第7章序贯实验设计名师编辑PPT课件.ppt

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1、17 7 序贯实验设计序贯实验设计系统实验设计法:对实验先进行系统全面设计，然后按步就班完成各个实验的研究。序贯实验设计法：有不少实验优化方向难以预见确定，下一步的实验方案往往要根据上一步的实验结果来设计，也即实验必须一个接着一个开展，时间上有先后，步骤上分前后。序贯实验设计法可分为登山法和消去法两类。登山法是逐步向最优化目标逼近的过程，就象登山一样朝山顶(最高峰)挺进。2 消去法则是不断地去除非优化的区域，使得优化目标存在的范围越来越小，就象去水抓鱼一样逐步缩小包围圈，最终获得优化实验条件。7.1 单因素优选法优选法是以数学原理为指导，以尽可能少的实验次数找到最优实验方案的一类方法。一般在目

2、标函数无明显表达式时采用，运用此方法可以节约大量的人力、物力和时间。例如在单因素实验设计的情况下，如果均分法需做1000次实验，则用优选法只需做14次左右实验就能达到同样的实验精度，所以这一方法在国内外各个领域中都得到了广泛应用。7.1.1 黄金分割法 黄金分割法，又称0.6l8法、折纸法。一般适用于对实验总次数预先不做规定、每次做一个实验的情况。例7-1 为了改善某油品的性能，需在油品中加入一种添加剂，其加入量在200 gt到400 gt之间，试确定添加剂的最佳加入量。解：这里考察因素只有添加剂加入量一个，总实验次数不限，可采用0.618法：第一，确定第一个实验点。如图7-1(1)取一张纸条

3、，其刻度为200400 g，在纸条全长的0.618处划一条直线，在该直线所指示的刻度上做第一次实验，即按323.6 g做实验。第二，确定第二个实验点。用对折法，以中点300 g为准将纸条依中对折，如图7-1(2)所示，找出对折后与323.6 g相对应的点划第二条线。第二条线的位置正好在纸条全长的0.382处，该点刻度276.4 g，按276.4 g做实验。第三，比较两次实验的结果，若比效果好，则在323.6 g处把纸条右边一段剪去（若比效果好，则在276.4 g处把纸条左边一段剪去）。剪去一端，余下的纸条再重复上面的对折法，找出第三个实验点，该实验点为247.2 g做实验。如图7-1(3)所示

4、。第四，比较实验的结果，如果仍然是比好，则将247.2 g左边一段剪去，余下依中对折，找出第四个实验点294.4 g做实验。如图7-1(4)所示。第五，比较实验再剪去一端，按对折法，依次往后不断确定新的实验点。每往后进行一次实验，都比前一次更加接近所需要的加入量。本例共做了8次实验，实验在纸条上所示的位置分别为265.2 g、283.2 g、287.6 g、280.8 g，当做到第8次实验时，认为已取得较满意的结果，另外，剩余的实验范围已很小，重新实验的结果相差不大，因此可以终止实验。经过比较，最后获得添加剂的最佳加入量为280.8 g。此法实验精度相当于均分法80多次，提高工效10多倍，节约

5、了大量人力、物力。由上例可见：(1)0.618法是在给定的实验范围内确定的最佳点。若实验范围估算不准确，那么就会失去运用该方法的意义。因此需根据专业知识和实践经验仔细估算实验范围，以寻找出最佳的实验结果。(2)采用0.618法安排实验，每次剪掉的纸条长度都是上次的0.382；而留下来的是上次长度的0.618。“去短留长去短留长”无论剪掉左边还是右边，都将中间一段保留下来，而且随着实验的一次次进行，中间段的范围越来越小，实验过的较好点一步又一步接近实验所要寻求的最优点。(3)除了第1次需做2个实验外，其余每次只做一个新实验。(4)在实际操作时，每次实验所取数值的确定，可以采用以下简便公式计算：第

6、一个实验点，应取数值为：小头+0.618(大头-小头)以后各次实验点应取数值为：(大头+小头-前次留下的实验点)，简单说就是：加两头，减中间加两头，减中间。第一次实验点200+0.618(400-200)323.6第二次实验点400+200-323.6276.4第三次实验点323.6+200-276.4247.2第四次实验点323.6+247.2-276.4294.4例7-2 某电化学反应中电流对电解产物的产率影响存在最佳值，试用黄金分割法确定最佳电流值，实验范围为540 mA。解：实验过程如图7-2：优于；优于；优于；优于；优于，最佳电流值为19.56 mA。6次实验误差19.56-18.3

7、7=1.19 mA。采用均分法达到该精度的实验次数为(40-5)/1.19=29次。图7-2 实验安排过程7.1.2 分数法分数法的原理与0.618法完全一样。预先规定了实验总次数的情况，我们就要用分数法。分数法与0.618法的不同仅在于第一次实验点的选取方法不同。“菲比那契数列”:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，递推关系：F1=1,F2=1,Fn+2=Fn+Fn+1，数列：1,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,13/21,21/34，的渐近数0.618。步骤如下：如实验范围已定，要求只做n次实验，分数法的第一个实验点是在实验范围全长的Fn+1/Fn+2 位置进行。后面

8、的实验点的选取，均按0.618法步骤依次进行，直到做完n次实验，即可得到n次实验中的最佳实验方案。例7-3 某化学反应的反应温度范围为120200，要求只进行4次实验，找出最好的实验结果。解：已知总实验次数：n4。由菲比那契数列得知Fn+2F6=8，Fn+1F5=5，于是按分数法应在实验范围总长的Fn+1/Fn+2=5/8处安排做第一次实验，即第一实验点是在：l20+(200-120)5/8170 进行。用“加两头，减中间”计算可得第二次实验点为：200+120-170150 比较实验、结果，发现好，去掉170 以上部分，对余下部分求得第三实验点为：170+120-150140 即在第2等份处

9、做实验。比较实验、结果，仍是好，去掉140 以下部分，对余下部分求第四实验点为：170+140-150160 在第4等份处做实验，比较实验、结果，还是好，故最后确定150 是4次实验中较好的反应温度。例7-4 某厂对锅炉结垢进行清洗，选用敲下来的垢片做实验，放入17、10的盐酸液内沸煮，17的需要180 min溶解，10%的需130 min溶解。接着，又做了一次30的实验，沸煮300 min垢仍不溶解，说明高浓度不好。因此，决定选取2%10%的区间，限定做4次实验，用分数法进行优选。解：把实验范围分8等份，先后在7、5、4、6的盐酸溶液中共做4次实验。比较各次实验结果，以采用6%的盐酸液除垢效

10、果最佳。实验安排及实验结果见图7-4和表7-2。表7-2 实验结果75612548051057解垢时间解垢时间/min盐酸浓度盐酸浓度/%实验号实验号7.1.3 对分法前面介绍的几种方法都是先做两个实验，再通过比较，找出最好点所在的倾向性来不断缩小实验范围，最后找到最佳点。但不是所有的问题都要先做两点，有时实验是朝一个方向进行的，无需对比两个实验结果。例如，称量质量为2060 g某种样品时，第一次砝码的质量为40 g，如果砝码偏轻，则可判断样品的质量为4060 g，于是第二次砝码的质量改为50 g，如果砝码又偏轻，则可判断样品的质量为5060 g，接下来砝码的质量应为55 g，如此称下去，直到

11、天平平衡为准。称量过程如图7-5所示。图7-5 对分法实验过程这个称量过程中就使用了对分法(也叫平分法)，每个实验点的位置都在实验区间的中点，每做一次实验，实验区间长度就缩短一半，可见，对分法不仅分法简单，而且能很快地逼近最好点。但不是所有的问题都能用对分法，只有符合以下两个条件两个条件的时候才能使用。要有一个标准（或具体指标）。对分法每次只有一个实验，如果没有一个标准，就无法鉴别实验结果是好是坏。在上述例子中，天平是否平衡就是一个标准。要预知该因素对指标的影响规律。也就是说，能够从一个实验的结果直接分析出该因素的值是取大了还是取小了。如果没有这一条件就不能确定舍去哪段，保留哪段，也就无从下手

12、做下一次实验。对于上例，可以根据天平倾斜的方向来判断是砝码重，还是样品重，进而可以判断样品的质量范围，即实验区间。例7-5 某润滑油加入66 的复合剂后质量符合要求，为了降低成本，在保证润滑油质量的前提下，试选择复合添加剂的最佳加入量。解：实验可使用对分法进行安排。假如当复合添加剂加入量小于18 时，该种润滑油质量即不合格，故实验范围为18 66。在这范围内对分取其中点，即添加剂加入量为42 时做第一次实验，如果质量仍然合格，则含去42 66 这一段，在余下的18 42 中再取中点，即30 做第二次实验，结果如不合格，则舍去18 30 这一段；在30 42 这一段再取中点进行实验，直到找到最佳

13、点为止。参见图7-6。由于对分法每次舍去的将是原来实验范围的一半，因此较之0.618法可以缩短整个实验的总周期。147.1.4 抛物线法不管是黄金分割法，还是分数法，都是通过比较两个实验结果的好坏，逐步找出最好点。如果实验结果是定量处理的，那么显然实验结果的数值，即目标函数值本身的大小，并没有在优化方案中被考虑利用。抛物线法是根据已得的三个实验数据，找到这三点的抛物线方程，然后求出该抛物线的极大值，作为下次实验的根据。用抛物线法可使实验进一步深化，对最优点的位置作出更准确的估计。如图7-7所示，设在x1、x2、x3三点上做实验，其结果分别为y1、y2、y3。通过x-y平面上的三点（x1，y1）

14、、（x2，y2）、（x3，y3）作抛物线逼近曲线，抛物线的顶点（x0，y0）就可能近似于实验曲线的最优点。如果将下次实验安排在抛物线顶点的横坐标x0处，便可得到最佳的实验结果y0，此方法常被称为优选法的“最后一跃”。用拉格朗日插值法可以可得通过上述三点的抛物线方程为：y=y1(x-x2)(x-x3)(x1-x2)(x1-x3)+y2y3(x-x1)(x-x3)(x2-x1)(x2-x3)(x-x1)(x-x2)(x3-x1)(x3-x2)16抛物线的顶点横坐标为 x0=12.y1(x22-x32)+y2(x32-x12)+y3(x12-x22)y1(x2-x3)+y2(x3-x1)+y3(x1

15、-x2)在x=x0处得到实验结果y0后，若需继续实验，则在（x0，y0）和它相近的两点做新的抛物线，以求最优点。此方法最适用于中间高、两头低，或中间低、两头高的二次抛物线情况。粗略地说，如果穷举法（在每个实验点上都做实验）粗略地说，如果穷举法（在每个实验点上都做实验）需要做需要做n n次实验，达到同样的效果，黄金分割法只要数量次实验，达到同样的效果，黄金分割法只要数量级级lglgn n次就可以达到，抛物线法效果更好些，只要数量级次就可以达到，抛物线法效果更好些，只要数量级lglglglgn n次。次。17例7-6 在测定某离心泵效率h(%)与流量Q(L/s)之间关系曲线的实验中，已经测得三组数

16、据:Q分别为8,20,32时，h等于50,75,70。如何利用抛物线法尽快地找到最高效率点？解：首先根据这三组数据，确定抛物线的极值点，即下一实验点的位置。为了表示方便，流量用x表示，效率用y表示，于是接下来的实验应在流量为24 L/s时进行。实验表明，在该处离心泵效率h78，该效率已经非常理想了，实验一次成功。187.2 双因素优选法双因素优选问题，就是要迅速地找到二元函数zf(x,y)的最大值及其对应的（x,y）点的问题。假定处理的是单峰问题，也就是把x，y平面作为水平面，实验结果z看成这一点的高度，这样的图形就是一座山。双因素优选法的几何意义是找出该山峰的最高点。图7-8 双因素优选法的几何意义(单峰)7.2.1 对开法在直角坐标系中画出一矩形代表优选范围：axb，cyd。在中线x(a+b)/2上用单因素法找最大值，设最大值在P点。在中线y(c+d)/2上用单因素法找最大值，设为Q点。比较P和Q的结果，如果Q大，去掉x(a+b)/2部分，否则去掉另一半。再用同样的方法来处理余下的半个矩形，不断地去其一半，逐步地得到所需要的结果。优选过程如图7-9所示。需要指出的是，如果P、Q两点