2023-2024学年人教A版必修第二册 8-6-3 第二课时 平面与平面垂直的性质 学案.docx

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1、8.6.3第二课时平面与平面垂直的性质新课程标准解读核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空直观想象间中平面与平面的垂直关系2.归纳出平面与平面垂直的性质定理逻辑推理G知识梳理读教材口一基础落实高效学习蛇情境导入一1 .在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，黑板的左右两边也与地面垂直.2 .如图，在长方体A8CD-A%GQ中，平面AIAODl与平面ABCO垂直，直线AIA垂直于其交线AD问题通过上述实例，你能总结出面面垂宜的一条性质吗？/新知初探.知识点平面与平面垂直的性质定理文字语两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么言这条直线与另

2、一个平面,a=/,a1l=a1符号语图形语提醒(1)定理成立的条件有三个：两个平面互相垂直；直线在其中一个平面内；直线与两平面的交线垂直;(2)定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直;(3)已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.侈想一想如果aJ_p,则a内的直线必垂直于。内的无数条直线，正确吗？提示：正确.自做一做1 .若平面a_1.平面,平面0J_平面丫，则()A.7B.aCa与相交但不垂直D.以上都有可能解析：D在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.2 .已知在长方体ABCD-48Gn中

3、，在平面A88A上任取一点作ME1.AB于E,则()A.E平面BCDB.EC平面ABCDC.ME平面ABCDD.以上都有可能解析：A=MG平面ABBA,EA8,即Ee平面A88A,工MEU平面ABBiA,又平面ABBA_1.平面ABCD,平面ABBiAi平面ABCD=ABtMElABiMEl平面ABCD.故选A.3 .平面a_1.平面,a=/,U,_!_/,宜线m_1.a,则宜线机与的位置关系是.解析：因为a_1.p,a=/,U,_!_/,所以_1.a.又?a,所以?.答案：平行.G题型突破析典例O-技法归纳活学活用U-.广题型一垂直关系的相互转化【例1】已知加，表示直线，a,p,y表示平面，

4、给出下列三个命题:若a=n,Ua,_1.m,则_1.。；若a-1.,a=M,=n,则1.；若WIJ_a,ntz_1.，则aJ_p.其中正确的命题为（）A.B.C.D.解析对于，依据线面垂直的判定定理，一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,才能得到该直线与此平面垂直，而只与P内的一条直线，”垂直，不能得到j_p,故不正确；对于，如图所示，在长方体ABCO-ABO中，平面。CCDU平面A8CD,平面A8CQ,与平面OCezy的交线为CZ,与平面ABC。的交线为A6,但C7ZA8,故不正确；对于，由于mJ_a,则在平面内或.若在平面内，由_1.p可得a_1.。；若a,过作平面与a交于直线/,贝J“

5、/,由_1.p得/_1.p,从而a,故正确.答案B通性通法空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下：判当到专线线垂直1线面垂直混同面面垂直口跟踪训练（多选）若m,是两条不同的直线，a,仇是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若TWU,a,则1.aB.若a11=z,=n,mn,则C”C.若n1.,?a,则a_1.pD.若a_1.y,a,则PJ_y解析：CD由线面平行、垂直的有关知识可排除A、B；对于C,因为za,过团作平面Y交a于“，则Wz,由于z_1.p,故”_1.0,又WU%则a_1.0,所以C正确,对于D显然正确，

6、故选C、D.题型二平面与平面垂直的性质及应用【例2】如图所示，四棱锥P-ABCO中，底面ABCQ是NDA8=60。且边长为a的菱形,侧面PAO为正三角形，其所在平面垂直于底面A8。，G为AO边的中点.求证：Bc(1) 8G_1.平面PAD；(2) ADPB.证明(1)由题意知aPAO为正三角形，G是A。的中点，PG_1.AD又平面尸Ao_1.平面A8CQ,平面PAO平面ABCO=A。，尸GU平面尸A0,，尸G_1.平面ABCD,由BGU平面ABCDiPGlBG.又四边形ABCD是菱形且,DAB=60,；AABO是正三角形,：,BG.1.AD.又ADCPG=G,AO,PGU平面总。，,BG1.平

7、面PAD(2)由(1)可知8G_1.AD,PG-1.ADiBGCPG=G,BG,PGU平面P8G,.从。，平面PBG,又PBU平面PBG,：.AD1.PB.通性通法直我垂直两平面交线.1.面面垂直线面垂直f线线垂直.由面面垂直证明线面垂直，一定注意两点：直线必须在其中一个平面内；直线必须垂直两平面交线.2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线.Cf跟踪训练如图，在三棱柱ABC-A山IG中，BC=CG,平面AlBG_1.平面8CG8.证明：平面ABC.平面A/G.证明：在三棱柱ABC-A山IG中，四边形3

8、CG8为平行四边形,因为BC=CG,所以四边形BCGa为菱形，所以BiClBCi,又平面ABC，平面BCG8,且平面AI8GC平面BCG8=BG,囱CU平面BCGb,所以BiCJ_平面ABG,因为BICU平面A5C,所以平面A8iC_1.平面AiBG.题型三空间垂直关系的综合应用【例3】如图，在四棱锥P-ABC。中，ABCD,AB1.ADfCD=IABf平面尸4)，平三ABCD,PA1.ADiE,F分别是C。，尸C的中点求证：(1)PA_1.平面A8C0；(2)BE平面PAD；(3)平面BE凡1.平面PCD证明(1)因为平面PAo_1.平面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线A0,所以尸A_

9、1.平面ABCD.(2)因为A8C。，CD=2AB1E为CO的中点，所以A8OE,且A8=0E,所以四边形ABEO为平行四边形，所以8EAD又BEC平面PA。，AoU平面PA。，所以3E平面PAD(3)由(2)知四边形ABEO为平行四边形，因为A8J_A。，所以四边形ABEO为矩形，所以1.CO,AD1.CD.由(1)知PA_1.平面A3CO,所以PA_1.CD因为PAAO=A,所以CE)J_平面P4。，所以CoJ_PD因为点E,尸分别是CO,尸C的中点，所以PDEF,所以CCE凡又EFCBE=E,所以CO_1.平面BEF.因为CQU平面尸8,所以平面BEZ1.1.平面尸CD通性通法1.熟练掌

10、握垂直关系的转化，线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的相互转化是解题的常规思路.2.垂直关系证明的核心是线面垂直，准确确定要证明的直线是关键，再利用线线垂直证明.Cf跟踪训练如图，平面PA8，平面ABC,平面尸Ae1.平面A5C,A1平面PBC,点E为垂足.（1）求证：PA_1.平面A8C；（2）当点上为APBC的垂心时，求证：AABC是直角三角形.证明：（1）如图，在平面ABC内取一点。，作。尸_1.AC于点EV平面PAC1.平面ABC,且交线为AC,.,.DF平面PAC.,：PAU平面PAC,：,DF1.P.作OG_1.AB于点G,同理可证OG_1.pAVDG,OF都在平面ABC内，且OGn

11、oF=。，.PA1.平面ABC（2）如图，连接8E并延长交PC于点”.点E是APBC的垂心，JPCBE.又AE上平面PBC,PCU平面P5C,：.PClAE.YAEBE=,：.PC1平面ABE.又ABU平面ABE,PCAB.由（1）知PAj_平面A5C,又ABU平面A5C,.PAAB.9：PAQPC=Pf平面PAe又ACU平面PAC,AfilAC,即AABC是直角三角形.因随堂检测C1.下列命题中错误的是（）A.如果平面aJ_平面,那么平面内一定存在直线平行于平面B.如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面C.如果平面aJ_平面,平面平面,a=/,那么/平面YD.如果平面aJ平

12、面,那么平面a内所有直线都垂直于平面P解析：D如果平面a_1.平面,那么平面内垂直于交线的直线都垂直于平面,其他与交线不垂直的直线均不与平面P垂直，故D中命题错误.2 .在四棱柱48CD-AIlGd中，已知平面AAlGCJ平面ABC。，S,AB=BCfAD=CDt则BO与CG（）A.平行B.共面C.垂直D.不垂直解析：C如图所示，在四边形ABCo中，*：AB=BC,AD=CDt,BO1.ACY平面A4iGC_1.平面ABCZ),平面AAIGC平面ABCO=AC,80U平面A8CO,BO1.平面AAIGC又CGU平面AAlGC,eo_1.CG.故选C.3 .如图，在斜三棱柱A8CABG中，n8A

13、C=90。，BG_1.AG则点G在底面A8C上的射影点”必在（）印、A.直线A5上B.直线BC上C.直线AC上D.A46C内部解析：A连接AG（图略）.AC_1.A5,AClBCi,AB8G=B,AC1.平面ABG.又YACU平面A8C,平面ABGJ平面A8C,点C在平面ABC上的射影点“必在平面ABG与平面ABC的交线AB上，故选A.4 .如图，空间四边形ABCO中，平面A3。_1.平面BCD,zBAD=90o,RAB=AD,则AD与平面BCD所成的角是.解析：如图，过A作A。_1_8。于点。，平面A8O_1.平面8CO,，AOJ_平面SCO,则NAO。即为A。与平面BCD所成的角.n5AO

14、=90,AB=AD.:.zADO=45o.答案：45三维徽城的求法方法一定义法求二面角【例1】如图，在三棱锥V-ABC中，VA=AB=VB=AC=BC=2fVC=3,求二面角V-AB-C的大小.解取AB的中点。，连接VD,CD,在AV8中，VA=VB=AB=If忆为等边三角形，V0_1.A8且VD=V3t同理CD_1.A8,CD=3,.nV7)C为二面角V-AB-C的平面角,而ZkVOC是等边三角形，NVOC=60,二面角V-AB-C的大小为60.方法总结利用二面角的定义，在二面角的棱上找点，过点在两个平面内作棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角，解题时应先找平面角，再证明，最后在三角形中求平面角.方法二垂面法求二面角【例2】如图所示，在正方体ABCQ-AI8GU中，E,F,M,N分别是A8,BC,GU和BG的中点.（1）求证：平面MNE1.平面NEB（2）求二面角M-ERN的平面角的正切值.解（1）证明：TM尸均为所在棱的中点，,N口1.平面4SGOl.而M