【《证明不等式的常用方法探析》15000字（论文）】.docx

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1、证明不等式的常用方法研究摘要在不等式的证明中，从中学课程到大学课程，对学生来说一直都是一个难点，然而学会证明不等式却在中学和大学课程中甚至是基础数学中都占据重要地位，不等式也是数学领域中一个重要的工具之一.虽然专门研究不等式的理论直到17世纪后才开始有的，但是不等式的发展十分迅速，直至现在己经有一个较为完整的体系.关于不等式证明虽然只是其中的一个模块，但无论是在课程中还是在理论研究中都是一个重难点，且不等式的证明无系统方法.因此本文就不等式证明的方法进行总结.本文即介绍了数学归纳法和比较法等一些常用方法，也介绍了用所学的中值定理和函数单调性等性质证明不等式，同时还介绍了一些常用不等式.关键词：

2、不等式；数学归纳法；比较法；中值定理目录第一章绪论21.1 不等式的背景21.2 选题意义31.3 研究内容3第二章不等式证明的基本方法42.1 初等方法42.2 导数法142.3 定积分法证明不等式152.4 利用累级数展开证明不等式16第三章利用函数证明不等式183.1 利用函数性质解不等式183.2 中值定理20第四章一些常用不等式264.1 均值不等式的应用264.2 柯西-施瓦茨不等式274.3 詹森不等式的应用28第四章总结30参考文献31第一章绪论1.1 不等式的背景数学自萌芽之日起，就表现出其能用于解决各种实际问题的能力.因此，数学的发展于社会的进步相互之间有这紧密的联系，这种

3、联系是不可分割，相互影响的.一方面,社会中经济发展状况，政治文明状况等很多涉及到社会方面的因素都深深影响着数学的发展；另一方面，数学的发展是否完善,是否先进也影响着社会的发展与进步叫通常人们只认为数学只是理论知识，最多涉及到物质文明，因为无论是第一次工业革命，或是第二次工业革命，亦或第三次工业革命都是数学理论上的一次重大进步.但数学同样与精神文明有关，比如在画作中常需要构图以及我们生活中所常说的对称美，都与数学有着密切联系.在数学的学习过程中，不等式一定是其中的重点内容，同时还涉及到数学的其它分支，且与其联系紧密.因此有关不等式的问题常常能用多种方法解决，解决不等式的相关问题也经常涉及到数学各

4、个分支的一些基础知识.有关不等式的理论是数学理论中不可或缺的一部分，而且和很多知识都有着十分紧密的关系.特别是在高中时期，不等式问题更是考察学生学习知识点的最佳问题类型，其在解题方法中具有多样性，能够考察学生运用知识的能力并加强学生学以致用的能力.在高中常用函数，基本不等式，求导等知识解决不等式问题的方法.所以本文详细介绍证明不等式的一些常用方法.对于学习高等数学，学习不等式证明是其中一个重要的学习内容.学习数学是为了解决人类生活上遇到的一些问题以提高生活品质，因为它在物理学，天文学，建筑学等很多方面都有着十分重要的作用，是这些与人类生活密切相关的学科学习的基础内容.但是在解决物理学，天文学，

5、建筑学等中一些数学问题时，有时候有些方法并不能快速简单的解决问题，甚至有时有的理论也无法得到验证，所以在数学的学习中常常要求学者多加探索一些新的方法.在大学的主修课程一“数学分析“中，不等式的学习更为重要，既是学习数学分析的重点也是学习数学分析的难点，同时其中所学的很多知识都能用于解决不等式问题.就比如我们所学过的函数的凹凸性，泰勒公式，拉格朗日中值定理，柯西中值定理等，都在解决不等式相关问题的领域占重要地位.1.2 选题意义在学习数学理论的过程中，不等式的证明一直在其中占据重要地位，是数学学习的一个重要内容，这在基础数学和高等数学中都得到很好的反映.众所周知，生活中的不等现象要比相等的现象更

6、加多，但在数学研究领域中，不等式理论真正发展起来却在十七世纪以后，并迅速成为基础数学学习中的一个重要内容.回顾从小学到现在的数学学习历程，有关于证明不等式的问题往往是题型多变、证明方法多种多样且需要很强的技巧.每次在证明不等式之前，通常需要认真分析题目已知信息和所需要证明的不等式的结构特点以及其与所学知识之间的内在联系，最终才能够选择出适当的简明的证明方法.想要学会证明不等式，就要熟悉数学中有关于证法的内在推理思维，并且需要熟练掌握证明的有关技巧，步骤和语言说明以及特点，通过渗透问题的本质特征使得比较难的问题转变为更加简单的问题.证明不等式的方法有很多，却直到17世纪之后不等式才正式发展起来，

7、因为不等式在生活中很常见，比如消费娱乐设计，运输方案设计等，所以不等式的证明在数学和生活中都占据重要地位.也是因此，探究不等式的证明方法也变得十分重要，多加学习不等式的证明方法对于中学生和大学生的数学相关课程学习都是非常重要的.1.3 研究内容本文采用文献方式，总结一些证明不等式的常用方法并给出适当例题来进行学习，本问的主要研究内容如下：(1)证明不等式的常用方法，并分类总结；(2)总结一些常用的不等式，并能够在不等式的证明中得以应用；(3)通过对所总结的不等式的证明方法的理论学习，在例题中得以应用.第二章不等式证明的基本方法2.1初等方法比较法：在平时生活学习中，面对不等的情况，一般最先想到

8、的是比较法，即将不等式的两边作比较，这是证明不等式的一个比较简单的方法.数学中是比较严谨的，数学中比较法有两种：作差法和作商法.但在解决不等式问题时，应根据实际情况选择作差法和作商法.作差法常用于不等式中分式或者是多项式比较多的情况，而当不等式两边若是累，乘，除较多时建议采用作商法.作差法：在初高中数学中，学生们常用作差法去解决问题.作差法的主要步骤：1.不等式的两边进行作差；2.依据不等式的情况对不等式进行化简；3.利用已知的一些公理或题目已知信息判断作差后式子是大于零还是小于零.在对不等式化简时有很多种方法，常用的就是配方法和差分法.例114已知a,b,c为互不相等的实数，证明小+炉+Qb

9、+be+ac.证明：(M+b2+c2)(ab+be+ac)=(2-2ab+b2)2+(b2-2bc+c2)2+(2-2ac+c2)2=(-bp+(b-c)2+(c)22因为/,c为互不相等的实数，所以(ab)2Ot(bc)2O,(-c)20.故而Ka-b)2+(b-c)2+(c)20所以(a2+b2+c2)(ab+be+c)0则可得a2+b2+c2ab+be+ac.作商法：作商法也是常用的证明不等式的方法，作商法的主要步骤:1.不等式的两边进行作商;2.依据不等式的情况对不等式进行化简；3.利用已知的一些公理或题目已知信息判断作差后式子是大于1还是小于1.在对不等式化简时有很多种方法，常用的就

10、是通分法和拆分法.在运用作商法的时候一定要特别注意分母不能为零.例2已知abO,求证：aabbabba.证明:霖=(-b%(b-)=)(。-)因为b0所以Qb0,1D故而令(3)1因此有aabbabba.分析法：分析法，亦称为逆推法，即从题目中所需证的不等式出发，通过分析转换从而找到该不等式成立所需要的条件，这就将证明不等式的问题转化为找不等式成立的条件.用分析法解决问题时，若最终能够从已知中获得不等式成立的条件，则可证得原不等式成立.在运用分析法解决问题时，要从结论出发，一步一步进行推导，使得每一步都是可逆的，最终找到不等式成立所需要的条件.例3网已知,b,cR+,Q+b+c=abc,证明不

11、等式+华+aDc2+l+)2*11-b+cla+c1a+b1.1.12证明:H+k+丁2Q+1+5oo+Ca+ca+bo,oo111o0a2b2c2(-I-I)2a2b2c2(+-+-)2=abc(b+c)bc+(a+c)ac+(a+b)ab2(be+ac+ab)2Q(Q+b+c)(b2c+be2+a2c+ac2+a2b+ab2)2(bc+ac+ab)2(a+b+c)(b2c+be2+a2b+ab2+a2c+ac2)2(a2j2+b2c2+a2c2)+4(Q+b+c)abcbc(bc)2+ab(ajb)2+ac(ac)2+a2(bc)2+b2(ac)2+c2(ab)20通过己知a,b,cER+

12、可得bc(bc)20,Qb(Qb)20,QC(Qc)20,a2(bc)20,b2(ac)20c2(a-b)20.则有bc(bc)2+ab(a.b)2+ac(ac)2+a2(bc)2b2(ac)2+c2(ab)20a+b111,+F+N反证法：在面对一些正面解决不了的问题时，可以从反面去思考，这就是反证法的由来.在数学中用反证法解决问题，首先是要假设所需要证明的命题是不成立的，即假设在原有的条件下，所得到的命题是不成立的，然后通过演绎推理得到与该假设完全矛盾的结果,从而证明这个假设是错误的，进而得到原命题是成立的，这就是反证法的证明思路.反证法能用于解决很多数学中的问题，从而让问题变得简单，在不

13、等式的证明中同样可以应用反证法解决问题.例4已知f(X)=/+八+=证明:(1)1.(2),(3)1中至少有一个大于或等于;.证明:假设f(l),(2),f(3)都小于3VQ+b乙(1)9-2a+b(2)19-3+Z?2那么17-T;由式子(1)(2)可得4a2;由式子(2)(3)两式可得6VQf(3)中至少有一个大于或等变代换法：变量代换法也成为换元法，在使用变量代换方法时，要根据不等式的结构特点选择合适的变量代换方法，从而将不等式化为自己所熟知得不等式，或者是已经证明过得不等式，亦或是简单的不等式，从而证明给出的不等式.下面介绍证明不等式的常用两种变量代换法：三角代换法和代数代换法.三角代

14、换法：三角代换是数学中解题的一种重要办法，尤其是在不等式的证明中，若所观察到的代数不等式可以与某些三角函数联系，或者是观察到题中代数不等式较为复杂无从下手,亦或是证明的过程较为复杂时，可以考虑进行三角代换，将代数不等式转化为三角不等式，从而能够利用三角函数的一些性质和所熟知的三角公式进行解题.但在应用三角代换法时，要求熟知三角函数的性质和三角公式.例5网若Q,b,c0,a+b+c=abc,证明:E（l+吟（1+炉）_7(1+2)(l+2)(1+c2)4ABC证明:通过分析己知条件和不等式的结构，可做三角代换:a=cot-fb=cot-,c=cot,A+B+C=r.乙乙乙利用已知的两个恒等式:.oOA.B.B.A+BB+CA+C1+coIx=cscX,sin-+sin-+sin-4snsinsmF1.222222则可将所需证明的不等式化简为:ABBCACABCCSCCSC+CSCCSC+CSCCSC4+CSCCSCCSC222222222ABBA+BB+CA+Csin+sin+sin4sin-sin-sinF1222222A+BB+CA+CABBsin-sin-sin-sinsinsin-222222由AM-GM不等式得:A+BABABAABB