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1、课题:3.4基本不等式基本不等式 2abab第一课时1.1.课题导入课题导入基本不等式2abab的几何背景:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?2.讲授新课讲授新课 1探究图形中的不等关系 在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为22ab22ab 这样,4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:222abab探究图形变化过程222abab
2、当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有 2得到结论:22,R,2()a bababab一般的,如果那么当且仅当时取号3思考:你能给出它的证明吗?证明:因为 2222()ababa b22,()0,()0abababab当时当时222()02ababab所以,即 特别的,如果a0,b0,我们用 分别代替a、b,可得 通常我们把上式写作 2,abab(a0,b0)(a=b2abab当且仅当时,式中取等号),ab2abab41)认识基本不等式只要证 a+b (2)要证(2),只要证 a+b-0(3)要证(3),只要证(-)20(4)显然,(4)是成立的。当且仅当
3、a=b时,(4)中的等号成立。用分析法证明:要证 2abab(1)2 2)从不等式的性质推导基本不等式2aba b2 ab2 abab3、例题讲解、例题讲解例1 已知x、y都是正数,求证:(1)2;yxxy分析分析:在运用定理:时,注意条件a、b均为正数,结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件),进行变形.2abab解:解:x x,y y都是正都是正数数 0,0 xyyx2xyxyyxyx=22xyyx即(当且仅当x=y时,式中取等号。)(2)(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.解:解:x x,y y都是正数都是正数 xy2 0 xy x20,y20,x30,y30 x2y22 02
4、2x y x3y32 033x y(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3 即(xy)(x2y2)(x3y3)x3y3.xy22x y33x y2 2 2(当且仅当x=y时,式中取等号)(当且仅当x=y时,式中取等号)4.随堂练习随堂练习 1.已知a、b、c都是正数,求证(ab)(bc)(ca)abc 分析分析:对于此类题目,选择定理:2abab(a0,b0)灵活变形,可求得结果.解:解:a a,b b,c c都是正数都是正数 bc2 0bcca2 0 ac(ab)(bc)(ca)即(ab)(bc)(ca)abc.=8abcab2 0abab2 2 2bcac(当且仅当a=b=c时,上式取等号)本节课,我们学习了重要不等式a2b22ab;两正数a、b的算术平均数(),几何平均数()及它们的关系().它们成立的条件:(1)、前者只要求a、b都是实数,而后者要求a、b都是正数.(2)、当且仅当a=b时,以上两式取等号。它们既是不等式变形的基本工具,又是求函数最值的重要工具。2abab2abab 5.课时小结