第5章速度和静力.ppt

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1、 1.位置矢量的微分位置矢量的微分 用下面的符号表示某个矢量的微分用下面的符号表示某个矢量的微分:-位置矢量的速度是用位置矢量描述的空间一点的线速度位置矢量的速度是用位置矢量描述的空间一点的线速度.-位置矢量的速度可以通过计算位置矢量的速度可以通过计算Q相对于坐标系相对于坐标系B的微分进的微分进行描述行描述.-速度矢量可以在任意坐标系中描述，其参考坐标系可用左速度矢量可以在任意坐标系中描述，其参考坐标系可用左上标注明上标注明:0()()limBBBBQtdQ ttQ tVQdtt()AABBQdVQdt 速度矢量与空间某点相关，而描述此点速度的大小取决于两个坐标系：一个是进行微分运算的坐标系，

2、另一个是描述这个速度矢量的坐标系.-微分运算的坐标系B，描述速度矢量的坐标系 B:当两个上标相同时，不需要给出外层上标.-微分运算的坐标系A，描述速度矢量的坐标系 B:用相对于参考坐标系的旋转矩阵表示.()ABABQBQVR V()BBBQQVV自由矢量:可能出现在空间任意位置但保持大小和方向不变的矢量.速度、力和力矩矢量是自由矢量。我们讨论的是一个坐标系原点相对于某个常见的世界参考坐标系的速度，而不考虑相对于任意坐标系中一般点的速度，对于这种情况，定义一个缩写符号:式中的点为坐标系 C的原点，参考坐标系为 U.用 表示坐标系 C原点的速度，是坐标系C的原点在坐标系A中表示的速度(尽管微分是相

3、对于坐标系 U进行的).ACvUCCORGvVCv 例子:U 是固定世界坐标系.T固连在速度为 100 mph的火车上.坐标系 C固连在速度为 30 mph的汽车上.两车前进方向为 U的X方向。旋转矩阵 已知并且为常数.30UUUCORGCORGCdPVvXdt1()(100)100CUCCCUTORGTUTUCVvRvRXRX 1()70CTCTUUCORGTCORGCTVR VRRX,UUTCRR 2.角速度 线速度描述了点的一种属性，角速度描述了刚体的一种属性。坐标系总是固连在被描述的刚体上，所以可以用角速度来描述坐标系的旋转运动.描述了坐标系 B相对于A的旋转.的方向就是 B 相对于

4、A的瞬时旋转轴,大小表示旋转速度.ABAB 像任意矢量一样,角速度矢量可以在任意坐标系中描述，所以需要附加另一个左上标,例如 就是坐标系 B 相对于 A 的角速度在坐标系 C中的描述.一种情况下的简化符号:这里,为坐标系 C 相对于某个已知参考坐标系 U的角速度.例如,是坐标系 C 的角速度在坐标系 A 中的描述(尽管这个角速度是相对于 U的).ACC()CABUCC 1.线速度 把坐标系 B 固连在一个刚体上，要求描述相对于坐标系 A 的运动 .坐标系B 相对于A的位置矢量用 和旋转矩阵 来描述.假设方位 不随时间变化，则Q点相对于坐标系A的运动是由于 或 随时间的变化引起的.坐标系A 中的

5、Q点的线速度:适用于坐标系B和坐标系A的相对方位保持不变的情况.ABORGPABORGPABRBQAAABQBORGBQVVR VBQABR 2.角速度 考虑两坐标系重合，相对线速度为零的情况.它们原点始终保持重合.坐标系 B相对于 A的方位随时间变化。B相对于A的旋转速度用矢量 来表示,已知 是坐标系B中一个固定点的位置。Question:从坐标系 A看固定在坐标系 B中的矢量，这个矢量将如何随时间变化?这个系统是否转动？BQAB 假设从坐标系 B看矢量Q是不变的:.从坐标系A中看点Q的速度为旋转角速度 .的微分增量一定垂直于 和 .微分增量的大小为:矢量的大小和方向满足:AAAQBVQ A

6、QABAQ(sin)()AABQQt0BQV ABxxyyzzkkKk 如果 Q 相对于 B是变化的:利用旋转矩阵消掉双上标:3.线速度和角速度同时存在的情况 ()AABAAQQBVVQ AABAABQBQBBVR VR Q AAABAABQBORGBQBBVVR VR Q 1.正交矩阵的导数性质 对任何 的正交矩阵 R，有:求导，得到:定义 ,由此有 .S 是一个反对称阵（skew-symmetric matrix）.正交矩阵的微分与反对称阵之间存在如下特性:.TSRR1SRR()0TTTTTnRRRRRRRRnnTnRRI0TnSS 2.由于参考系旋转的点速度 假定固定矢量 相对于坐标系

7、B是不变的.如果坐标系 B是 旋转的(的微分非零),也是变化的，即使 为常数。引入 的表达式 :利用正交矩阵的性质:旋转矩阵通常称为角速度矩阵.APBPAABAABBPBPR PorVR P1AABAAAPBBBVR PR RPABRBPAAAPBVS PBP 3.反对称阵和矢量积 如果反对称阵 S 的各元素如下:容易证明:(P 是任意矢量).定义 为角速度矢量.因此，得到:这里与 相关的的符号 表明该角速度矢量确定了坐标系 B 相对于 A运动.00,0 zyxzxyyxzSSPP AAAPBVP 4.角速度矢量的物理概念 对旋转矩阵 直接求导:把 写成两个矩阵的组合:式中，在时间间隔 中,绕

8、轴 的微量旋转为 0()()limtR ttR tRt ()R tt()()()KR ttRR t tK3300()()lim()lim()()KKttRIRIRR tR ttt 已知 于是有:1()11zyKzxyxkkRkkkk()xxxyzxzyKxyzyyyzxxzyyzxzzk k vck k vk sk k vk sRk k vk sk k vck k vk sk k vk sk k vk sk k vc0000lim()()zyzxyxtkkkkkkRR tt sin()cos()1 最后，用 除以这个矩阵，并取极限得:于是有:角速度矢量 的物理意义是，在任一时刻，旋转坐标系方位

9、的变化可以看作是绕着某个轴 的旋转。这个瞬时转动轴，可作为单位矢量，与绕这个轴的旋转速度标量 构成角速度矢量。1000zyzxyxRR00()0zyzxyxkkRkkR tkkxxyyzzkkKk tK 操作臂是一个链式结构，每一个连杆的运动都与它的相邻杆有关，由于这种结构的特点，我们可以由基坐标系依次计算各连杆的速度。连杆i+1的速度就是连杆i的速度加上那些附加到关节i+1上新的速度分量.1.角速度 连杆i+1的角速度等于连杆的角速度加上一个由于关节i+1的角速度引起的分量 11111iiiiiiiiiRZ111111iiiiiiiiiRZ 2.线速度 坐标系 i+1原点的线速度等于坐标系

10、i原点的线速度加上一个 由于连杆i的角速度引起的新的分量.在坐标系 i+1中:对于转动关节:对于移动关节:1111111111()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiRvR vPdZ11iiiiiiiivvP1111111111()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiRZvR vP1111()iiiiiiiiiivR vP 从一个连杆到下一个连杆依次应用这些公式，可以计算出最后一个连杆的角速度 和线速度 ，注意，这两个速度是按照坐标系N表达的。在后面可以看到。如果用基坐标来表达角速度和线速度的话，就可以用 去左乘速度，向基坐标进行旋转变换.NN0NRNNv0NNNNvR v0NNNNR 例

11、子:一个具有两个转动关节的操作臂.计算操作臂末端的速度，将它表达成关节速度的函数。给出两种形式的解答，一种是用坐标系3来表示的，另一种是用坐标系0来表示的。221221200 0001 0000 1cslscT22310001 0000 1 000 0 1lT110111000000100001csscT121200123123121200001csRR R Rsc 基坐标系的速度为零:Frame 13:11011100011001100011000,()00RZvRvP 22221 2 11221112111222221 11 2 110000()0 00 0000100100cscsl s

12、lvR vPscscll c 2222122211222222112000000001csRzscz 00000,0v 1 2 11 2 123322233222321 2 11 2 1212120()(00)()000l sl slvRvPRl cl cl 12121 2 11 1 1212120312121 2 12121 1 1212120()0()()00100csl sl sl svscl cll cl c332323322321200RZ 1.雅可比 Jacobian 假设6个函数，每个函数都有6个独立的变量：计算 的微分关于 的微分的函数:11123456221234566612

13、3456(,)(,)(,)yf x x x x x xyfx x x x x xyfx x x x x xjxiy()FYXJ XXX()YF X111112612622221261266666126126fffyxxxxxxfffyxxxxxxfffyxxxxxx 雅可比Jacobian:偏导数矩阵就是雅可比矩阵,这些偏导数都是 的函数 .将上式两端同时除以时间微分，将雅可比矩阵看成是X中的速度向Y中速度的映射:.在任一瞬时，X都有一个确定的值，是一个线性变换。在每一个新时刻，如果X改变，线性变换也会随之而变。所以，雅可比是时变的线性变换.()J X()YJ X Xix66 2.在机器人中的

14、 应用 在机器人学中，通常使用雅可比将关节速度与操作臂末端的笛卡尔速度联系起来:这里 是操作臂关节角矢量，是笛卡尔速度矢量.给雅可比表达式附加上左上标，以此表示笛卡尔速度所参考的坐标系.对于任意已知的操作臂位形，关节速度和操作臂末端的速度的关系是线性的，然而这种线性关系仅仅是瞬时的，因为在下一刻，雅可比矩阵就会有微小的变化.00()vJv 对于通常的6关节机器人，雅可比矩阵是 66阶的矩阵，61的笛卡尔速度矢量是由一个 31的线速度矢量和一个 31 的角速度矢量组合起来的：雅可比矩阵的行数等于操作臂在笛卡尔空间的自由度数量，雅可比矩阵的列数等于操作臂的关节数量。000v 例子:以两连杆操作臂为

15、例,写出该操作臂的雅可比矩阵，该矩阵将关节速度和末端执行器的速度联系起来。We could also consider a 32 Jacobian that would include the angular velocity of the end-effector.1 231 2220()l sJl cll1 2 1331 2 1212()0l svl cl1 1 12 1212031 1 12 1212()()0l sl svl cl c1 12 122 1201 12 122 12()l sl sl sJl cl cl c1121211212coscos()sinsin()BBxllyl

16、lqqqqqq=+=+1112121211121212sinsin()()coscos()()BBdxldldddyldlddq qqqqqq qqqqq=-+=+112122121112122122sinsin()sin()coscos()cos()BBdxlllddyllldqqqqqqqqqqqq轾轾轾-+-+犏犏犏=犏犏犏+臌臌臌另一种雅可比矩阵的计算方法 另一种雅可比矩阵的计算方法，通过对操作臂的运动方程直接微分求雅克比矩阵：这种方法可以直接求得线速度，但得不到 31的方位矢量，而这个矢量的导数就是 .还有很多方法求雅可比矩阵.1231231 12 121231231 12 120000100001BWcsl cl cscl sl sT1 12 121 12 12xl cl cyl sl s1 12 122 1211 12 122 122 l sl sl sxyl cl cl c 3.奇异性 如果这个矩阵是非奇异的，那么一直笛卡尔速度的话，就可以对该矩阵求逆计算出关节的速度:雅可比矩阵可逆性的性质:雅可比矩阵对于所有的 值都是可逆的吗？如果不是，在什么位置不可逆?大多数操作臂