专题02空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题（解析版）.docx

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1、专题02空间向量的坐标表示及用向量法证明平行垂直共面问题考点预测(1) (x,y,zj,b=(x2,y2,z2),则rI(1)a+h=(xi+X2,yl+y2l+Z2).X*(2) a-b=&-赴，M-必，-z2)(3) /a=(/x1,/JpZzl).r1(4) ac!bxix2+j,y2+z1z2.(5)若功为非零向量，则之bfab-0?x1x2J1y2+zlz2=0.(6)若bI0,则5/?alb?XJ/x2,jl=Iy2tz,=Iz2.(7) a=yfa2aJAf+N；+z；.(8) COSJ=,X，产_：向WM+y；+z：?JR+z；(9) A(xpypz1),B=(x2,y2,z2

2、),则ab=:B=J(-芭一+(力-犷+一/.2.在空间中，取定点O作为基点，那么空间中任意一点R的位置可以用向量OR来表示.向量OR称为iM.niuuu点R的位置向量.3 .空间中任意一条直线/的位置可以由/上一个定点A以及一个定方向确定.点A是直线/上一点，向量aUUUirr表示直线/的方向向量，则对于直线/上的任意一点R,有AR=S,这样点A和向量。不仅可以确定直线/的位置，还可以具体表示出直线/上的任意一点.4 .空间中平面4的位置可以由内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点O,它们的方向向r1uuur1量分别为,bR为平面上任意一点，存在有序实数对(x,y),使得OR=m+

3、yb,这样点O与向量;，力就确定了平面的位置.5 .直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量：UlIlUlMl若A、B是直线/上的任意两点，则AA为直线/的一个方向向量；与AB平行的任意非零向量也是直线/的方向向量.平面的法户量：若向单，所在直线垂直于平面,则称这个向量垂直于平面。，记作力人白,如果,人。，那么向量;?叫做平面。的法向量.平面的法向量的求法(待定系数法)：建立适当的坐标系.设平面的法向量为7=(x,y,z).求出平面内两个不共线向量的坐标=(1,a2,3),b=Sl也也).、rrH9/10根据法向量定义建立方程组.nib0解方程组，取其中一组解，即得平面。的法向量.(如图)6

4、.用向量方法判定空间中的平行关系线线平行设直线/的方向向量分别是4、6,则要证明/4，只需证明。匕，即4=&力（&?R）.即：两直线平行或重合=两直线的方向向量共线。线面平行（”一）设直线/的方向向量是,平面的法向量是，则要证明/,只需证明。人u,即0.即：直线与平面平行=直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.面面平行若平面的法向量为，平面力的法向量为y,要证b,只需证y,即证=/丫.即：两平面平行或重合=两平面的法向量共线。7 .用向量方法判定空间的垂直关系线线垂直设直线的方向向量分别

5、是：、力，则要证明只需证明力，即：?力0.即：两直线垂直=两直线的方向向量垂直。线面垂直（法一）设直线/的方向向量是,平面的法向量是，则要证明,只需证明。111，BPa=/M.（法二）设直线/的方向向量是i平面内的两个相交向量分别为；?、；，若、ru-Ialm0rll,Irr,则/八内储?0即：直线与平面垂直=直线的方向向量与平面的法向量共线=直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。面面垂直若平面的法向量为平面方的法向量为；，要证b,只需证i,即证0.即：两平面垂直=两平面的法向量垂直。例1.（2021山东高二阶段练习）如图，已知四棱锥尸底面是矩形，且A4_L平面ABCD,E、尸

6、分别是A8、PC的中点.（用向量法解决下列问题）（1）求证：浮，AP,AD共面.（2）求证：EFVAB【解析】（1）如图，以A为原点，分别以AB，AZ），AP分别为X轴，）轴，Z轴的正方向建立空间直角坐标系A-g，z.设AB=2,BC=2b,PA=2c,则A(0,0,0),8(2,0,0),C(24,2Z,0),D(O,2,O),P(0,0,2c),因为E为A8的中点，尸为PC的中点，所以E(,0,0),F(a,b,c),EF=(O,b,c),AP=(0,0,2c),Ao=(0,2b,0),所以E/=LaP+aZ),22所以浮，AP,Az)共面.(2)因为A8=(24,0,0),EF=(O,c

7、)所以A8EE=24x0+00+0c=0,所以ABLEF，所以ALEF例2.(2021全国高二课时练习)如图，已知在正方体4BCO48CQl中，M,MP分(2)平面MNP平面CCIGD.【解析】(1)证明：以。为坐标原点，D4，DC，DD的方向分别为x,y,Z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,0),(l,0,1),Ml，1，0),P(l,2,1).所以。A=(2,0,0)为平面CeDI。的一个法向量.由于MN=(O，I，-1),则MNDA=02l0+(-1)0=0,所以mNLD4又MNa平面CGD所以MN平面CGz)D.(2)

8、证明：因为0A=(2,0,0)为平面CGdD的个法向量，由于Mp=(0，2，0),MN=(0，1,1)MPDA=O则，MNDA=O即。A=(2,0,0)也是平面MNP的一个法向量，所以平面MNP平面CCIfD.例3.(2021.北京通州.高二期中)在空间直角坐标系Oqz中，已知向量45=(1,0,0),AC=(0,2,0),Ao=(0,0,3).(1)求向量AB在向量CB上的投影向量；(2)求平面BCo的法向量；(3)求点A到平面BC。的距离.【解析】(1)因向量AB=(LO,0),AC=(0,2,0),则CB=48-AC=(1,-2,0),于是得148ICOS48,C8色二丝与。=!。,-2

9、,0)=(二0),CBIC55512所以向量AB在向量CB上的投影向量=(g,-,O).(2)因向量AC=(0,2,0),AQ=(0,0,3),则Co=4。一AC=(O,-2,3),由(1)知C3=(1,-2,0),设平面38的一个法向量=*,y,z),则F二：八，令尸3,得=(6,3,2),nCD=-2y+3z=0所以平面3CQ的法向量=(6,3,2).(3)由(2)得点A到平面BCD的距离d=四Wl=：=,HI62+32+227所以点A到平面BCQ的距离为亨.过关测试一、单选题1. (2021.四川省绵阳南山中学高二阶段练习(理)空间直角坐标系中，己知47,1,3),则点A关于XOZ平面的

10、对称点的坐标为()A.(1,1,-3)B.(1,1,3)C.(1,1,-3)D.(1,1,3)【答案】D【分析】根据空间直角坐标系的对称性可得答案.【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得A(T,1,3)关于XOZ平面的对称点的坐标为(TT3),故选：D.2. (2021全国高二课时练习)己知.ABC的三个顶点分别为A(U,0),8(0,1,2),C(2,l,l),则BC边上中线的长度为()A.!B.1C.-D.222【答案】C【分析】利用空间中两点间的距离公式求解.【详解】因为.4?C的三个顶点分别为A(l,1,0),8(0,1,2),C(2,l,l),所以BC的中点坐标为(14,),所以5C

11、边上中线的长度为J(17)2+(1-1)2+(-oJ=,故选：C.3. (2021黑龙江哈九中高二期中)设x,yeR,向量a=(x,l,l),=(1,1),3=(2,2),且al.c，b/cf则卜+|=()A.22B.10C.3D.4【答案】C【分析】根据空间向量垂直与平行的坐标表示，求得x，y的值，得到向量a+b=(2,2),进而求得a+ht得到答案.【详解】由题意，向量=(x,l,l),b=(l,y,l),c=(2,-4,2),因为J.c，可得c=2x-4+2=0,解得X=1,即=(ljl),又因为5c，可得;=弓，解得y=-2,即b=(l,-2,l),可得+b=(l,1,1)+(1,-2

12、,1)=(2,-1,2),所以卜+b=J4+1+4=3.故选：C.4. (2021.全国高二课时练习)若：=(x,2y-l,-是平面。的一个法向量，且=(-1,2,1),；=(3,g,-2)与平面都平行，则等于()2753ln(9531)a-豆LMRB-立一米一句(927B(911、c,C52,52,-4ylD-52,26,4,l【答案】D【分析】出题意可得平面。的一个法向量与b=(T,2,l),；-2)均垂百.，即可得到结果.【详解】由题意可得ab=-x+22y-l)-=0“c=3x+g(2y-1)+/=0-+4r0,解得3x+y = O9 X 5227V =一5291_52,26,4j故选

13、：D5. （2021山东烟台高二期中）已知空间向量=（2,-2,-1）,力二（3,0,1）,则向量在向量上的投影向量是（）A.10 _20 _5 9,9,-9B.10 _20 5T,-T,-3C.【答案】A【分析】根据向量投影的概念，结合向量的数量积计算得出结果.【详解】根据题意，同=6+22+1=3,=32+0+l=0ah=6+0-1=5B在上的投影向量可为WCOSIO_20T9,故选：A.6. （2021全国高二课时练习）己知届可是空间的一个单位正交基底，若向量P在基底4,Ac下的坐标为（3,2,1）,则它在基底+d-Ac下的坐标为（）.【答案】D【分析】根据题意，可设向量=（1,0,0）

14、,=（0,1,0）fC=（0,0,1）,根据向量加减法运算求出4+6和的坐标,结合条件可设p=x（+4+y（-b）+zd=（3,2,l）,联立方程组求出2,z,即可得出向量P在基底+bM-仇c下的坐标.【详解】解：由于a),c是空间的一个单位正交基底，可设向量=(1,0,0),5=(0,1,0),C=(0,0,1),则向量+力=(1,1,0),4。=(1,T0),又向量P在基底色九可下的坐标为(3,2,1),不妨设力=x(d+)+y(d-)+zW,则(3,2,l)=(x+y,x-y,z),5X=x+y=32即-y=2,解得：j=,z=1.Z=I所以向量P在基底4+d6-。,右下的坐标为.故选：D.7. (2021.福建三明.高二期中)已知正方体A6CQ-AgCa的棱长为小定点M在棱A8上(但不在端点A,8上)，点尸是平面A68内的动点，且点P到直线AA的