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1、椭圆知识点知识点一:椭圆的定义平面内一个动点P到两个定点K、尸2的距离之和等于常数(IPE+P6|=2内尸2|),这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意:假设+p用=f1f2),那么动点尸的轨迹为线段再B;假设(|尸月+pf2bO),ab其中,二/一/v2尤22 .当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程:+-=l(aZO),其中c?=Y/;注意:ab1,只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程;2,在椭圆的两种标准方程中,都有(b0)和。2=云一从;3 .椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在X轴上时,椭圆的焦点坐标为(c,0
2、),(-c,0);当焦点在),轴上时,椭圆的焦点坐标为(0,c),(0,-。)知识点三:椭圆的简单几何性质2y2椭圆:r+2=l(b0)的简单几何性侦Crb2(1)对称性,对于槽圆标准方程+=1(。方0):说明:y“l把X换成-X、或把y换成一尸、或把工、y同时换成一X、y、原方程都不变,所以椭圆W+4=l是以R轴、y轴为对称轴i4lfA0IcAz442B的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。(2)范围:椭圆上所有的点都位于直线=。和y=b所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足kd,Iy区。(3)顶点:椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。22椭圆=
3、+二=l(bO)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别为A(-0,O),abA2(,0),B1(0-/?),与(,份线段AA2,用当分别叫做椭圆的长轴和短轴,IA1A21=2,IB1B2=2bo和人分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。(4)离心率:椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用e表示,记作e=g=。laa因为(4c0),所以e的取值范围是(0evl)。e越接近1,那么。就越接近。,从而I=Ja2-c2越小,因此椭圆越扁;反之,e越接近于0,C就越接近0,从而b越接近于,这时椭圆就越接近于圆。当且仅当=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形变为圆,方程为/+y2=q注意:椭圆+
4、/=1的图像中线段的几何特征(如下列图):(IPK+PF2|二2);4=H三5(|尸M+PM=4);IPMlpm2I1121C(忸耳=bf2=a);(IOE=of2I=C);IA1BI=IA2BI=Ja*+/;(3) 1F1 = A2F I = tz-c; AiF2 I = A2 =q + c; a-cPF a + c性质焦点F1(-c,0),F2(ct0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距I即=2cIGK=2c范围|XIWmlyKbxb,ya对称性关于X轴、y轴和原点对称顶点(a,0),(0,)(0,),(0)轴长长轴长=2。,短轴长=2)离心率e=-Oe力0)的相同点:形状、大小都相同;
5、参数间的关系都有a-b-Crb-(。力0)和e=E(Ocecl),a2=b2+c2i不同点:两种椭圆的位置不同;它们的焦点坐标也不a相同。规律方法:1 .如何确定椭圆的标准方程?任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准方程形式。此时,椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件:两个定形条件凡。;一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2 .椭圆标准方程中的三个量4力,C的几何意义椭圆标准方程中,Ac三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长,
6、均为正数,且三个量的大小关系为:(4b0),(c0),且面=从+62)。可借助右图理解记忆:显然:c恰构成一个直角三角形的三条边,其中a是斜边,b、C为两条直角边。3 .如何由椭圆标准方程判断焦点位置/S(椭圆的焦点总在长轴上,因此标准方程,判断焦点位置的方法是:一(看Aj,y2的分母的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上。4 .方程A+8),2=C(A8,C均不为零)是表示椭圆的条件方程A+B),2=C可化为4工+丝二=1,即+竺=1,所以只有A、B、C同号,且AWBCCCC7BCCCC时,方程表示椭圆。当一时,椭圆的焦点在X轴上;当上时,椭圆的焦点在y轴上。ABAB5 .求椭圆标准方程的
7、常用方法:待定系数法:由条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程中的参数,b,c的值。其主要步骤是“先定型,再定量”;定义法:由条件判断出动点的轨迹是什么图形,然后再根据定义确定方程。6 .判断曲线关于X轴、y轴、原点对称的依据:假设把曲线方程中的X换成-x,方程不变,那么曲线关于y轴对称;假设把曲线方程中的y换成-门方程不变,那么曲线关于X轴对称;假设把曲线方程中的x、y同时换成-1、-y,方程不变,那么曲线关于原点对称。椭圆练习题一、选择题:(本大题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中有只有一项为哪一项符合题目要求的.)1 .椭圆2/+3
8、/=6的焦距是()A.2B.2(3-2)C.25D.2(3+2)2 .产I、尸2是定点,IQBl=6,动点M满足IMQl+MBI=6,那么点的轨迹是()A.椭圆B.直线C.线段D.圆3 .假设椭圆的两焦点为(-2,0)和(2,0),且椭圆过点自一当,那么椭圆方程是()22a.21+i=ib.Z+i=1c.i+l=d.i+Z=184106481064 .方程/+伫/=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么k的取值范围是()A.(0,+)B.(0,2)C.(1,+8)D.(0,1)5 .过椭圆4+2y2=1的一个焦点E的直线与椭圆交于a、B两点,那么A、B与椭圆的另一焦点工构成MBF2,那么ABF2的周长
9、是()A.22B.2C.2D.16 .椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为,长轴长为12,那么椭圆方程为()3222222Xy1XyXya.+-=1或1=1B.F=114412812814464C.r2v2X2V21 1 或1 1363232 36D.2222X y ITX y .1 1 或1= 17 . k4,那么曲线二+ 二 1和+二一二1有 949-k 4-kA.相同的短轴 B.相同的焦点 C.y2 v28 .椭圆一+ ?一 = 1的焦点产 居,P为椭圆上的一点,259一相同的离心率 D.相同的长轴PFl PF2,那么 F1PF2的面积为(A. 9B. 12C. 10D. 89 .椭圆4/+9
10、V=144内有一点P2)过点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在直线的方程为A. 3x + 2y 12 = 0B. 2x + 3y 12 = 0C.4x+9y-144=0D.9x+4y-144=010 .椭圆二+=1上的点到直线x+2y-&=0的最大距离是()164A.3B.HC.22D.10二、填空题:(本大题共4小题,每题4分,共16分,把答案填在题中横线上.)X2V2111 .椭圆1=1的离心率为一,那么ZW=.4tn2212 .设P是椭圆后+V=上的一点,耳,鸟是椭圆的两个焦点,那么IMIIPgl的最大值为;最小值为.13 .直线y=x:被椭圆/+4),2=4截得的弦长为.14 .圆。:
11、(3+1)2+、2=25及点41,0),。为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,那么点M的轨迹方程为.三、解答题:1本大题共6小题,共74分,解容许写出文字说明.证明过程或演算步骤.)15 .三角形ABC的两顶点为(-2,0),(2,0),它的周长为10,求顶点A轨迹方程16 .椭圆的一个顶点为A(2,0),其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.17 .点尸到定点尸(2,0)的距离和它到定直线48的距离的比为1:2,求点P的轨迹方程,并指出轨迹是什么图形.18 .中心在原点,一焦点为尸I(0,52)的椭圆被直线),=3工一2截得的弦的中点横坐标是g,求此椭圆的方程.19 .椭圆的中心在坐
12、标原点O,焦点在坐标轴上,直线产+l与椭圆交于P和Q,且O尸J_。,IPQl=粤,求椭圆方程.20 .椭圆t+E=(匕0)与直线x+y=l交于尸、。两点,且OP_LOQ,其中。为坐标原a1b2点.(1)求士+上的值;ab(2)假设椭圆的离心率e满足且WeWy2,求椭圆长轴的取值范围.32椭圆练习题参考答案题号12345678910答案ACDDACBBBD11、3或12、4,113、马网14、七352521X2V215、一+=1(x3)9516、解:(1)当A(2,0)为长轴端点时,a=2ibf椭圆的标准方程为:41;(2)当4(20)为短轴端点时,=2,a4,X211椭圆的标准方程为:416;
13、17.解:设P(x,y),根据题意,IPFZ(X-TV,d=x-8,因为1,所以=1.化简,得32+4y2=48,整理,得器+1=1,所以,点P的轨迹是椭圆。2218.解:解法一:根据题意,设椭圆的方程为$+盘二1,设交点坐标分别为A(xv),B(x2,y2)将椭圆方程与直线y=3x2联立,消去y,得:口*+福口,化简,整理,得:(10a2-450)x2+(600-l2a2)x+(-a4+54a2-200)=0,所以,Xi,X2为这个方程的两根,因为相交线段中点横坐标为9,所以x+x2=-黑需=】解得,a2=75.ZOlAJ-1LA于是,因为c=55,所以,b2=25,所以椭圆的方程为条+=1.解法二:设椭圆:4+4=(abO),那么a2b2=50a2h2又设A(X1,y),B(X2,y2),弦AB中点(xo,yo)*/Xo=-,.*.yo=-2=-222解,得:a2=75,b2=25,椭圆为:。普19.ft设椭圆方程为lv2+)2=i(m0,0),P(Xj),Q(2j2)由,)22得O+“*+2nx+-1=0,mx+ny=14=4/4(?+)(一l)