剖析：三三-函敷量大值和最小值的求法例I(D求G)=x-3-9x+5在(-4,4上的大值和小值.(2)求函数f(x)=(-I)V在-1,g上的大值和最小值.分析，求用区同上曲数大小值的方法为I求出导数为0的点和导数不存在的点，求出导数为。的点和导数不存在的点及点的函数值，比较它的的大小.解答；(1.)z,(x)=3x2-6X-9=3(x+1)(x-3)z(x)三0Wx三-1*2=3/G)在X=-1处有极大值/(-1)=10/X)在X=3处有微小值/(3)=-22在区阈点处，(-4)=-71,/(4)=-15比较上述结果得，/(x)在(-4,4)上的大值为/(-1)-10,量小值为/(一4)-71.(2)当XWO时，/(X)=5,r-23.由f()=O得,X=O为/(K)不存在的点.由于/(-D=-2./(0)=0./()=-A.所以，困数的量大值是/(0)=0.小值是点评，利用导数求值同意是导敷的一个工要应用.三三-函数量大值和最小值的瀛合应用例2.已知.6=。.1-201?+以会0)在区叫-2上量大值是5,小值是一11,求