08三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型（教师版）.docx

《08三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型（教师版）.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《08三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型（教师版）.docx（34页珍藏版）》请在优知文库上搜索。

1、专题08三角形中的重要模型平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）模型1、平分平行（射影）构等腰1）角平分线加平行线必出等腰三角形.模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题.平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，

2、在以后还会遇到很多类似总结）。平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。条件：如图1,Oo平分NMOM过Oo的一点尸作PQZOM结论：AOPQ是等腰三角形。条件：如图2, AABC中，BD是NABC的角平分线，DE BCC结论：ABZ）E是等腰三角形。条件：如图3,在AABC中，8。平分/ABC, C。平分/AC8,过点O作BC的平行线与AB , AC分别相 交于点M, N.结论： BOM. CON都是等腰三角形。2）角平分线加射影模型必出等腰三角形.例1.（2023河南濮阳统考二模）如图，直线44,点。、A分别在4、4上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交4C、4于点。、E;分别以。、E为圆心

3、，大于goE长为半径画弧，两弧交于点尸；作射线A尸交4于点8.若N8C4=130。，则Nl的度数为（）C. 30D. 50r答案】B【分析】根据作图可知AA是/CAE的角平分线，进而根据平行线的性质即可求解.【详解】解：F卜“NfiCA+NCAE=180YNBcA=I30。，NCAE=50。根据作图可知AA是NCAE的角平分线，Zl=-ZCAB=25,故选：B.2【点睛】本题考查了作角平分线，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键.例2.（2023.湖南长沙八年级期中）如图，点O为MBC的MBC和0AC8的平分线的交点，ODAB交BC于点O,OE/AC交BC于点E.若48=5cm,BC=I

4、Ocm,AC=9cm,则00。E的周长为（）A.10cmB.9cmC.8cmD.5cm【答案】A【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质，把AOOE三条边转移到同条线段8。上，即可解答.【详解】解：如图：团。、08分别是0C80A8C的角平分线，005=06,01=02,ODAB,OEMC,(三4=06,01=03.004=05,02=03,即OD=BDfOE=CE.物。DE的周长=OQ+OE+OE=BD+fE+CE=5C=IOC切.故选：A.【点睹】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，关键是证明团Boa团。EC都是等腰三角形.例3.（2023广东八年级期末）如图，48CO中

5、，AB=3cmtBC=5cm,BE平分NABC交4。于七点，CF平分/BCD交A。于F点，则EF的长为cm.【答案】1【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB,DF=DC,进而推出EF=AE+DF-AD.【详解】Y四边形A8CO是平行四边形，AEB=EBC,AD=BC=5cm,.8E平分NA8C,；./ABE=NEBC,则NAB石=AE8,.,.AB=AE=3cmf同理可证：DF=DC=AB=3cm,则EF=AE+Z7）AD=3+35=lcw.故答案为：1.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边.例4.

6、（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在AABC中，Z4C=90o,ADl.BC于点D,NABC的平分线BE交A。于尸，交AC于E若AE=3,DF=fI,则AD=.【答案】5【详解】由角度分析易知NAEF=NA/E,即AE=A尸，VAE=3AF=3VDF=2AD=AF+DF=5【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型.例5.（2023.山东八年级期末）如图，ABC,AB=ACfNB、NC的平分线交于。点，过O点作E尸BC交AB、AC于反尸.图中有几个等腰三角形?猜想:即与BE、CF之间有怎样的关系.如图,若ABAC,其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它

7、们.在第问中EF与BE、。产间的关系还存在吗?(3)如图，若AABC中NB的平分线Bo与三角形外角平分线CO交于0,过。点作OEBC交AB于E,交AC于E这时图中还有等腰三角形吗?E尸与8石、CT关系又如何?说明你的理由.【答案】（1）AEF.OEB.OFC.OBC.48C共5个，EF=BE+FC;（2）有，EOB.FOCf存在；（3）有，EF=BE-FC.【分析】（1）由AB=AC可得N48C=NAC8;又已知08、OC分别平分NAB。、ZACfi:故zebo=zobc=zfco=zocb:根据E尸bc,可得：oeb=obc=ebo,/foc=/fco=/bco；由此可得出的等腰三角形有：A

8、AEF、OEB.OFC.OBC.AfiC:已知了08和FOC是等腰三角形，则EO=BE,OF=FC,MEF=BE+FC.（2）由（1）的证明过程可知：在证aOE8AOFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系,故这两个等腰三角形还成立.所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立.（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BbFC【详解】解：（1）图中是等腰三角形的有：AAEEOEB.OFC.OBC.ABC;EF.BE、Fe的关系是EF=BE+FC.理由如下：9：AB=AC,ZACb=ZABC,A48C是等腰三角形；* ：BO.CO分别平分NABC和NAeB,NABo=NoBC=；ZABCtZOCB=ZACO=/ACB,* ：EF/BCf：,/EOB=/OBC,ZFOC=ZOCB,：,/ABO=/OBC=/EOB=/OCB=/FOC=/FCO,* FOB、OBC.ZiFOC都是等腰三角形，* ：EFBC,ZAEf=ZABC,NAFE=NAC8,ZAEF=ZAFE,Z4E尸是等腰三角形，VOB.OC平分NABC、NACB,ABO=ZOBC,NACO=NOCB;BC2+AB2=47737=5,.生