第2章 单自由度系统计算固有频率的能量法.ppt

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1、 返回首页 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-Theory of Vibration with Applications 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-2 返回首页Theory of Vibration with Applications 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-3 返回首页Theory of Vibration with Applications 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-4 返回首页Theory of Vibration with Application

2、s 0 kxxm 在上面方程的两边乘以txxd/d，得到 0ddddtxkxtxxm 上式的物理意义是惯性力的功率与弹性力的功率之和为零。可以改写为 0dd2122tkxxm 令 2T21xmE，221kxU 它们分别是系统的动能和势能。因而 常数EUET 由此可见，无阻尼自由振动时，振动系统为一保守系统，总机械能在运动中保持不变。等于系统初始时刻的总机械能。等于系统初始时刻的总机械能。第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-5 返回首页Theory of Vibration with Applications 位移函数 )cos(ntAx 系统动能

3、 tAmTn222nsin21 系统势能 tkAUn22cos21tAmTn222nsin21 系统势能 tkAUn22cos21 机械能守恒 222max21nnTTmAE2max21kAUTE注：以上动能、势能均是振动系统振动元件的动能、势能注：以上动能、势能均是振动系统振动元件的动能、势能 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-6 返回首页Theory of Vibration with ApplicationsTUnmax2瑞利商：瑞利商：maxmaxUET注：以上表达式中的质量、刚度均是等效质注：以上表达式中的质量、刚度均是等效质量与等效

4、刚度量与等效刚度 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-7h解：取平衡位置为势能零解：取平衡位置为势能零点，此时弹簧的弹性势能点，此时弹簧的弹性势能与与m的重力势能之和为零。的重力势能之和为零。在振动的初始位置，系统在振动的初始位置，系统的动能为零，总机械能等的动能为零，总机械能等于系统的势能。于系统的势能。P18例例2.3 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-8hmkhmlmgmgklklklmghmlkE2222212121)()(21)sin()cos(txtx初始状态系统总机械能为：初始状态系统总机械能为：运动微分方程的解为：运动微分

5、方程的解为：第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-9由机械能守恒定律得：由机械能守恒定律得：hmkhmtktrJm2222221)cos(21)sin(212max2222121kUrJmrT由瑞利商得：由瑞利商得：JmrkrTU22max2 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-10阻尼自由振动阻尼自由振动 返回首页Theory of Vibration with Applications 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-引言引言 什么是阻尼？“阻”和“尼”均有“阻碍”、“阻止”的意思 阻尼是用来度量系统自身消耗振动能量的物理量。在理论分析中最常用的阻尼是气体和液体的粘性阻

6、尼，它是由于气体或液体在某些机械部件中运动，因而扩散到气体或液体中的热量等能量耗散的度量。第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-12 返回首页Theory of Vibration with Applications 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-引言引言 比如汽车上常用的液压筒式减振器，其内部的工作缸被活塞分成上下两腔，并充满液体。当活塞与工作缸有相对运动时，强迫液体经过活塞上的阀在上下腔运动，液体经脱阀时产生的阻力，使运动能量变为热能耗散掉。第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-13 返回首页Theory of Vibration with Applications 第

7、第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-引言引言 振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。振动系统的无阻尼振动是对实际问题的理论抽象。如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在如果现实世界没有阻止运动的话，整个世界将处在无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有无休止的运动中。客观实际是和谐的，有振动又有阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。阻尼，保证了我们生活在一个相对安静的世界里。最常见的阻尼是最常见的阻尼是 粘性阻尼粘性阻尼viscous damping 库仑阻尼（干摩擦阻尼）库仑阻尼（干摩擦阻尼）Coulomb damping 结构阻尼结构阻尼structural dam

8、ping 我们将着重讨论粘性阻尼，如果没有特殊说明，有我们将着重讨论粘性阻尼，如果没有特殊说明，有阻尼系统就是粘性阻尼系统。阻尼系统就是粘性阻尼系统。第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-14若物体以较大速度在空气或液体中运若物体以较大速度在空气或液体中运动，阻尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在粘动，阻尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在粘性介质中运动（包括两接触面之间有润滑剂时）可以性介质中运动（包括两接触面之间有润滑剂时）可以认为阻尼与速度成正比。认为阻尼与速度成正比。xcFc它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米/秒(Ns/m)。返回首页Theory of Vibr

9、ation with Applications 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-引言引言图示为一有阻尼的弹簧图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模质量系统的简化模型。以静平衡位置型。以静平衡位置O为坐标原点，选为坐标原点，选x轴铅直轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动微分方程向下为正，有阻尼的自由振动微分方程 kxxcxm 022xxnxn 返回首页Theory of Vibration with Applicationsmkn22ncm衰减系数，单位1/秒(1/s)方程的解为方程的解为 rtex 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-运动微分方程运动微分方程22nnnr)ee(e2

10、22221tntnntnnCCxnrr21)(e21tCCxnt022 xpxnxn 运动微分方程运动微分方程 222221nnnnrnnr 返回首页Theory of Vibration with Applications 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-运动微分方程运动微分方程0222nnrr临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。发生变化的重要临界值。设设cc为为临界阻尼系数临界阻尼系数，由于，由于z z=n/n=1，即，

11、即kmmnmcnc222z z 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是z z 称为阻尼比的原因。称为阻尼比的原因。znncnmnmcc22cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由只取决于系统本身的质量与弹性常量。由 返回首页Theory of Vibration with Applications 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-运动微分方程运动微分方程 返回首页Theory of Vibration with Applications具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。因此质量统。因此质量

12、m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现反弹，应要求发射后以最短的时间回到原射炮弹时要出现反弹，应要求发射后以最短的时间回到原来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种要求。要求。第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-运动微分方程运动微分方程tntnCCx21-2-1ee1zznnrnnz

13、z1z1Otxnrr21)(e21tCCxnt 返回首页Theory of Vibration with Applications 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-运动微分方程运动微分方程dnrzj（nn）dndnnnnrnnnrjjjj222221。，221jnnd)sincos(e21tCtCxddnt其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t=0时，可解00 xxxx，dxnxC002C1=x0 返回首页Theory of Vibration with Applications 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-运动微分方程运动微分方程000220020t

14、an)(nxxxnxxxAdd)sin(etAxdnt初相位角 振 幅阻尼振动振幅；ntAe 这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。衰减运动的频率为衰减运动。衰减运动的频率为 d，衰减速度取决于衰减速度取决于 zn，二者分二者分别为本征值的虚部和实部。别为本征值的虚部和实部。返回首页Theory of Vibration with Applications 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-运动微分方程运动微分方程衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。

15、有阻尼的自由振动视为准周期振动。)sin(etAxdnt 返回首页Theory of Vibration with Applications 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-衰减振动衰减振动221)(1122zTnTndddT=2p/n为无阻尼自由振动的周期。欠阻尼自由振动的周期欠阻尼自由振动的周期Td：物体由最大偏离位置起经过物体由最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常z 很小，阻尼对周期的影响不大。例如，当z=0.05时，Td=1.00125T，周期 Td 仅增加

16、了 0.125%。当材料的阻尼比 z1时，可近似认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。返回首页Theory of Vibration with Applications 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-阻尼对振动周期的影响阻尼对振动周期的影响设衰减振动经过一周期Td，在同方向的相邻两个振幅分别为Ai和Ai+1，即)(sine)sin(e)(1didTtniidntiTtAAtAAdii两振幅之比为dnTiiAAe1称为振幅减缩率或减幅系数。如仍以z=0.05为例，算得 ,物体每振动一次，振幅就减少27%。由此可见，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰减却非常显著，它是按几何级数衰减的。37.1ednT 返回首页Theory of Vibration with Applications 第第2 2章章 单自由度系统单自由度系统-阻尼对振幅的影响阻尼对振幅的影响振幅减缩率的自然对数称为对数减缩率对数减缩率或对数减幅系数，以 表示lnz2例例 在欠阻尼（在欠阻尼（z z 1）的系统中，）的系统中，在振幅衰减曲线的包络线上，已测在振幅衰减曲线的包络线上，已测得