2023-2024学年人教A版必修第二册 7-2-1 复数的加、减运算及其几何意义 学案.docx

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1、7.2复数的四则运算(1) .1复数的加、减运算及其几何意义新课程标准解读1.通过实例，结合实数的加、减运算法则理解复数代数形式的加、减运算法则核心素养数学抽象2.结合向量的加、减运算明确复数代数形式的加、减运算的几何意义数学运算0-知识梳理读教材基础落实高效学习l-/1-蛇情境导入一我们知道，任意两个实数都可以相加，而且实数中的加法运算还满足交换律与结合律.问题那么复数中的加法满足交换律与结合律吗？新知初探-知识点一复数的加、减法运算1.运算法则：设z=+加，Z2=c+M(,b,c,JR)是任意两个复数，则(1)z+z2=(+c)+(b+d)i；(2) zZ2=(a-c)+(bd)i.2加法

2、运算律：对任意Z1,Z2,Z3C,有(1)Z1+Z2=Z2+Z:(3) (Z1+Z2)+z3=Zi+(z2+z3).知识点二复数加、减法的几何意义如图，设在复平面内复数ZI,Z2对应的向量分别为西，两，以西，西为邻边作平行四边形，则与Z+Z2对应的向量是次，与Zi-Z,对应的向量是在.提醒(1)把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，则复数的加、减法类似于多项式的加、减法，只需“合并同类项”即可；(2)复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.自做一做1.已知复数z+3i-3=3-3i,则Z=()A.0B.6iC.6D.6-6i解析：DVz3i

3、-3=3-3i,z=(33i)一(3i-3)=66i.2 .在复平面内，向量两对应的复数是5-4i,向量两对应的复数是一5+4i,则西+两对应的复数是()A.-10+8iB.10-8iC.0D.10+8i解析：C西+西=(5,-4)+(-5,4)=(0,0),故两+两对应的复数为0.3 .(2i)-(6-2i)+(5+6i)=.解析：(2+i)-(6-2i)+(56i)=(2-6+5)+(126)i=l+9i.答案：l+9i技法归纳活学活用题型突破析典例题型一复数的加、减运算【例1】(1)计算：(82。一(-7+5i)+(33+7i)；(2)设Zl=X+2i,Z2=3yi(x,yR),且z+z

4、2=5-6i,求z1一z2.解(1)(8-2i)-(7+5i)+(33+7i)=8-(-7)+33(-2-5+7)i=I5+33.(2)Vz=x2i,22=3yi,z+z2=5-6i,.*.(3+x)+(2y)i=56i,J3+x=5,(x=2,*1.2-y=-6,ly=8,Z2=(2+2i)(38i)=(23)+2(8)i=-1+IOi.通性通法复数加、减法运算的法则(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部；(2)复数的运算可以类比多项式的运笄(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先;若无括号，

5、可以从左到右依次进行计算.G跟踪训练1 .若(1i)+(2+3i)=+bi(小匕R,i是虚数单位)，则a()A.5B.1C.0D.-3解析：B因为(l-i)+(2+3i)=a+bi,即3+2i=a+力i,所以a=3,b=2,所以ab=1.故选B.(74则Z=()Z-Z=-2i,A.2-iB.2+iC.l-2iD.l2i(7474所以两个等式相加得，2z=4-2i,所以z=2-i.故选A.Z-Z=-2i,题型二复数加、减法几何意义的应用【例2】如图所示，平行四边形OAeC的顶点。，A,。对应的复数分别为O,3+2i,2+4i.求：(1)而对应的复数；(2)石?对应的复数；(3)而对应的复数及IO

6、BI的长度.解(1)因为超=一万5,所以而对应的复数为-3一2i.(2)因为G?=耐一沅，所以35对应的复数为(3+2i)一(-24i)=52i.(3)因为而=函+次，所以而对应的复数为(3+2i)(-2+4i)=l6i.所以I而I=Jl2+62=37.通性通法复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z=+加(a,8R)与以原点为起点，Z(,b)为终点的向量对应；(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变.(Zf跟踪训练1.已知复平面内的向量瓦?，荏对应的复数分别是-2+i,3+2i,则I而I解析：加二万?+荏，J而对应的复数为(-2+i)+(3+2i)=

7、l3i,：.OB=Jl232=10.答案：l2.若z=l+2i,Z2=2+i,复数Z2-z所对应的点在第四象限内，则实数。的取值范围是.解析：Z2z=l+(。-2)i,由题意知。一2V0,即V2.答案：(一，2)题型三复数模的最值问题【例3】(1)已知复数Z满足Iz+iI=IziI,则lzl+2iI的最小值为()A.lB.2C.3D.5(2)复数Z满足Iz+iI=1,且z+5=2,则Z解析（1）设复数Z在复平面内对应的点为Z,因为复数Z满足Iz+iI=IziI,所以由复数的几何意义可知，点Z到点（O,-I）和（0,1）的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为X轴，又Iz+l+2iI表示点Z到点（

8、-1,-2）的距离，所以问题转化为工轴上的动点Z到定点（-1,-2）距离的最小值，所以Iz+l+2iI的最小值为2,故选B.（2）设复数z=+%i（,bR）,则z+5=+力i+。-bi=24=2,解得a=,又z+i=+（匕+1）i=l+（b+l）i,且IziI=1,所以Jm+（j+i）2=i,解得匕=一1,所以z=li.答案（1）B（2）1-i通性通法两个复数差的模的几何意义（1） IZZoI表示复数z,Zo的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式；（2） IzzoI=r表示以ZO对应的点为圆心，,为半径的圆；（3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公

9、式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解.Zftl踪训练设复数z=+bi（小bR）,1IzI2,求Iz+1I的取值范围.解：由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，IzI2表示如图所示的圆环，而Iz+1I表示复数Z的对应点A（mb）与复数ZI=-1的对应点B（-1,0）之间的距离，即圆环内的点到点6的距离d.由图易知当A与8重合时，&m=0;当点A与点C（2,0）重合时，dnm=3,0WIz+1I3.IzlI的取值范围是O,3.随堂检测。1 .复数(-3+i)-(5-i)+(2+5i)的模为()A.-6+7iB.67iC.85D.85解析：C(-3+i)-(5-i)+(2+5

10、i)=-67i,复数一6+7i的模为J(-6)272=85,故选C.2 .若4(z-z)+12=3(z+z)8i,则2=()A.2-iB.2iC.3+iD.3-i解析：A设z=+bi(a,bR),贝Z=-bi,则zG=2i,z+2=2,，原式可化为8万+12=6+8i,F2=6Q，解得F=2，即z=2+.=2故选a.18b=8,Ib=1,3 .已知复数ZI=(a2-2)+(a4)i,z=a-(a2-2)i(aR),且ziZ2为纯虚数,则a.q220,2+-60,解得。=一1.答案：一14 .设平行四边形ABCZ)在复平面内，A为原点，B,。两点对应的复数分别是3+2i和2-4i,则点。对应的复数是.解析：由题意知，何对应的复数为3+2i,而对应的复数为24i,又前=而+而，所以前对应的复数为(3+2i)+(2-4i)=5-2i,所以点C对应的复数是52i.答案：5-2i5 .若复数Z满足Iz-iI=3,则复数Z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为.解析：由条件知Iz-iI=3,所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S=911.答案：911