第3讲条件概率.ppt

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1、一、条件概率一、条件概率二、乘法公式二、乘法公式三、全概率公式三、全概率公式四、贝叶斯公式四、贝叶斯公式第第3 3讲讲 条件概率条件概率 例例1 1 在一个盒子中装有大小相同在一个盒子中装有大小相同2020个小球，其中个小球，其中红色小球红色小球9 9个，白色小球个，白色小球1111个，塑料小球个，塑料小球1010个，玻璃小个，玻璃小球球1010个。现从中任取一个小球，试求个。现从中任取一个小球，试求 (1)(1)取出小球是红色小球的概率取出小球是红色小球的概率.(2)(2)取出小球是玻璃小球的概率取出小球是玻璃小球的概率.(3)(3)取出小球既是玻璃小球，又是红色小球的概率。取出小球既是玻璃

2、小球，又是红色小球的概率。(4)(4)如果已知所取小球是玻璃的，那么该小球是红如果已知所取小球是玻璃的，那么该小球是红色小球的概率。色小球的概率。解解 设设A=任取一球该小球是红色小球任取一球该小球是红色小球 B=任取一球该小球是玻璃小球任取一球该小球是玻璃小球 AB=(=(任取一球该小球是既是玻璃小球，又是任取一球该小球是既是玻璃小球，又是红色小球红色小球 红色红色白色白色塑料塑料64玻璃玻璃371120920,9SAVCVC910(),()2020P AP B1110310,3BABVCVC3()20P AB 在第在第4 4问中，任取的小球必须是玻璃的，这就比前问中，任取的小球必须是玻璃的

3、，这就比前3 3问多问多了一个附加条件，也就是已知在了一个附加条件，也就是已知在“事件事件B发生发生”的附加的附加条条件下，求事件件下，求事件A A发生的概率。显然发生的概率。显然13110310CPC3/20()10/20()P ABP B(|)P A B()()P ABP B()(|)()P ABP B AP A 定义定义 设设A、B为两事件，为两事件，P(B)0,0,则称则称为事件为事件B 发生的条件下事件发生的条件下事件A发生的条件概率，记为发生的条件概率，记为P(A|B)，即，即()()P ABP B)()()(BPABPBAP 同理可定义同理可定义事件事件A发生的条件下事件发生的条

4、件下事件B 发生的条件概率发生的条件概率.一一 、条件概率、条件概率性质性质()0P A B q 非负性非负性()1P S B q 规范性规范性 11()iiiiPABP A Bq 可列可加性可列可加性 121212()()()()P AABP A BP ABP A ABq 1212()(|)()P AA BP AABP B12()()P ABA BP B1212()()()()P ABP A BP A A BP B1212(|)(|)(|)P ABP ABP A AB1212()()()()()()P ABP A BP A A BP BP BP B性质性质()0P A B q 非负性非负性(

5、)1P S B q 规范性规范性 11()iiiiPABP A Bq 可列可加性可列可加性 121212()()()()P AABP A BP ABP A ABq(|)1(|)P A BP A B q 12112()()()P AABP A BP A ABq（1）古古 典典 概概 型型 可用缩减样本空间法可用缩减样本空间法（2）其其 他他 概概 型型 用定义与有关公式用定义与有关公式条件概率的计算方法 例例2 某厂生产的灯泡能用某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为小时的概率为0.8,能能用用1500小时的概率为小时的概率为0.4,求已用求已用1000小时的灯泡能用到小时的灯泡能用到1500小

6、时的概率小时的概率 解解 令令 A=灯泡能用到灯泡能用到1000小时小时,B=灯泡能用到灯泡能用到1500小时小时.所求概率为所求概率为)()(APABPABPAB218.04.0)()(APBP解解 令令 A 表示表示“其中其中1张是假钞张是假钞”.B表示表示“2 张都是假钞张都是假钞”由缩减样本空间法得由缩减样本空间法得4/190.2105.P A B 解法正确吗？解法正确吗？例例2 2 从混有从混有5 5张假钞的张假钞的2020张百元钞票中任意抽出张百元钞票中任意抽出2 2张张,将其中将其中1 1张放到验钞机上检验发现是假钞张放到验钞机上检验发现是假钞.求求2 2 张都是假张都是假钞的概

7、率钞的概率.解解 令令 A 表示表示“抽到抽到2 张都是假钞张都是假钞”.B表示表示“2 张中张中至少有至少有1张假钞张假钞”.例例2 2 从混有从混有5 5张假钞的张假钞的2020张百元钞票中任意抽出张百元钞票中任意抽出2 2张张,将其中将其中1 1张放到验钞机上检验发现是假钞张放到验钞机上检验发现是假钞.求求2 2 张都是假张都是假钞的概率钞的概率.则所求概率是则所求概率是 （而不是（而不是 ！）！）.(|)P A B P ABA()()P ABP A22520/CC2112551520()()/P BCC CC()(|)()P ABP A BP B所以所以 25211205152()17

8、CCC C利用条件概率求积事件的概率即利用条件概率求积事件的概率即乘法公式乘法公式()()(|)()0)P ABP A P B AP A()()(|)()0)P ABP B P A BP B推广推广二二 、乘法公式、乘法公式()()(|)(|)P ABCP A P B A P C AB()()(|)P ABCP AB P C AB()(|)(|)P A P B A P C AB证证利用条件概率求积事件的概率即利用条件概率求积事件的概率即乘法公式乘法公式()()(|)()0)P ABP A P B AP A()()(|)()0)P ABP B P A BP B推广推广二二 、乘法公式、乘法公式(

9、)()(|)(|)P ABCP A P B A P C AB12121312121()()(|)(|)(|)nnnP A AAP A P AA P AA AP AA AA 例例3 3 设袋中装有设袋中装有r只黑球只黑球,t 只白球只白球.每次自袋中任每次自袋中任取一只球取一只球,观察其颜色然后放回观察其颜色然后放回,并再放入并再放入a只与所取出的只与所取出的那只球同色的小球那只球同色的小球.若在袋中连续取球四次若在袋中连续取球四次,试求一、二试求一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率次取到红球且第三、四次取到白球的概率.1234()P A A A A1213124123()(|)(|)(|

10、)P A P AA P AA A P AA A A.23trratraratrtatrat 解解(1,2,3,4),iA ii以以表表示示事事件件“第第 次次取取到到黑黑球球”34,.A A那那么么分分表表示示事事件件第第三三、四四次次取取到到白白球球 例例4 4 设某光学仪器厂制造的透镜设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打第一次落下时打破的概率为破的概率为1/2,1/2,若第一次落下未打破若第一次落下未打破,第二次落下打破的第二次落下打破的概率为概率为7/10,7/10,若前两次落下未打破若前两次落下未打破,第三次落下打破的概第三次落下打破的概率为率为9/10.9/10.试求透镜落下三次

11、而未打破的概率试求透镜落下三次而未打破的概率.以以B表示事件表示事件“透镜落下三次而未打破透镜落下三次而未打破”.123()()P BP A A A121312()()()P A P A A P A A A 21110711091.2003 解解(1,2,3),iA ii以以表表示示事事件件“透透镜镜第第 次次落落下下打打破破”例例5 5 盒中装有盒中装有5件产品件产品,其中其中3件一等品，件一等品，2件二等品件二等品,从中不放回地取产品，从中不放回地取产品，每次每次1件件,求第二次取得一等品的求第二次取得一等品的概率概率.解解 令令 A=第一第一 次取到一等品次取到一等品，B=第二次取到一第

12、二次取到一等品等品.()()P BP SB5342534352,.AASAA()()P ABP AB()P AA B()P ABAB()(|)()(|)P A P B AP A P B A三、全概率公式三、全概率公式121212,(i),1,2,;(ii),.nijnnSEB BBEB Bi jnBBBSB BBS 定 定义义 设 设 是是随随机机试试验验 的的样样本本空空间间是是 的的一一组组事事件件 若若则则称称是是样样本本空空间间 的的一一个个划划分分或或者者完完备备事事件件组组1.1.样本空间的划分样本空间的划分1B2B3B1 nBnB1.1.样本空间的划分样本空间的划分2.2.全概率

13、公式全概率公式全概率公式全概率公式三、全概率公式三、全概率公式12,()0(1,2,),niES BEA AASP Ain 定 定理理随随机机试试验验 的的样样本本空空间间为为是是的的事事件件是是 的的一一个个划划分分且且则则1122()()(|)()(|)()(|)nnP BP A P B AP A P B AP A P B AijA A 由由()()ijBABA 12()()()()nP BP BAP BAP BA图示图示B1A2A3A1nAnA证证12nBBSBAAA12nBABABA1122()()()()()()nnP B A P AP B A P AP B A P A 例例6(6(

14、抓阄与次序有是否关抓阄与次序有是否关)五个阄五个阄,其中两个阄内其中两个阄内写着写着“有有”字字,三个阄内不写字三个阄内不写字,五人依次抓取五人依次抓取,问各人问各人抓到抓到“有有”字阄的概率是否相同？字阄的概率是否相同？解解,5,4,3,2,1 i,52)(1 AP2121121()()(|)()(|)P AP A P AAP A P AA则有则有,iAi设设表表示示“第第 人人抓抓到到有有字字的的阄阄”42534152 ,52 由全概率公式由全概率公式 第三个人抓到有字阄的可能性受到前两次抓取情况的第三个人抓到有字阄的可能性受到前两次抓取情况的影响，而前两次抓取的所有可能情况如下：影响，而

15、前两次抓取的所有可能情况如下：21121212,A A A AA A A A并且构成样本空间的一个划分。并且构成样本空间的一个划分。由全概率公式由全概率公式22312312131()()(|)()(|)P AP A A P AA AP A AP AA A1112122323()(|)()(|)P A A P AA AP A AP AA A111122233232222255551120333C CC CCCCCCC,52 依此类推依此类推.52)()(54 APAP故抓阄与次序无关故抓阄与次序无关.说明说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的

16、概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问题题 ,最后应用概率的可加性求出最终结果最后应用概率的可加性求出最终结果.例例7 7 有一批同一型号的产品有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的已知其中由一厂生产的占占 30%,二厂生产的占二厂生产的占50%,三厂生产的占三厂生产的占 20%,又知这三又知这三个厂的产品次品率分别为个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？任取一件是次品的概率是多少？,1,2,3.iBii 事事件件表表示示“任任取取一一件件是是第第 厂厂的的产产品品设事件设事件A为为“任取一件为次品任取一件为次品”,解解,2.0)(,5.0)(,3.0)(321 BPBPBP,01.0)(,01.0)(,02.0)(321 BAPBAPBAP,321SBBB 由全概率公式得由全概率公式得从这批产品中任取一件是次品的概率从这批产品中任取一件是次品的概率为为：S30%20%50%2%1%1%,1,2,3.ijB Bi j 又又.013.02.001.05.001.03.0