新-第5讲(学生版)-勾股定理经典例题.docx

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1、第5讲勾股定理经典题1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理，2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题k面积问题2、求长度问题勾股定理的应用3、最短距离问题4、航海问题5、网格问题6、图形问题类型一：勾股定理的直接用法1、在RtABC中,ZC=90o(l)a=6,c=10,求b,(2)a=40,b=9,求c；(3)c=25,b=15,求a.思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。举一反三【变式】：如图NB=NAC。=90,AD=13,CD=12,8C=3,那

2、么AB的长是多少？类型二：勾股定理的构造应用如图，：在一；中，4=60。，J1C三7O,AB30.求：BC的长.求证:举一反三【变式1如图，：ZC=90o,AM=CM,MPl触于PBP，=M2+BCL【变式2】：如图，ZB=ZD=90o,ZA=60o,ABM,CD=2。求：四边形ABCD的面积。类型三：勾股定理的实际应用(一)用勾股定理求两点之间的距离问题3、如下图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60。方向走了H到达B点，然后再沿北偏西300方向走了50Om到达目的地C点。(1)求A、C两点之间的距离。(2)确定目的地C在营地A的什么方向。【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高

3、2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现方案在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线局部.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.思路点拨：解答此题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比拟，得出结论.【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求

4、出爬行的最短路程.解:类型四：利用勾股定理作长为赤的线段5、作长为名、也、石的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于及,直角边为正和1的直角三角形斜边长就是下，类似地可作小。作法:【变式】在数轴上表示而的点。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出以下原命题的逆命题并判断是否正确(1) .原命题：猫有四只脚正确)(2) .原命题：对顶角相等(正确)(3) .原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.(正确)(4) .原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等正确)7、如果AABC的三边分别为a、b、c,a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判

5、断AABC的形状。【变式1】四边形ABCD中，ZB=90o,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积【变式2ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断aABC是否为直角三角形.【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点，F为AB上一点，且BF=KaB请问FE与DE是否垂直?请说明。经典例题精类型一：勾股定理及其逆定理的根本用法1、假设直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。【变式3】

6、假设直角三角形的三边长分别是n+l,n+2,n+3,求n。【变式4】以以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8,15,17B、4,5,6C、5,8,10D、8,39,40类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且NQPN=30,点A处有一所中学，AP=160m0假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，拖拉机的速度为18kmh,那么学校受影响的时间为多少秒？举一反三【变式1如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅

7、仅少走了步路（假设2步为1m）,却踩伤了花草。【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决.3、如下图，AABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，月.DELDF,假设

8、BE=12,CF=5.求线段EF的长。（二）方程的思想方法4、如下图，AABC中，NC=90,ZA=60o,+6=3+招，求b、C的举一反三：【变式】如下图，折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处，AB=8cm,BC=IOcm,求EF的长。BF考点一：勾股定理相关概念性质(1)对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b,斜边为C,那么一定有/+/=C勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。(2)结论：有一个角是30的直角三角形，30角所对的直角边等于斜边的一半。有一个角是45的直角三角形是等腰直角三角形。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。(3)勾股定理的验证例题：

9、例1:直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。(1)在RtZkABC中,ZC=90o假设a=5,b=12,那么C=；假设a=15,c=25,那么b=；假设c=61,b=60那么a=；假设a：b=3：4,c=IO那么RtABC的面积是=(2)如果直角三角形的两直角边长分别为i?-l,2n(nl),A、2nB、n+1C、n2-1ba,abO那么它的斜边长是()D、n1(3)在RtAABC中，a,b,c为三边长，那么以下关系中正确的选项是()A.a2+b2=c2B.cr+c2=b2C.c2+b2=a1D.以上都有可能(4)一个直角三角形的两边长分别为3和4,那么第三边长的平方是()A、25B、14C

10、、7D、7或25例2：直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。(1)直角三角形两直角边长分别为5和12,那么它斜边上的高为。(2)RtZiABC中，NC=90,假设a+b=14cm,c=10cm,那么RIaABC的面积是()A、24cB、36CWC、48cmD、60c77?(3)x、y为正数，且Ix2-4I+(y2-3)2=0,如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为()A、5B、25C、7D、15例2：面积问题(1)以下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，假设正方形A、B、C

11、、D的边长分别是3、5、2、3,那么最大正方形E的面积是()A.13B.26C.47D.94(3)如图，4ABC为直角三角形，分别以AB,BC,AC为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得()A.Si+S2S3B.Si+S2=S3C.S2+S3SlD.以上都不是(2)如下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是ShS2、S3,那么它们之间的关系是()A. SI- Sz= Sj例3：求长度问题B. S+ S2= S3C. S2S3 SD. S2- S3=S(1)小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好

12、接触地面，求旗杆的高度。(2)在一棵树Iom高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A夕卜，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？例4：最短路程问题2(1)如图1,圆柱体底面圆的半径为一，高为2,AB,CD分别是两底面的直径，AD,BC是母线，假设一只小虫从A点出发，从侧面爬行到C点，那么小虫爬行的最短路线的长度是o(结果保存根式)(2)如图2,有一个长、宽、高为3米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点A要爬到顶点B,那么这只昆虫爬行的最短距离为O（图1）例5：航海问题(1)一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行

13、，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距.海里.(2)如图1,某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30的方向上，在C岛周围9海里的区域内有暗礁，假设继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理图1)图2)(3)如图2,某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以I5kmh的速度向D移动，城市A到BC的距离AD=100km,那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆

14、形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？例6：网格问题(1)如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1,那么网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是()A.0B.1C.2D.3(2)如图，正方形网格中的AABC,假设小方格边长为1,那么aABC是()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对(3)如图，小方格都是边长为1的正方形,那么四边形ABCD的面积是()(S3)A.25B.12.5C.9D.8.5(图1)(图2)例7：图形问题(1)如图1,求该四边形的面积(2)如图2,在AABC中，ZA=450,AC=2,AB=3+l,那么边BC的长为D13（图2）图1）(3)某公司的大门如下图,其中四边形ABCD是长方形,上部是以AD为直径的半圆,其中AB=2.3m,BC=2m,现有一辆装满货物的卡车,高为2.5m,宽为1.6m,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由(4)(太原)将一根长24Cm的筷子置于地面直径为5c