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1、关于连续自然数的k次方和学夫子偶然之间想到,也许这个方法比拟有用,对于解决连续自然数的k次方和问题。这个问题我想是每一个学过中学课程的朋友都想过的,我在?阿尔哈曾公式?一文里提到过一种方法。今天来介绍另外一种,应该算是比拟简单的一种。那就是用待定系数法。我们首先必须要明白的是下面一个道理:一:假设记f(n)=lk+2k+3k+nko那么f(k)一定是一个次数为k+1的多项式,也就是f(n)可以写成下面的形式f(n)=A0+Aln+A2n2A3n3+ak+lnk+l知道了这个的话,我们就可以通过待定系数法求出f(n)的各项系数就行了,从而求出f(n)确实定表达式。除了这个外,我们可以预先了解一些
2、这个多项式的性质。1:第一个性质就是,AO=Oo为了证明这个,我们可以记f(n)=0k+lk+2k+3k+nko也就是n的范围扩大到自然数,而不仅仅是正整数。显然这不影响f(n)的表达式,从而f(n)仍然为A0+Aln+A2n2+A3n3+ak+lnk+1。假设取n=0,那么f(n)=O,从而知道AO=Oo2:f(n)的系数之和Al+A2+A3+AK+1=1这个证明和1一样,你取n=l就行了,这个性质可以拿来检验结果。因此,f(k)=Aln+A2n2+A3n3+ak+lnk+l。我们可以通过性质1得到一个数论里的结果f(n)=lk+2k+3k+nk一定能被n整除,其中n取自然数。二:应用举例我
3、们就来看看上面的性质的具体应用吧!例1:计算f(1)=1+2+3+nf(n)=An+Bn2.f(1)=1,f(2)=3,所以有A+B=l2A+4B=3解得A=l2,B=12,从而f(n)=l2nl2n2例2:计算f(n)=13+23+33+n3同样,我们设f(n)=An+Bn2+Cn3+Dn4,f(1)=1,f(2)=9,f(3)=36,f(4)=1OO,所以:A+B+C+D=l2A+4B+8C+16D=93A+9B+27C81D=364A+16B+64C+256D=IOo解得:A=O,B=14fC=l2,D=1/4从而得到f(n)的表达式。通过上面的两个例子可以看出,越到后面,计算量越大。不过如果学过线性代数的话,可以通过行列式的理论来解这个方程组,那样会显得很简单。不管如何,这终究是个不错的方法。(