第四章数学抽象与数学建模.ppt
《第四章数学抽象与数学建模.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第四章数学抽象与数学建模.ppt(29页珍藏版)》请在优知文库上搜索。
1、 一切科学的抽象,都更深刻、更正确、更全面性地反映着自然列宁第一节 抽象毕加索抽象画 数学中的“1” 从“一个人”、“一棵树”、“一只羊”等客观事物中抽象出来的,只保留这些对象在数量上的特性,即量的多少 数学中的“圆”从许许多多具体形体中抽象出来的“形”的概念,并没有顾及它所代表的特殊的质的内容 纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系,所以是非常现实的材料这些材料以极度抽象的形式出规,这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。 恩格斯点、线、面,常量、变量概念 一、抽象方法 抽象是把研究的事物从某种角度看待的本质属性抽取出来舍去其非本质属性进行考察的思维方法。在数学中,抽象是指从研究对象或
2、问题中抽取出数量关系或空间形式而舍弃其它属性对其进行考察的方法。数学中的概念、关系、定理、方法、符号等都是数学抽象或再抽象的思维结果。抽象思维是数学学习的基础之一。2.数学抽象的基本形式(1)理想化抽象 所谓理想化是指通过抽象得到的数学概念和性质,并非客观事物本身存在的东西,而是从实际事物中分离出来的经过思维加工得来的,甚至是假想出来的概念和性质 。 如,在几何中的“点”、“直线”、“平面”等抽象概念,在自然界也是不存在的,都是经过人们的智慧加工得来的理想化概念几何中的“点”是从自然界中物体的大小无限地减少可能得到的结果,或者在物体的大小比较中,大大可以忽略不计的物体中抽象得来的,而且把它理想
3、化为无长、无宽、无高的“点”同样,“直线”被理想化为没有厚度和宽度的线、“平面被理想化为没有厚度的面等。 在数学中,往往在原有的对象中引入理想化元素,创造出新的数学理论例如无限远点(理想化元素) 和虚根的引入。 上述事例说明,理想化抽象的方法在数学的发展和发明创造中具有重要的作用”(2)等价抽象 在数学研究中,把同类对象的共同性质抽取出来而舍弃对象的其它性质,这种抽象方法称为等价抽象 例如,对于两个集合来说,如果能够在它们的元素之间建立起一例如,对于两个集合来说,如果能够在它们的元素之间建立起一一对应关系,则称它们为对等的集合一对应关系,则称它们为对等的集合自然数自然数是等价抽象的结果是等价抽
4、象的结果 又如,两个三角形,它们的对应角相等,对应边成比例,具有这样的性质的三角形,它们都具有相同的形状把三角形这种相同的性质和形状的特点抽象出来就得到相似三角形相似三角形的概念这也是等价抽象 再如,在自然数中有的数被一个自然数除,都得到相同的余数(如2,7,12,17,被5除都得到余数2),从这类自然数的共同特征抽象得到同余数同余数的概念,也是等价抽象 等价关系满足以下三条性质:等价关系满足以下三条性质:自反性、对称性、传递性。自反性、对称性、传递性。 设有一集合设有一集合E,如果给定了笛卡尔乘积,如果给定了笛卡尔乘积EE的一个子集合的一个子集合R,我们就说,我们就说在在E上定义了一个二元关
5、系上定义了一个二元关系R.即一个二元关系,就是一个有序偶对的集合。即一个二元关系,就是一个有序偶对的集合。 如果用如果用a,b,c, 表示所考察的一类对象,那么表示所考察的一类对象,那么 自反性:如果对于所有的自反性:如果对于所有的a,都有(,都有(a,a)R,例如数的相等,自然数,例如数的相等,自然数的整除等的整除等 对称性:如果(对称性:如果(a,b)R,则(,则(b,a)R,如数的不等、直线的平行、,如数的不等、直线的平行、垂直、相似等垂直、相似等 传递性:如果(传递性:如果(a,b)R,(,(b,c)R,则(,则(a,c)R.如数的大小、如数的大小、直线的平行、整除、相似等直线的平行、
6、整除、相似等(3)强抽象与弱抽象 强抽象是指在已知概念中,加强对某一属性的限制,抽强抽象是指在已知概念中,加强对某一属性的限制,抽象出作为原概念特例的新概念的方法,即通过扩大原概念的象出作为原概念特例的新概念的方法,即通过扩大原概念的内涵来建立新概念的抽象方法。内涵来建立新概念的抽象方法。 例:从四边形概念出发,从两组对边给予适当限制,则例:从四边形概念出发,从两组对边给予适当限制,则得平行四边形和梯形的概念。得平行四边形和梯形的概念。 若从平行四边形概念出发,再对边或角分别适当限制,若从平行四边形概念出发,再对边或角分别适当限制,有得到矩形、菱形及正方形的概念。有得到矩形、菱形及正方形的概念
7、。 由对数的概念出发,对底数给予适当的限制,可获得以由对数的概念出发,对底数给予适当的限制,可获得以1010为底的常用对数和以为底的常用对数和以e e为底的自然对数等为底的自然对数等 弱抽象:指在已知概念中,减弱对某一属性的限制,弱抽象:指在已知概念中,减弱对某一属性的限制,抽象出比原概念更为广泛的新概念,使原概念成为新抽象出比原概念更为广泛的新概念,使原概念成为新概念的特例的方法。即通过缩小原概念的内涵来建立概念的特例的方法。即通过缩小原概念的内涵来建立新概念的抽象方法。新概念的抽象方法。 例:从全等三角形的概念出发,借助弱抽象就可获例:从全等三角形的概念出发,借助弱抽象就可获得相似形与等积
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 第四 数学 抽象 建模