2023-2024学年人教A版选择性必修第三册 7-3-1离散型随机变量的均值 学案.docx

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1、7. 3.1离散型随机变量的均值素养目标定方向YZZ学习目标1 .通过具体实例,理解离散型随机变量的均值,能计算简单离散型随机变量的均值.2 .理解离散型随机变量的均值的性质.3 .会利用离散型随机变量的均值解决一些相关问题.核心素养1 .通过离散型随机变量的均值的学习,培养数学抽象素养.2 .应用随机变量的均值解题,提升数学运算素养.必街知识探新知知识点1离散型随机变量的均值(1)定义:一般地,如果离散型随机变量1的分布列如表所示:XXX2XnP6PiPn则称(心=M+*必+jw=Smr为随机变量才的均值或数学期望(简称为期/-1望).(2)意义:均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均

2、数,反映了随机变量取值的.平均水平.(3)性质:如果X和V都是随机变量,且y=aX+aO),则E(D=EQx+5)=+b_.想一想:离散型随机变量的均值和样本的平均数相同吗?提示:不相同.离散型随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽取,而样本平均数是一个随机变量,它随样本的不同而变化.练一练:1 .若随机变量X的分布列为X-101P121613则(乃=(C).OB.-1C.D.b解析=(-1)+01=ZoJo2 .设0)=10,则(31+5)=35.解析(3才+5)=3E0)+5=310+5=35.知识点2两点分布的数学期望如果随机变量4服从两点分布,那么Ea)=P.练一练:某彩票3D游

3、戏(以下简称3D),是以一个3位自然数(如:0记作000)为投注号码的彩票.投注者从000999这些3位自然数中选择一个进行投注,每注2元,如果与官方公布的三位数相同,则视为中奖,获得奖金1000元,反之则获得奖金0元.某人随机投了一注,他获得奖金的期望是元.1999解析由题意,此人中奖的概率为丁丽,不中奖的概率为(款,1gag所以此人随机投注一次,他获得奖金的期望为:Io0XT丽+ox;加=1(元)关健能力攻重难题I型I探究题型一离散型随机变量的均值公式及性质典例1已知随机变量X的分布列如下:X-2-1012P14135m120(D求勿的值;求0);若勺21一3,求6(D.解析(1);+:+

4、:+疗占=1,解得/=:.4oZUO(2)(力=2-l+0+l+2r=一会.43562030若K=2J-3,E(Y)=2E(X)-3=-2-3=-oU10规律方法若给出的随机变量y与才的关系为J=aX+b(其中方为常数),一般思路是先求出以力,再利用公式fGa+Q=aE0)+。求双D.lt对点训练(1)设随机变量力的分布列如下表,且Ea)=L6,则。一6=(C)0123P0.1ab0.1A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4(2)已知随机变量X的分布列如表:X-101P1315m若f=a+3,且(9=5,则a的值为15.解析(1)由题意得a+6+0.1+0.1=1,即a+8=0.8.又0

5、X0.l+a+26+3X0.1=1.6,.a+2QL3.一,得6=0.5,.*.a=0.3,a-Z?=0.30.5=-0.2.117117(2)由随机变量分布列的性质,得W+w+m=l,解得力=(%=(DX+OXe+IX/35Io3OIo_2_=T?2因为E(f)=(aX+3)=aE(X)3=-a3=5,所以a=15.Io题型二求离散型随机变量的均值典例2某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,只要某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0

6、.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值.解析1的取值分别为1,2,3,4./=1,表明李明第一次参加驾照考试就通过了,故尸(X=I)=0.6.才=2,表明李明第一次考试未通过,第二次通过了,故P(I=2)=(10.6)X0.7=0.28.才=3,表明李明第一、二次考试未通过,第三次通过了,故PCr=3)=(1-0.6)X(1-0.7)X0.8=0.096.=4,表明李明第一、二、三次考试都未通过,故P(X=A)=(1-0.6)X(1-0.7)(1-0.8)=0.024.所以李明一年内参加考试次数X的分布列为X1234P0.60.280.0960.024所以一的均值为EQ)=l

7、0.620.28+3X0.096+4X0.024=1.544.规律方法关于离散型随机变量的均值(1)如果随机变量服从两点分布,则直接利用两点分布的均值公式计算.(2) 一般地,先求出随机变量的分布列,再通过分布列计算随机变量的均值.1对点训练在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球,其中有1个红球和4个黄球,规定每次从袋中任意摸出一球,若摸出的是黄球则不再放回,直到摸出红球为止,求摸球次数f的均值.解析由题意得,f可能的取值为1,2,3,4,5,则P(J=I)=(,D4114311P(=2)=-=-tP(=3)=-=-,545543543211a=4)=-=-,x43211M=5)=-x-x

8、-x-xi=?故的分布列为12345P5155155由离散型随机变量的均值的定义知(C=Jx(l+2+34+5)=3.题型三均值的实际应用典例3(全国I卷)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图(如图):以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台

9、机器的同时购买的易损零件数.(1)求才的分布列;(2)若要求PCrW)20.5,确定的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在=19与=20之中选其一,应选用哪个?解析由柱状图并以频率代替概率可得,1台机器在三年内需更换的易损零件数可能为8,9,10,11,相应的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而*的所有可能取值为16,17,18,19,20,21,22.?(=16)=0.2X0.2=0.04;/(=17)=2义0.2X0.4=0.16;AAr=18)=20.20.2+0.4X0.4=0.24;P(I=I9)=20.20.2+2X0.4X0.2=0.24;PCr=

10、20)=2X0.2X0.4+0.2X0.2=0.2;PCr=21)=2X0.2X0.2=0.08;户(=22)=0.2X0.2=0.04.所以彳的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由知Pa=0.44,PcrWl9)=0.68,故的最小值为19.(3)记V表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当=19时,(D=19X200X0.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4040.当=20时,MD=20200XO.88(20200500)0.08+(2020

11、0+2500)0.04=4080.可知当/2=19时所需费用的期望值小于当/7=20时所需费用的期望值,故应选/2=19.规律方法实际问题中的均值问题均值在实际生活中有着广泛的应用,如对体育比赛的成绩预测、消费预测、工程方案的预测、产品合格率的预测、投资收益的预测等方面,都可以通过随机变量的均值来进行估计.IIlQ对点训练根据天气预报,某地区近期有小洪水的概率为0.25,有大洪水的概率为0.0L该地区某工地上有一台大型设备,遇到大洪水时要损失60000元,遇到小洪水时要损失100OO元.为保护设备,有以下3种方案:方案1运走设备,搬运费为3800元;方案2建保护围墙,建设费为2000元,但围墙

12、只能防小洪水;方案3不采取措施.如果你是工地的领导,那么该如何决策呢?解析设方案1、方案2、方案3的总损失分别为力,居兄采用方案L无论有无洪水,都损失3800元.因此,=3800.采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2000+60000=62000元;没有大洪水时,总损失为2000元.62000,有大洪水,因此2000,无大洪水.60000,有大洪水,采用方案3,有=10000,有小洪水,.0,无洪水.于是,(用)=3800,=62000X0.01+2000X0.99=2600,(%)=60000X0.0110000X0.25+0X0.74=3100.因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.易

13、I错1警示易错易混问题一一求分布列或均值时,随机变量的取值模糊致错典例4浙江卫视的中国好声音(TheVoiceofChina)节目是大型励志专业音乐评论节目.每期节目有四位导师参加,导师背对歌手,若参赛选手演唱完之前有导师为其转身,则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期中国好声音中,6位选手演唱完后,四位导师为其转身的情况如下表所示:导师转身人数4321获得相应导师转身的选手人数1221现从这6位选手中随机抽取两人考察他们演唱完后导币的转身爷况.(1)求选出的2位选手中,为其转身的导师人数和为4的概率;(2)记选出的2位选手中,为其转身的导师人数之和为求X的分布列及数学期望0).错解(D设6位选手中,才有4位导师为其转身,B,C有3位导师为其转身,D,E有2位导师为其转身,只有1位导师为其转身.从6人中随机抽取两人有C=I5(种)情况,其中选出的2位选手中,为其转身的导师人数和为4的有C+CC=3(种),故所求概率为=10D(2)X的所有可能取值为4,5,6,7.P(X=4) =|; P(K5)=15 = 3;Per= 6)=cl+d-ci-=3_115 = 5;P(X=I) =函_ 2 =l?所以才的分布列如下:4567P15352T1

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