专题02函数与导数（新定义）（解析版）.docx

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1、专题02函数与导数(新定义)一、单选题1. (2023河南洛阳市第三中学校联考一模)高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数为：设xwR,用凶表示不超过X的最大整数，则尸国称为“高斯函数”，例如：-2.5=-3,2.7=2.已知函数/(刈=|,则函数力的值域是()A.-1,1B.-l,OC.(-1,1)D.(1,0)【答案】B【分析】方法一：利用分离常数及指数函数的性质，结合不等式的性质及高斯函数的定义即可求解；方法二：利用指数函数的性质及分式不等式的解法，结合高斯函数的定义即可求解：【详解】方法一：函数X)=W=I-三，e+11+e因为e

2、、0,所以l+el,12所以0；?1.所以一2-；-0.1+e1+e2所以即TVf(X)1.当Tvx)0时，/(切=7；当Of()0,所以黄启0,解得Tf(x)L当Tx)0时，/(x)=T;当0x)vl时，/(x)=0.所以上(力的值域为T0故选：B.2. (2019秋安徽芜湖高一芜湖一中校考阶段练习)在实数集R中定义一种运算“*”，具有下列性质:对任意,beR,a*b=b*a；对任意wR，a*0=a对任意,bR,(a*b)*c=c*(ab)+(a*c)+(b*c)-2c.则函数/(x)=卜2,2)的值域是C *)D. -5,59A.(-,5)B.-,5O_【答案】B【分析】注意新定义的运算方

3、式即可.【详解】在中，令c=0, Wa*b = ab+a+b,所以X)= 吗 =、+掾=；卜+目7Q函数/(x)在x=-3时取最小值，最小值为-2；在X=2时取最大值，最大值为5,所以函数2oY9一/(力=1吟卜-2,2)的值域是-,5.2L.故选：B.aAbCAd3. (2023上海统考模拟预测)设XVy=x+y+k-MXAy=+y-k-)j,若正实数Acd满足：aVcb7d,bkchB.bCD. JVCC.bca【答案】D【分析】对新定义进行化简，分别在条件ab cdab cdab cdabcd下化简结合所得结果，进步确定满足条件的关系，由此判断各选项.【详解】因为XVy = +y+-V

4、=2x,xy2yix, = x+y-x-y =2y,xy2x,xyaXbCMaVcbVd1McaSda+b-a-bc+d-c-d所以a+c+a-cb+d+b-dtb+c-b-ca+d+a-d(1)若ab,cd则，不等式a+/?-。一,vc+d-c-d可化为2/,则0R若acdb,则+c+dh+d+性一J可化为d匕，则+c+4c方+d+-M可化为c0b,则+c+4cV力+卜一4可化为Cy4,矛盾，Q)若ab,cd则，不等式+6-Wc+d-IC-M可化为bcb,若dcM则4+c+qc力+|一”|可化为c%,则+c+q-d力+|-4可化为vd,满足,Hc-A-d+d+4可化为bc8,则+c+4ch+

5、d+一M可化为cd,满足，h+c-b-(a+d+a-d11Htyjbd,满足，(3)若cbccl则，不等式a+力一,一Wc+d-|c6/|可化为aca若Ndcq,则+c+a-d6+物一4可化为cvb,满足,匕十弧一d8c4,则+c+a-d6+区一4可化为cd,满足，b+c-b-ca+d+a-daJtcc6,则a+c+,一CIVb+d+R-d可化为cd,满足，b+c-b-(a+d+a-dpHtjbd,满足，(4)若ab,cd则，不等式。+一,一4vc+d-c-d可化为q,若bcd,则+c+dh+d+-M可化为cb,满足，h+c-b-(a+d+a-dHtjhjc1,则+c+4dh+d+性一J可化为

6、c1,则+c+4c方+d+-M可化为cca或dbca或dcba或dacb或dcah,由bdc。知，A错误；由dcb知，B错误：当dcb时，bc=b+c-b-c=b+c-c+b=2bf取d=7,=6,c=2,b=l可得，满足条件但必c=2v,C错误；当力dc时，(Nc=d+c+d-(=2da,当d力c时，d7c=d+c+d-c=2da当dc%时，c7c=d+c+d-(=2da,当dc人时，dVc=d+c+d-c=2da,当dc力时，d7c=d+c+d-c=2da,故选：D.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的

7、方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.4. (2022秋江苏常州高一华罗庚中学校考阶段练习)对于函数y=f(x),若存在,使/(%)=-/(-/)，则称点(天,/)与点(FJ(F)是函数/(x)的一对隐对称点若函数Fa)=；二2；o的图象存在“隐对称点”，则实数加的取值范围是()A.2-2&,0)B.(-,2-22C.(o,-2-22D.(,2+22【答案】C【分析】由隐对称点的定义可知函数/(x)图象上存在关于原点对称的点，由函数奇偶性的定义将问题转化为方程a+

8、2=-2-2x(x0)的零点问题，再结合基本不等式即可得出实数机的取值范围.【详解】由隐对称点的定义可知函数/(x)图象上存在关于原点对称的点，设g(x)的图象与函数/(力二丁一2MXVO)的图象关于原点对称，令x0,则一jv0),因为/S)=X(0)=2-()nx+2,x02所以原题义等价于g(x)与/*)在(0,+8)上有交点，即方程的+2=r2_2x(x0)有零点，WJrr=-x-2,又因为r-N.2-2jZ-2=-2-24,当且仅当T=2，即X=及时，等号成立，XV-X-X所以m-2-2,即7(-oo,-2-2&.故选：C.【点睛】关键点睛：本题突破口是理解“隐对称点”的定义，将问题转

9、化为g()与/(X)在(0,+8)上有交点的问题，从而得解.25. (2023高二单元测试)能够把椭圆+V=的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“可4分函数”，下列函数中不是椭圆的“可分函数”的为()A./(x)=4x3+xB./(x)=ln-C./(x)=sinxD./(x)=eve-【答案】D【分析】根据奇偶函数的定义依次判断函数的奇偶性，得到ABC为奇函数，D为偶函数，得到答案.【详解】对选项A：/(x)=4+x,f(-x)=-4xi-x=-f(x),函数为奇函数，满足；对选项B：/(x)=ln*,函数定义域满足泮0,解得一5xv5,口/(r)=In券=-/(x),函数为5+

10、x5+-5-x奇函数，满足；对选项C/(%)=sinx为奇函数，满足；对选项D：/(x)=et+e-/(-x)=e-+er=(x),函数为偶函数，且/(0)=2H0,不满足.故选：D6. (2023秋江苏无锡高一统考期末)设xwR,计算机程序中用INT(X)表示不超过X的最大整数，则y=INT(x)称为取整函数.例如；INT(-2.1)=TINT(L2)=1.已知函数/(x)=:(log2+d，其中0x16,则函数y=INT(X)的值域为()A.-l,0,lB.-l,0,L2C.吊)D.0,1,2【答案】B【分析】化简/(x),令E=log2%,/()=2-3+4j14由二次函数的性质求出函数

11、f(x)的值域，根据定义求函数y=INT(AX)的值域.【详解】因为F(x)=g(log2x)2+log2g+4=g(log2%)2+og2x+4令I=IOg2%,因为X16,所以所以/(/)=-3/+4,7表4),因为的对称轴为f=3,所以/(，)在(表3)上单调递减，在(3,4)上单调递增,当U3时，/(0min=(3)=-p当匕时，&L=出卜看121、所以/()的值域为-彳当一J(x)O时，=INT(x)=-l,当0(x)l时，=INT(x)=0,当lf(x)xlx2B.x2x3x1C.x2xlx3D.xix2X1【答案】C【分析】由已知可得COS再=X,则CoSXI-K=0,Sin(Cos)-SinXI=O.然后证明Xsin%在(0,1)上恒成立.令尸(X)=Sin(COSX)-sinx,根据复合函数的单调性可知尸(X)在(0,1)匕单调递减，即可得出Q%.【详解】由已知可得，COSX1=x1,则CoSXl-M=0,H.sin(cos)=sinx1,所以Sin(COSXJSinX=0.又COS(SinZ)=毛，Sin(COSW)=玉.令(x)=X-SinX,x(O,l),则(x)=I-COSx0f亘成立，所以，MX)在(0,1)上单调递增,所以MX)Zi(O)=O,所以xsinx.所以，sin(cosA)=Asinxj,即Sin(COSW)-SinW0.