3对一道困扰力学界50多年习题的思考.docx

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1、对一道困扰力学界50多年习题的思考李学生】，师教民2（1.山东大学物理学院,山东济南250100；2.石家庄广播电视大学科学技术部,河北石家庄050081）植i要：首先推出了在地面系和小车系自然摆动的单摆在摆动过程中机械能都守恒的结论，验证了机械能守恒定律满足力学相对性原理，解决了力学界50多年的困惑，并对当前力学教材提出了几条修改建议。关键词：单摆；动能；势能：保守力：机械能守恒中图分类号：0313。I文献标识码：A文章编号：将摆锤质量为机，轻质摆线（摆线质量视为0）长度为L的单摆挂在与地面相固连的摆架上，将摆锤从单摆静止时的竖直下垂位置拉至摆角为为（仇0,90时自然放手，在忽略各种阻尼时，

2、单摆就做自然摆动，为为最大摆角.有一小车在地面（地球质量视为充分大，稳定地保持为惯性系）上以正常数向右运动。求证：在地面系和小车系上观察，单摆的机械能都守恒。图1自然摆动单摆机械能问题图2自然摆动单摆机械能守恒问题新解解：由于假定地球质量充分大，忽略其能量的变化，只能按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少。根据文献无论是地面系，还是小车系摆线的拉力都是一个保守力。在地面系，建立平面直角坐标系如图1所示.由于在摆动过程中摆线的拉力和重力在该直线上的分力与位移垂直不做功，因此只需考虑重力在切线方向的分力。单摆在t=0时刻从最大摆角儿开始摆动（规定初始时刻的势能为0），在f时刻的摆角、速

3、度大小、切向加速度大小、动能、势能、机械能分别为：仇V,4,I）,EP，EQ）；在小车系，单摆t时刻的速度大小、切向加速度大小、动能、势能、机械能分别为：的，0,EM。，2p(r),EM.则在地面系：在地面上观察时，以单摆的悬挂点。为极点，单摆静止时与摆线重合的射线Oy为极轴，从。到摆锤的矢量r为极径，极轴和极径的夹角0为极角建立平面极坐标系如图2所示。设在地面上观察时，单摆在t=0时刻从最大摆角为(e(0,90)开始摆动(规定初始时刻的势能为0),，时刻的摆角、速度大小、切向加速度大小、动能、势能、机械能分别为：仇V,a,Ek(t),Ep(t)fE(t)i在小车上观察时，单摆在，时刻的摆角、

4、速度大小、动能、势能、机械能分别为：仇，的，EiM，Ep(Z),1(0；在地面上和小车上观察时，都设摆锤的最高点为零势点。则有：dsdL(-6)-LdOV=drdrd/dr=(ft).vmgsn9=ma,gsin=a=-=L0_dOdg-gLsind,dr-Lddr-Ldvdv=-gLsinOdO,v2=gL(cos-cos0).v=j2gL(co/-COSeo)0%2M=-;2L(cos9-cos(90)=-小2菅(COS-一COSeo)=-2yCOS-2yCOS0)dcs=%j2gL(cos6-CoSeo)2mgL(CoS。-COS a)+ 3：UgL z0COS。-COSoo+COS%C

5、GSAOd(cos-cos o)=30qJCOScoSa),zC八、3mugL2.nnAmugLZIz八mgL(cos。-CoS优)+I一J(cosO-COS0)+12(cost-cos0)cos0=Z3Z3_ngL(cos-coso)+muy2gL(cos-cos劣尸+muy2gL(cos。一COS仇/COS仇二mgL(cosO-Coso)+tnu-y2gLJCOSe-CoSeO(cosJ-cos仇+cos仇)二mgL(cos-coso)+mu-J2gl(co-COSeo)cos夕Ep(0=Ep(0)=gL(cosO-COSQ)Tnuj2gL(cosOCoSe)cos.EIS=EwHElPs

6、=El式+EM=WgL(COSO-COS0)+mu2+mu-2gL(cos-cos)cos0-所以在小车系单摆的机械能也守恒，守恒值为2。当U=O时两个坐标系重合，动能、势能分别对应 2相等，守恒值也相等，符合对应原理的要求，外势能（质点的势能）不具有伽利略变换的不变性。若u0时，由于在单摆问题摆角比较小，cos8W0,因此当且仅当cos。=COS仇时势能相等。从分析力学的角度看动能T=mgL(cos-cosOo)+fn/,势能V=ngL(cosO-COS仇)，机械能为g?。动能、势能与矢量力学不同，但是机械能相同。另证：由于本题假定地球质量充分大，忽略地球能量的变化，只能按照外场计算，此时一

7、个保守力的功等于质点势能的减少。设与单摆还未摆动而自然下垂位置重合的竖直直线与水平地面的交点0为地面系的原点，点。为小车系的原点。设0时刻。与。完全重合，单摆从摆角仇开始摆动.设在f时刻，摆锤与小车。的位置如图1所示；摆锤在小车系的位矢、速度、加速度、受的力、动能、势能、机械能分别为：r,V,a,f,a,ep,e；图3自由摄动单摆机械能在各惯性系都成立在地面系的位矢、速度、加速度、受的力、动能、势能、机械能分别为：R，V,A,F,Ek,Ep,E.则在地面系观察时，在地面单摆体系中，因为携锤仅受到重力和拉力的作用，拉力与位移始终垂直不做功，摆锤的机械能E守恒，即氏D=常数，亦即dE=dZH据伽利

8、略变换或图3知:R=r+ut,V=v+u,A=a+0=a,F=mA=ma=f.V2=V-V=(v+u)-(v+u)=vv+2v-u+u-u=v2+2uv+u2fmV1=mv2+muv+mu2,Ei=ei+muv+C,222dodEk=dk+11wd+dC=dk+ttwdt+O=dek+fudt.drdEp=-FdR=-fd(r+ut)=-fdr-fd(ut)=dep-fdt.6Ek+dEp=defudt+dep-fdt=dei+dev,d(+ep)=d(E,k+Ep),de=dE=O.所以，在小车系观察时，摆锤的机械能守恒。设在t=0时刻摆锤位于最高点，此时为地面系和小车系的公共势能0点，则：

9、(0)=lnV2=lw02=0,5(0)=0,E(f)=Ek(f)+稣=Ek(0)+耳(O)=O+0=0a(0)=；mv2=；m(-u)2=；mu2,p(0)=0,e(t)=e(t)+ePa)=a(0)+4(0)=；/hm2+0=；nu1。说明：L在单摆问题中弹力虽然是接触力，但是力源不是研究对象，仍然按超距力处理。摆线的约束力是一个保守力，在小车系对摆锤做功的同时改变摆锤的动能和势能，不改变摆锤的机械能，与直接计算重力机械能得出的结果一致。文献2提出了约束力是一个保守力的问题，文献1证明了光滑约束中的约束力是一个保守力”，建议力学教材指明这个问题，不要认为力学中保守力只有弹簧弹力、万有引力和

10、重力，把约束力当成外力，在一个惯性系里不做功，在另一个惯性系里做功，这样机械能守恒定律就不满足力学相对性原理了标闻。这个习题自从文献67提出以来，力学界讨论50多年一直未能定论，原因之一在于没有认识到约束力也是一个保守力，流体力学中推导伯努利方程时曾经利用了理想流体的压力是保守力。2 .在上面单摆问题中势能包括重力势能，不是严格意义上的重力势能，因为质点受到的合力不等于重力。单摆问题是一个完整、理想、双侧束的质点，约束力不改变质点的机械能；考虑摆线质量，是具有完整、理想、双侧束的质点系，约束力也不改变系统的机械能。本题是两个保守力共同作用下的机械能守恒问题，摆锤的重力势能+摆锤的拉力势能+摆锤

11、的动能=摆锤机械能守恒量，在地面系摆锤的拉力不做功，拉力势能始终不变，可以认为是0,就成为重力机械能守恒的问题。在这个问题中，在小车系看来可以认为是重力机械能不守恒，不能认为是机械能不守恒。在这个问题中如果按照重力机械能计算是开放系统，按照机械能计算是孤立系统。当观察者相对于单摆静止时，利用重力机械能守恒定律得出的结果等效；当观察者相对于单摆的悬挂点匀速运动时，直接利用重力机械能守恒定律是错误的，应该利用保守力所做的功等于势能的减少来计算。机械能守恒定律中保守力应该是保守力的合力，考虑了势能就不能再计算保守力的功了，本题中如果按照重力机械能计算显然不满足力学相对性原理3网。重力机械能不守恒，不

12、代表机械能（力学能）不守恒。3 .机械能守恒定律是牛顿定律的推论，牛顿第二定律中的力是指质点受到的合力，因此机械能守恒定律中的保守力应该是指保守力的合力，因此本题不是重力机械能问题。在这个问题中如果按照重力机械能计算是开放系统，按照机械能计算是孤立系统。4 .按照外场（外势能）计算，势能属于质点，一个保守力的功等于势能的减少，势能是坐标的函数，势能不是伽利略变换的不变量；按照内场计算，势能属于系统，一对保守力的功等于势能的减少，势能是相对位置的函数，势能是伽利略变换的不变量。二者有着本质的区别，量变引起质变，建议力学教材明确指出。本题中地球和摆锤的质量相差极其悬殊，按照内场（内势能）计算，地面系不再是惯性系，需要计算惯性力势能，不具有可操作性，因为我们不知道地球的具体质量，它是一个变量。5 .地面系和小车系在起始时刻的势能零点重合，任何时刻小车系势能零点是地面系势能零点的伽利略像点，这是相对性原理的要求。斜面问题与单摆处理方法相似，斜面的支持力也是一个保守力皿，这个问题在国际上也比较纠结3）。文献1证明了匀速圆周运动中质点的机械能在所有的惯性系机械能都守恒，文献21证明了弹簧振子机械能在所有的惯性系机械能都守恒，文献22自由落体运动机械能在所有的惯性系机械能