最值系列之瓜豆、胡不归、阿氏圆、费马点.docx

《最值系列之瓜豆、胡不归、阿氏圆、费马点.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最值系列之瓜豆、胡不归、阿氏圆、费马点.docx（16页珍藏版）》请在优知文库上搜索。

1、最值系列之瓜豆原理在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一一求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值.本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P,但最终问题问的可以是另一点。，当然P、Q之间存在某种联系，从尸点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路.一、轨迹之圆篇引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.考虑：当点尸在圆。上运动时，Q点轨迹是？【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？考虑到。点始终为4。中点，连接AO,取4。中点用，则M点即为。点轨迹圆圆心，半径“。是OP一半，任意时刻

2、，均有AAMQSAAOP,QM:Po=AQ:AP=I:2.【小结】确定。点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、。、P始终共线可得：A、M、。三点共线,由。为AP中点可得：AM=2A0.Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放.根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系;根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系.引例2：如图，户是圆O上一个动点，A为定点，连接AP,作4Q_LAP且AQ=AP.考虑：当点P在圆O上运动时，。点轨迹是？【分析】。点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点4逆时针旋转90。得AQ,故。点轨迹与P点轨迹都是圆.接下来确定圆心与半径.考虑AP_LAQ,可得Q点轨迹圆圆心M满足AM_

3、LAO：考虑AP=AQ,可得。点轨迹圆圆心M满足AM=AO,且可得半径MQ=PO.即可确定圆M位置，任意时刻均有APO0ZAQM.引例3：如图，ZiAPQ是直角三角形，Z=90oftAP=2AQt当P在圆。运动时，。点轨迹是？【分析】考虑APJ_4。，可得。点轨迹圆圆心”满足AMJM0；考虑APAQ=2.1,可得。点轨迹圆圆心M满足A0AM=2.1.即可确定圆M位置，任意时刻均有AAPOsziAQM,且相似比为2.【模型总结】为了便于区分动点P、。，可称点尸为“主动点”，点。为“从动点此类问题的必要条件：两个定量主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（N%Q是定值）；主动点、从动点到定点的距离之

4、比是定量（AP:AQ是定值）.【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角:NMQ=NOAM;（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=A0:AM,也等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆，。与P的关系相当于旋转+伸缩.古人云:种瓜得瓜,种豆得豆.种”圆得圆,“种”线得线，谓之“瓜豆原理”.【思考I】：如图，户是圆。上一个动点，A为定点，连接AP,以AP为一边作等边月PQ.考虑：当点P在圆O上运动时，。点轨迹是？【分析】。点满足(1)ZM=60o;(2)AP=AQ,故。点轨迹是个圆：考虑NB4Q=6O。，可得Q点轨迹圆圆心M满足NM

5、Ao=60。；考虑AP=AQ,可得。点轨迹圆圆心M满足AM=A0,且可得半径Mg=PO.即可确定圆M位置，任意时刻均有AAP0gZ4QM.【小结】可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系.【思考2如图，P是圆。上一个动点，4为定点，连接AP,以AP为斜边作等腰直角AAPQ.考虑：当点P在圆。上运动时，如何作出。点轨迹？【分析】0点满足(1)Z=450;(2)AP-.AQ=42:1,故。点轨迹是个圆.连接A。，构造NO4W=45。且A0:/W=7：1.M点即为。点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有A4。PS2amq.即可确定点。的轨迹圆.练

6、习：1 .如图，点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是圆P上的动点，点C是M3的中点，则AC的最小值是.2 .如图，在等腰RsA8C中，AC=BC=2近,点P在以斜边A8为直径的半圆上，M为PC的中点，当半圆从点A运动至点8时，点M运动的路径长为.3 .如图，正方形ABC。中，B=25,。是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=L连接。将线段QE绕点。逆时针旋转90。得。尸，连接AACF.求线段O/长的最小值.4ZABC中，AB=4,AC=2,以BC为边在AABC外作正方形8COE,BD、CE交于点O,则线段AO的最大值为.二、轨迹之线段篇引例：如图，P是

7、直线BC上一动点，连接AP,取AP中点。，当点P在BC上运动时，。点轨迹是？【分析】当P点轨迹是直线时，。点轨迹也是一条直线.可以这样理解：分别过A、。向BC作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为AP=2AQ,所以QN始终为AM的一半，即。点到BC的距禽是定值，故Q点轨迹是一条直线.【引例】如图，AAPQ是等腰直角三角形，N%=90。且AP=AQ,当点尸在直线BC上运动时，求0点轨迹？【分析】当AQ与AQ夹角固定口AP:AQ为定值的话，P、。轨迹是同一种图形.当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得。点轨迹线段.【模型总结】必

8、要条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（NB4Q是定值）；主动点、从动点到定点的距离之比是定量（4P:AQ是定值）.结论：P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于N以。（当NRle90。时，/PAQ等于MN与8。夹角）P、。两点轨迹长度之比等于”:A。（由“BCsAAMM可得AP:AQ=8CMN）练习：1 .如图，在等边AA8C中，Afi=IO,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿4方向运动，连结PD,以PO为边，在P。的右侧按如图所示的方式作等边AQPE当点P从点七运动到点A时，点尸运动的路径长是.Et2 .如图，己知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，AeIX轴于点M,交直线产-X于点M若

9、点P是线段ON上的一个动点，ZPfi=30o,BALPA,则点P在线段ON上运动时，A点不变，8点随之运动.求当点P从点。运动到点N时，点B运动的路径长是.AyAy轴上运动时，求BP,y轴氏等轴上一动点，点C、D3 .如图，在平面直角坐标系中，A(-3,0),点B是在X正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边OP的最小值.4 .如图，正方形ABCo的边长为4,七为BC上一点，且BE=1,尸为AB边上的一个动点,连接E尸，以所为边向右侧作等边AEPG,连接CG,则CG的最小值为.BE三、轨迹之其他图形篇所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成的夹角以及

10、主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是.1 .如图，在反比例函数y=-2的图像上有一个动点A,连接Ao并延长交图像的另X一支于点3,在第一象限内有一点G满足AC=8C,当点A运动时，点C始终在函数y=&的图像上运动，若以NCAB=2,则k的值为X2 .如图，A(-1,1),B(-1,4),C(-5,4),点P是AABC边上一动点，连接0P,以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角AOPQ,当点P在AABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为.3 .如图所示，B=4,AC=2,以8C为底边向上构造等腰直角三角形88,连接AQ并延长至点

11、P,使Ao=P。，则PB的取值范围为.最值系列之“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如办+PA最值，除此之外我们还可能会遇上形如“阳+&P8”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆.本文简单介绍“胡不归”模型.【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”（胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC先走一段，

12、再走砂石地，会不会更早些到家？砂石地驿道【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为VI,在直线MN上运动的速度为V2,且VV2fA、B为定点、，点、C在直线MN上,确定点C的位置使这+变的值最小.练习:1.如图，ABC,AB=AC=IO,tan=2,BELAC于点E。是线段BE上的一个动点，则CZ)+的最小值是.1题图2题图2 .如图，平行四边形ABCD中，NnAB=60。，AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于.23 .如图，已知抛物线y=V(x+2)(x-4)(我为常数，且上0)与X轴从左至右依次交于A,B8两点，与y轴交于点C,经过点B的直线），=-乎

13、1+。与抛物线的另一交点为。.（1）若点。的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设尸为线段Bz）上一点（不含端点）,连接AE一动点M从点A出发，沿线段4万以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到。后停止，当点尸的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？4 .抛物线y=-器f-手x+而与X轴交于点A,8（点4在点8的左边），与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点，轴于点凡P/与线段Ae交于点将线段08沿1轴左右平移，线段08的对应线段是0181,当PE+EC的值最大时，求四边形2POlBlC周长的最小值，并求出对应的点01的坐标.（

14、为突出问题，删去了两个小问）最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题.所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆.练习:1 .如图，在RtAABC中，ZC=90o,AC=4,BC=3,以点C为圆心，2为半径作圆C,分别交AC、BC于D、E两点,点P是圆C上一个动点,则-PA+PB的最小值为.22 .如图，在RSABC中，ZC=90o,AC=4,BC=3,以点C为圆心，2为半径作圆C,分别交ACsBC于

15、D、E两点,点P是圆C上一个动点，则PA+2/3PB的最小值为.3 .如图，在ABC中，ZACB=90o,BC=12,AC=9,以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D连接AD、BD、CD,则2AD+3BD的最小值是.4 .如图，已知正方ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的个动点，则PO-PC2的最大值为.5 .如图，在RTZXABC中，ZABC=90o,BO4,AB=6,在线段AB上有一点M,且BM=2,在线段AC上有一动点N,连接MN,BN,将aBMN沿BN翻折得到ABMlN,连接AMI,CMl,则2CM1+2/3AM1的最小值为最值系列之费马点皮耶德费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”