最新版圆锥曲线专题17之6 圆锥曲线与圆综合.docx

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1、专题6桂圆武学圆锥曲线与圆综合一点一线走江湖，一直一曲看题图.一切一交定长短，一圆一椭解算数.有点，有线，有直，有曲，构成了圆锥曲线最后的篇章.它们盘根交错，融入切割，集合三角，承载圆幕，填补上圆锥曲线基础部分的最后一片空白.奇思，妙想，巧解，妙算，如何突破自我，方法尽在其中.第一讲圆的基本性质圆的基本性质包括对角互补，同弧对应的圆周角相等，垂径定理，直径对的圆周角是直角等等，这些性质经常穿插在小题及大题中往往能起到很好串联题目条件的作用.【例1】（东湖区三模）设mR,己知直线2x-y-=0（?HO）与双曲线一二=l（qO,人0）的a-b-两条渐近线分别交于点用和N,若点。2加，0）满足IQM

2、=IQN,则该双曲线的离心率为（）A/R4r9DMA.V2D.C.2D22【例2】如图：已知A,B是圆X2+V=4与3轴的交点，P为直线/:x=4上的动点，PA,PB与圆V+丁=4的另一个交点分别为M,N.若直线MN过定点，则该定点的坐标为.92【例3（定海区模拟）已知厂为双曲线氏方=叱。）的左焦点，过点尸的直线与圆0:/+丁=；（片+/）于八，8两点（A在广，8之间）,与双曲线E在第一象限的交点为P，。为坐标原点,若FA=BP,ZAo8=120，则双曲线的离心率为（）Br14r13+2n14+2A.B.C.D.333322【例4】（沙坪坝区期末）已知双曲线C:I-I=60）的右焦点为尸，以尸

3、为圆心，。为半径的a2b2圆与它的一条渐近线相交于P、。两点，O为坐标原点，若OP=PQ,则C的离心率为（）A.叵B,3C.叵D.巫343【例5】（厦门模拟）已知抛物线C:V=2p（p0）的焦点为尸，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心，用为半径的圆交C的准线于8,D两点,且A,尸，8三点共线，则直线A厂的斜率为（）A.B.C.2D.33222【例6】（宁德二模）已知椭圆U+=l,圆4f+y2-3x-y+2=0,P,Q分别为椭圆。和圆4上的点，F（-2,0）,则IpQMP目的最小值为（）A.4-B.8-3式C.4-2D.8-应2第二饼直线和圆的基本关系直线和圆位置关系核心问题是直线和圆相切，切

4、线与切点处的半径垂直，以及圆心到切线的距离等于半径是其中两条最重要的性质，双切线形成的筝形和切点弦也是经常考查的方向之一.【例1】（湖北模拟）抛物线C:Y=2py（p0）的焦点/与点N（g,0）的连线为直线4,直线4与抛物线C在第一象限交于点例.若抛物线C在点M处的切线&垂直于直线y=-2x,则以点N为圆心且与直线4相切的圆的标准方程为（）a/8、，5d/8、，25au+-）+r=-B.u-）-+r=-,8-21c/8,-1CX+3+v=3D，X?+=3【例2】已知椭圆工+工=1的左右焦点分别为尸-F2,点P在直线X-Gy+8+2/=0上，当NFlP尸2最【例3】已知抛物线C:V=4.y,焦点

5、为尸，圆-2+y2+4y+=0（a0）,过尸的直线/与C交于A,8两点（点A在第一象限），且M=44尸，直线/与圆M相切，则=（）Ano211raA.0B.CD.355【例4】已知点Q在椭圆上十二=1上运动，过点。作圆（X-I）?+V=1的两条切线，切点分别为A,B,84则IABl的最小值为（）a256c6d263433【例5】（龙岩模拟）已知抛物线:丁=jx和圆G：。-6）2+（y-1）?=1,过圆G上一点P作圆的切线MN交抛物线G于M,N两点，若点尸为MN的中点，则切线MN的斜率R1时的直线方程为（）A.4x-3y-22=0B.4x-3y-16=0C.2x-y-ll+5=0D.4x-3j-

6、26=022/2,2【例6】（河南二模）已知椭圆。|：+马=13人0）与圆。,：_?+9=上_,若在椭圆G上不存在点尸,ab4使得由点尸所作的圆。2的两条切线互相垂直，则椭圆G的离心率的取值范围是（）A. (0,B. (0,C.，1)D冷D第三饼三角形的内切圆与旁切圆关于三角形的内切圆与旁切圆有以下两个重要性质1焦点在X轴上的双曲线焦点三角形内切圆的圆心一定在直线x=a上2焦点在X轴上的椭圆焦点三角形旁切圆的圆心一定在直线X=M上当椭圆和双曲线的焦点在），轴上时也有类似的结论.三角形任意一个顶点到内切圆与该顶点所在两条边的切点距离相等（本质上是切线长定理），这一结论在内切圆与旁切圆中也经常使用

7、【例1】（湖北模拟）已知椭圆C：E+二=l（abO）的左、右焦点分别为耳，居，点尸为椭圆C上不与ab左右顶点重合的动点，设/,G分别为鸟的内心和重心.当直线/G的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为.推论1：椭圆焦点三角形内心为/,重心为G,若/G的倾斜角不变，则倾斜角为0或巴2推论2：对于椭圆+=1其焦点三角形内心的轨迹方程为+上卫姿=1（其中e是椭圆离心率）推abaebe导的过程和上题一样，在这里就不重复了.22【例2】（湖南月考）己知点P是双曲线=-=l（0,匕0）右支上一点，6（-c,0）,（c,0）分别是CTb-双曲线的左右焦点，/为P耳人的内心，若Sg=*s%F+S%,

8、则双曲线的离心率为（）A.6B.3C.2D.322【例3】（全国高中联赛一试B卷）如图，设椭圆+斗=1（400）的左右焦点分别为白，E，过点b尸2的直线交椭圆于A（再，y）,B（X2,丫2）两点、。若A片8内切圆的面积为万，且回-力|=4，则椭圆的离心率为.于一条渐近线的直线交双曲线于点A,若4A耳用的内切圆半径为2,则双曲线的离心率为（）“2v2【例5】（安庆模拟）已知，居分别为双曲线C:：-J=I的左、右焦点，过点K的直线与双曲线C的ab右支交于A,8两点，设点”（%,%）,G（%,%）,分别为AF1F2,的内心，若I%1=3LyGI，则双曲线离心率的取值范围为（）A.2,+）B.（1,C

9、.（1,2D.（1,2）【例6】（南充模拟）已知lm80）的右焦点.过点尸的直线交两渐近线于A,8两点，若C的离心率e = 2,过尸2的直线与双曲线C的右支于A、8两点（其中A点在第象限），设点M、N分别为百鸟、ABFiF2的内心，则IMM的范围是.（用只含有。的式子表示）第8许圆幕定理在圆锥曲线中的应用我们先看下平面几何中的两个定理相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等.如图，弦AB和CD交于。内一点尸，贝l尸8=PCFD.切割线定理：如图，在Oo中，AB是）0的切线，Ao是二。的割线，则题意中满足AB2=ACAD.如图，在。中，RS和PC。是。的两条割线，则题意中满足

10、QAP4=PCPD.以上两条分别称为切线定理和割线定理，统称为切割线定理.圆嘉定理是相交弦定理和切割线定理的合称，在平面几何中有着重要的用途，那么在解析几何中有时候也会不经意之间出现在题目中，细心观察还是可以发现其中的奥妙，为了统一形式，我们可以这样定义圆界定理：过平面上一个定点任作一直线与半径为R的定圆交于力,8两点，则加4MR为定值&(这里MA,MB表示有向线段的数量)，并且R=OM2-代.定值A叫做点M关于圆0的福，简称圆寨.当点M在圆内时，&0,易得割线定理、切线长定理、切割线定理.圆鬲定理在圆中的应用【例1】如图，在平面直角坐标系Xoy中，已知点A(-1,0),点P是圆0:产+9=4

11、上的任意一点，过点8(1,0)作直线BT垂直于AP,垂足为7则2Q4+3PT的最小值是.【例2】(2015全国1文)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线/与圆。:。-2)2+(丁-3)2=1交于何、N.(1)求女的取值范围；(2)OMON=2f其中O为坐标原点，求IMN圆中可以用圆幕定理，圆锥曲线中是否也存在呢？推广到圆锥曲线圆嘉定理：圆锥曲线是平面在正圆锥面上所截得的曲线，圆是圆锥曲线的特殊情形.受此启发，现把圆累定理推广到椭圆、双曲线及抛物线上.圆幕定理在椭圆上的推广椭圆嘉定理定值A叫做点M关于此椭圆的寨,过平面上一个定点妣任作一直线与椭圆马+耳=1交于48两点，%为平行于47的半径，则约

12、华a2b2OC2为定值女(这里也监，宓表示有向线段的数量)，并且上简称椭圆号.圆鬲定理在双曲线上的推广双曲线幕定理过平面上一个定点任作一直线与双曲线J-=l交于A,B两点，OC为平行于AB的半径，则U吧为定值k(这里M4,MB,Oe表示有向线段的数量)，并且左=E-%-1.定值&叫C0a-b做点M关于双曲线的累，简称双曲线嘉.双曲线嘉定理的证明与椭圆嘉定理的证明完全类似，并由此定理易得双曲线上的相交弦定理、割线定理、切线长定理及切割线定理.圆幕定理在抛物线上的推广抛物线界定理过平面上一个定点M,任作一直线与抛物线V=2px（p0）交于48两点，为平行于4?的焦点弦或的长，则约M.为定值1（这里

13、MA,表示有向线段的数量），并且定值上叫I2做点M关于此抛物线的厚，简称抛物线早.以上为圆幕定理的过定点形式，除此之外圆幕定理还有另外一种更加统一的形式：倾斜角固定的圆幕定理:设圆锥曲线E（标准方程），倾斜角为定角的动直线4与圆锥曲线E交于不同的两点A、B.（1）设倾斜角为定角尸的动直线A与圆锥曲线E相切于点丁，与直线/交于点则存在常数，22使得|P7?=PAHPBl成立；（可以这样来记忆，。的手写体有点像2,所以交于两点I-/夕的那条线的倾斜角为。）（2）倾斜角为定角4的动直线U与圆锥曲线E交于不同的两点C、。与直线（交于P,则存在常数ZIjYCoS：,使得IPAl.P5=RPC.IPQI成

14、立.1-ecos以上两个公式均可用直线参数方程证明，高等几何教材里有相关内容，在这里略去.【例3】（陆良县月考）已知椭圆。:三+=1（。力0）的左右焦点分别为E，K，离心率为:，椭圆C上的点M（l,）到点E，6的距离之和等于4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点P（2,1）的直线/与椭圆。相交于不同的两点A,B,满足PApB=PM2?若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.【例4】（南京二模）在平面直角坐标系中，焦点在X轴上的椭圆C:二+与=1经过点S,2e）,其中e为椭8Zr圆C的离心率.过点7（1,0）作斜率为A伏0）的直线/交椭圆C于A,8两点（A在X轴下方）.（1）求椭圆C的方程；（2）过原点。且平行于/的直线交椭圆C于点W,N,求4Z岑的