18.1.2平行四边形的判定及三角形的中位线例题精析及练习.docx

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1、思维导图平行四边形的判定及三角形的中位线例题精析及练习两组对角分别相等一两组对边分别平行平行四边形的判定一一组对边平行且相等一两组对边分别相等J对角线互相平分三角形的中位线二连接三角形两边中点的线段T性质HZ平行于第三边并且等于第三边的一半重难点分析重点分析：I.平行四边形的判定方法大致分为三类：（1）根据边判断；（2）根据角判断；（3）根据对角线判断.具体选择方法如下表：已知条件选择的判定方法边两组对边分别平行定义两组对边分别相等判定定理（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）一组对边平行且相等判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）角两组对角分别相等判定定理（两组对角分别相等的四

2、边形是谢亍四边形）对角线互相平分判定定理（对角线互相平分的四边形是平行四边形）2 .三角形中位线的概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.3 .三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.难点分析：1.在证明一个四边形是平行四边形时，如果已知一组对边平行，可以证明这组对边相等或另一组对边平行；如果已知一组对边相等，可以证明这组对边平行或另一组对边相等.4 .三角形的中位线不同于三角形的中线，应从它们各自的定义加以区别.5 .一个三角形中共有三条中位线，它们可以重新围成一个新的三角形，并且新的三角形的周长是原三角形周长的一半.6 .利用三角形的中位线既可以证明两

3、条直线平行（位置关系），又可以证明线段的相等或倍分关系.例题精析例1顺次连接平面上A,B,C,D四点得到一个四边形，从ABCD；BC=AD;NA=NC;NB=ND四个条件中任取其中两个,可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有（）.A.5种B.4种C3种D.1种思路点拨根据平行四边形的判定定理可得出答案.解题过程当选择时,.ABCD,.NA+ND=18()o,NB+NC=180。.NA=NC,.NB=ND.根据两组对角分别相等的四边形是平行1四边形可判定四边形ABCD为平行四边形.当选择时，同理可证得四边形ABCD为平行四边形.当选择时，直接根据两期寸角分别相等的四边形是平行四

4、边形可判定四边形ABCD为平行四边形.方法归纳本题主要考直平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形.易错误区一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形.例2如图，已知ABC的中线BD,CE相交于点O,F,G分别是BO,CO的中点,求证:EFDG,且EF=DG.思路点拨连接DE,FG,由BD与CE为ABC的中线利用中位线定理得到DE与BC平行，FG与BC平行，且都等于BC

5、的一半，等量代换得到DE与FG平行且相等，进而得到四边形DEFG为平行四边形，利用平行四边形的性质即可得证.解题过程如图.连接DE,FG.VBD.CE是ABC的中线.，D,E分别是AC,AB的中点二DEIlBC,DE=BC.4同理可得FGHBC,FG=BC,:.DEHFG,DE=FG.二四邮乡DEFG是曲亍四翊幺二EFDG,且EF=DG.方法归纳本题考杳三角形的中位线定理以及平行四边形的判定，熟练掌握三角形的中位线定理是解本题的关键.易错误区三角形的中位线定理既可以判断线段之间的位置关系又可以判断线段的数量关系,因此本题可利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理来判定平行四边

6、形，正确选择判定定理很重要.例3如图.已知四边形ABCD为平行四边形、BE_1.AC于点E,DF_1.AC于点F.求证:AE=CF.若M.N分别为边AD.BC上的点且DM=BN,求证：四边形MENF是平行四边形.思路点拨(1)由平行四边形的性质可得AB=CD.ABCD.l4AAS,pilEABEgACDF,从而可得AE=CF.(2)由“SAS”可证AME乌ZCNE从而可得ME=NF,NAEM=NCFN,进而可得MENF,即可证四边形MENF是平行四边形.：.ZBAC=ZDCA.VBEAC,DFAC,ZAEB=ZCFD=90o./.ABECDF(AAS).AE=CF.(2);四边形ABCD是格亍

7、四4O8C,40=BC.:.1.DAC=1.BCA.VDM=BN,，AM=CN.又,AE=CF,/.AMECNF(SAS).ME=NF,ZAEM=ZCFN.：.ZMEF=ZNFE.*.ME/NF.四边形MENF是平行四边形.方法归纳本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是解答本题的关键.易错误区证明四边形是平行四边形可以用一组对边平行且相等证明，但要注意“一组对边平行而另一组对边相等的四例4如图,四边形ABCD为平行四边形,AD=a,BEAC,DE交AC的延长线于点F,交BE于点E.AB边形不一定是平行四边形”，证明过程要注意推理完整，定理要用正确.求

8、证:DF=FE.若AC=2CF.ZADC=60o,ACDC.2a,AG=DF=2a.又由(1)中证明可知BM=IDF,BM=ME=2a=ya.证法一如图6.延长AB交CE于点D.连接DF,则易知ABCBCD均为等腰直角三角形，/.AB=BC=BD,AC=CD.*.B为AD中点.又为AF中点.8M=0F.延长FE.CB交于点G,连接AG,则易知.CEF与CEG均为等腰直角三角形,CE=EF=EG,CF=CG,E为FG中点.又TM为AF中点,.ME=34G.在AACG和ADCF中,.Qcg之鼠名45。,/.ACG5DCF(SAS).DF=AG./.BM=ME.证法二:如图7.延长BM交CF于点D,

9、连接BE,DE.：NBCE=45,NACD=I35.BAC+1.ACF=45+135=180.ABCF.ZBAM=ZDFm.又,.M是AF的中点.*.AM=FM.(BAM=CDFM,在ABM和FDM中,.AM=FM,AMB=MD,.,.ABM5FDM(ASA).,.AB=DF5BM=DM.,.AB=BC=DE在ABCE和ADFE中,.ucd瑟245。,BCEDFE(SAS).BE=DE,ZBEC=ZDEf./.ZBED=ZBEC+ZCED=NDEF+ZCED=ZCEF=90o.BDE是等腰直角三角形.又.BM=DM,：.BM=ME=FD,PBM=ME.方法归纳本题考查了三角形中位线定理、全等三

10、角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点.易错误区本题中有多个等腰直角三角形，还有多对相等的边以及相等的角，因此解法灵活多样，解答本题的关键是通过作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形.同学们要多做此类题培养发散性思维，把多种知识点融会贯通.专项训练拓展训练A组I.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）.A.一组对边平行，另一组对边相等B.一组对边相等，一组邻角相等C一组对边平行，一组邻角相等D.一组对边平行，一组对角相等2 .在四边形ABCD中,对角线ACfBD相交于点O,给出下列四组条件：ABCD,ADBC;AB=CD,AD=BC;Ao=CO,BO=DO;ABCD,AD=BC其中一定能判定这个四边形是平行四边形的翱牛共有（）.A.1组B.2组C.3组D.4组3.如图在ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,点F在BC上,DE是NAEF的平分线,若/C=80。厕NEFB的度数是（）.4.如图在ABC中,M是BC边的中点,AN平分NBACtBN1ANJ于点