大一微积分复习资料教学教材.docx

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1、大学的考试比较简单,主要以书本为主,下面的复习指导可作提引作用.10-11学年第一学期“微积分”期末复习指导,=x2+1.XD=；/(y)-：第一章函数本章点复合照数及分解.初等函数的概念.二.复习要求1、能熟练地求函裁定义域；会求函数的值域。2.理解函数的的单性质.知道它们的几何特点.3、牢记常函数、珏函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角由数等六类范本初等函数的表达式,知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中(1) .时于对数函数.V=InX不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数ye互为反函数的关系，能熟练将墓指函数作如下代数运算：rZ=en(2) .对于常用的四个反三角

2、函数,不仅要熟习它们的定义域、值域及简垠性质,还要熟记它外在特殊点的函数做.4、掌握笈合函数，初等函数的概念，能熟练地分解空介函数为简单函数的组合.5,知道分段函数，除函数的概念.三.例1.试分析下列函数为哪几个简中.函数基本初等函或基本初等函数的线性函数)更合而成的？(1) .J=产(2) .yarctan()1+x分析：分解个复合函数的坝合过程应由外层向电层进行，期一步的中间变敬都必须是基本初等函数或其线性函数(即简单函数)解：._y.e”,r/0v(参见教材P79)4.掌握两个重要极限：,V*injv例2.Iy=WCCOtX的定义域、值域各是什么？an*cotI=?答：y=(irccot

3、X是y=cotx,xe(0,JC)的反函数，根据反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域，可知S=WCCOtX的定义域是D,-=:/(O)-：2. /(x)NarcSinX则AD定义域为，值域为3. 分斛下列函数为简单函数的复合:(1) .y=(2) .J=ln(x5-l)答案：!.(-8400).(-y,y),O3.yeu,u=-3x.j=ln,u三x3-1.自我复习X习题点的左右被限都存在旦相等。2 .理解无穷小埴与无穷大城的概念和关系，常握无穷小IK的运尊性质,特别是无穷小量乘以有界变成仍为无穷小.例如：Iimxsin=O,IimSill-014,X,X3会比较无穷

4、小的阶.在求无力小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运徵简化，常用的等价无穷小代换有：当(x)时.有:Sincr(X)-(x):tan(x)-()e*x,-l-(x):lnd+(x)-()；1-cosflrtx)-2,.sinx(1).Iim1IX1-(Il)lim(l+-)三t,=lim(l+x)*记住它们的形式、特点、自变破的变化趋势及扩展形式(变形式).并能熟练应用其求极限，特别是应用我要极限(Il)的如下扩展形式求1如未定式极限：ii1Iim(I+)*=e=lin(l+Ax)”X*olim(l)j=el=Iim(IAx)*X5 .#握函数连续的概念,知道结论：初等图数在其定义区间内都

5、是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点.函数凡O在分段点即处连续的充要条是：函数在XQ点极限存在且等干/(X.),即；Iim/(x)=(xn),11出故f!.3X0,JV网订CiJ式不Illi.!时，函数/K)在分段点处处连续的充要条件则是：Iim/(xl-Iim/(x)-(xl,).-,Xf%1。存在时),林X,为/(X)的可去间断点：Iiin/（八）Iim/(x)时称*为/(x)的跳ATJ跃间断点。不是第一类间断点的都称为第二类间断点。7 .了耨连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必布最大他与最小伯。8 .能铭熟练地利用极限的四则运算性质

6、：无穷小埴、无穷大量的关系与性质：等价无穷小代换：教材P69公式(2.6)：两个由要极限：初等函数的连续性及洛必达法则(第四点)求函数的极限，三.例题选解Iimf(x)=Iim四竺=-1Iimfx.O(Xj-*O,即D也不对，菊下的B就是正确答案。,由于2x2.Jl+21一1代%.X2Iim；=jt0sin*.vfx*x：.应选择D.例3.求极限：Xf1-COSXIim()rrX-5例1.单项选择题下列极限中正确的是(当XTO时，41+2/-1是,访。的()A,低阶无穷小；B,高阶无穷小：C同阶无穷小，但不是等价无穷小：D.等价无穷小：分析与解：.A与C显然都不对，射于D.记I(X)=tanX

7、,则/(刈=IanXXIUn工TA*0解：此极限为9型0当Xfo时，有ln(l-X2)-(x:),1cosx.l.In(I-X-)-X1.Iim=Iim-J-=21-COSx*0XT此极限为c型，可用球要极限(11).X-23Iim(Y=lim(l+-)rx-5,xX-53上二，=Iiin(1+)37x-5判断其类型.r门、l.IanxIim/(.r)=IimX-KTXwX例2.判断南y=I-7的间断点，并xj-9(x-3Kx+3)由于y=：三x-X-6(X-3)(x+2)(cos(3x)-Ijtan-.Iim-i?r(e2,-i)lnd+5x2).x=3,x=-2是函数F无定义的点，因而是2

8、.单项选择虺函数y的间断点.设筌洽下面说法正确的是Iim(I)(X+3)=Ihn.)7(x-3)(x+2)7x+25.x=-2为%数,的第：类(无穷型)间断,1cos-/()-kX=OX=3为函数y的可去间断点;1.(x-3)(x+3),.x+3Iim=Iim-i(x-3)(x+2)x+2例3.函数A.点X=-3,X=2都是可去间斯点：B.点X-2是跳班间断点.点X-3是无穷间阍点：C.点X=2是可去间断点，点X=3是无穷间断点；D.点X=2是可去间断点,点X-3是跳灰间阍点：.下面正确的是.AJimTJ=1；B.Iimxsin-0sD.Iim-HItanxIml在点X=O处连续，求常数k分析

9、与解：由于分段函数/(x)在分段点X=O的左右两边表达式相同，因此/(X)在X=O连续的充要条件是Iim/(x)h(0)=A.jrOXX2I-COS一代俟Iim/(x)=limz=Iim-*-0Kf。i*f。X，四.练习题及弁考答案I.填空.当x0时.(e-l)sin2x与(l+x-l)ln(l+2x)相比,是无穷小：(2) .lim(r三-2x+3答案:l.同阶而不等价的5(2),e-2s(3).-,2.(1).C;(2).B.自我更习.习题二（八）II.(4).24.(1),(4),).27.(1).(4).28.(1),(2).30.37.(1),O).习题二(B)14.第三章导数与微分

10、一.本章重点.导数的概念.导数及微分的计算.二.复习要求1 .掌握函数/(X)在X处可导的定义,并能熟练应用导致的定义式求分段函数在分段点的导致.分数是一个逐点概念，/(X)在X.处的分数的定义式常用的有如下三种形式：/(xt,Ar)-/(X,1)=Iim)一仆)Hh三Iim八.xx-x02 .知道空数的几何意义，会求/(x)花X0处的切线方程。3 .熟记基本求导公式及求导的运算法则,熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的手数：运用堪木求导公式及求导的四则运算法则求导：女合因数求导法：隐函数求导法：取对教求导法.4 .埋解高阶导致的概念，能熟练求函数的二阶导致。5 .理解微分的概念，能

11、应用微分基本公式及运算法则求函数的微分“6 .掌握函数可微,可导及连续的关系.三.例题例I.求下列函数的导数：.=(lx1).求)，/.)，=3反.求.(3.设j=ehm求丁W.S=In(I+/).求)，解:、木遨为抽象函数求导，由复合函数求呼法,得：/-(i+2Ml+2)r=,(1+x2)2x=2x,(l+x2).=2,(1+x2)+2*(1+x2)2x-2,(1+xi)+4x7*(1+x2)本题为都指函数求导，必须川取对敬求引法，原方程两边取对数：Iny=Jixlnx上式两边对X求导,视F为中间变量:=lnx+-i7-y23xX注：本即除此方法外，也可以:v=ent:.v,=h,(-=3l

12、n-v+3x-)23-X.Vy=,.(tanx)*三eujfsec2x.：,dy=ejsec2xdx,6x(1+x)-3x23x23x(2-xj)(i+xiyi-a+x/例2,设/(.v)在X=I处可导.F1./(I)=2.求Hm出2竺2*x-1分析:将/()在X=1处的导数的定义式理解为结构式：尸=Iiin您坦二世0O其中口为Ar=X-I或AC的函数.旦当AtO时,DTO即可.解：/(4-3x)-(l)IimHX-I=Iim川3(XT)A/卬(-3)I-3(x-l)=-3,(l)=-6例3.求曲线x+V-3axy=/在点(O,a)处的切规方程。解：显然，点(0,4)在曲线上.现求切战的斜率，即y(0,a)曲规方.程两边对X求V：3x