挖真题价值 探解题策略 论文.docx

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1、挖真题价值探解题策略摘要:“函数”是初中阶段数与代数领域的三大主题之一,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物性质、关系和规律的关键内容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学语言表达现实世界的重要载体。义务教育数学课程标准(2022年版)中关于二次函数领域的课程内容要求有:会通过分析实际问题情境确定二次函数的表达式,体会二次函数的意义;会用配方法将数字系数的二次函数表达式化为顶点式形式,能由此得出二次函数图象的顶点坐标,得出二次函数的最大值或最小值,并能确定相应自变量的值,解决简单的实际问题。关键词:二次函数的应用,数学模型,配方法,最大值引言:中考试题是命题者精心打磨的作品,

2、具有典型性、针对性,研究并挖掘其蕴含的价值是一件重要且有意义的事。通过四天的阅卷工作,笔者完成了2022年合肥市中考数学第23题近万份的阅卷任务,感触颇深。本文以2022年安徽省初中学业水平考试第23题为例,以义务教育课程方案(2022年版)和义务教育数学课程标准(2022年版)为依托,探究二次函数的综合应用问题,形成解决此类问题的一般思路,发挥此题的最大功效,有效提升学生的综合应用能力。一、原题呈现如图1,隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成,矩形的一边BC为12米,另一边AB为2米。以BC所在的直线为X轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xyf规定一个单位长度代表

3、1米。E是抛物线的顶点。(1)求此抛物线对应的函数表达式;rR(2)在隧道截面内(含边界)修建“”型或“”型栅栏,如图2、图3中粗线段所示,点出,j在X轴上,MN与矩形PPPP1.234的一边平行且相等。栅栏总长为m图中粗线段PP2,PPPP34,MN长度之和.请解决以下问题:(i)修建一个“”型栅栏,的横坐标为w( 0 Zn6 ),求栅栏总长与如图2,点2P,3P在抛物线AED上。设点IPER加之间的函数表达式和的最大值;(ii)现修建一个总长为18的栅栏,有如图3所示的“”型或“”型两种设计方案,请你从中选择一种,求出该方案下矩PPP尸面积的最大值,及取最大值f1.1234时点I的横坐标的

4、取值范围(I在4右侧)。PPP二、试题分析本题是2022年安徽省中考试题第23题,与往年安徽省压轴题命制不同的是,今年的压轴题是一道二次函数应用题,题目有较强的实际应用价值,要求考生具有利用函数模型分析问题和解决问题的能力。本题主要考查二次函数解析式的求法、通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式、求二次函数最大值或最小值以及函数综合应用等。主要考查学生代数运算能力、函数综合应用能力和数形结合等思想。本题共两小题、三小问。第(1)题和第(2)题的(i)问难度不大,但第(2)题的(ii)问有一定难度和区分度。(1)问考查了用待定系数法求二次函数解析式,比较基础简单。(2)问考查了在实际情境中列

5、二次函数关系式、用配方法或用公式求二次函数最值以及取值范围的判断,考查问题综合而全面。并且(i)(ii)两问既有联系又有区别,难度逐层递进,需要考生仔细审题,认真思考辨别。其中(i)问己知条件两点PP23在抛物线上,自变量是点P的横坐标,因变量是栅栏总长度,需要用坐标去表示长度,进而求长度的最值;(ii)问给定了栅栏的总长度,并且给出了两种符合实际的设计方案供考生选择,比较灵活多样。但此时已知条件中未给出两点PP在抛物线上,因变量是矩形面积,没有给出自变量,考生可以自行选择合适的自变量,可以设坐标表示面积也可以设长度去表示面积。在列出相应的函数关系式求出面积的最值后还要根据“栅栏要在隧道内部”

6、这一事实求出题目要求的点;横坐标的取值范围。三、解法分析1.第(1)问解法展示:思路1设顶点式解法1设抛物线对应的函数表达式y=ax2+cf由题意知E(8,0)0(2,6在抛物线上,C,8482,解得Q1.yc8yIx28以抛物线对应的函数表达式为思路2设一般式解法2设抛物线对应的函数表达式yr2bxc,由题意知为E,解得(8,00(2,6),A2,6在抛物线上,故c=8,364+6b+=2,36a-6b=28.f所以抛物线对应的函数表i大式为V思路3设交点式经过平移后的形式解法3设抛物线对应的函数表达式y。(X6)62,由题意知比8,0在抛物线上,故36。28,解得 1听以抛物线对应的函数表

7、达式为y1 2 8.2.第(2)问(i)解法展示:3Iw2 8即所注:本题也可不配方,直接用公式求抛物线的对称轴进而求出二次函数最值。3.第(2)问(ii)方案一解法展示:P3NP2P4MP1.图4方案一示意图思路1设竖直长度解法1设PPh,则PP183,于是面积S(13)-3218,配方得S3(/?3227,所以当3时,S取得最大值27。此匕尸,3PP9.在函数nF41Py.?8欠y3,?X印二因为印一30-9,铲河为点横坐标的最大值,同为点4P横坐标的最小值,所以点横坐标的取值范围是YP95X30-.VV思路2设水平长度一解法2设“a,则18-PP于是面积S18_Ia26at配方得S9)2

8、27,所以Q9时,S取得最大值27,此P尸9,PP.3下同法Xa当时14i2Io感路3同时设竖直和水平长度解法3PPa,PPb,3b18,浚1223于是面积Saba3)3a218.下同法1。思路4设点坐标解法4P(4,A),则P尸,PzP18-30.于是面积Sb(13)3b2183b327下同法1。Cf方案二解法展示:图5方案二示意图思路1设竖直长度解法1设。尸2,则PP 1.o 2)9 h ,于是面S h (II 4(18积Q方得S ( h 二3 ,所以HS取得最大3此时二小 当 值 h)-h2 9h ,配在函数19y.2 8中令y I ,度X后.因为疝212-,所以场为点I横坐标的最大值,

9、2?为点力横坐标的最小值,所以点IP横坐标的取值范围是-21X历.2思路2设水平长度、思路3同时设竖直和水平长度、思路4设点坐标同方案一可得。四、典型错误分析1.在第(1)问中,在解方程3682时,将。误算成了-6;2 .在第(1)问中,将抛物线解析式设成错误形式:ya(x6)(x6);3 .在第(2)问(i)中,对于“粗线段”审题不清,将尸产4也计算在内,或者漏加了粗线段MN的长度;导致最值求错;5 .在第(2)问(ii)中,误把点N当做P(P)的中点,用特殊情况计妞曰&_皆不具有獗性;没有用祷式或者文字语言说明栅栏在隧道截面内(含边界),如:因为30309,所以30为点:横坐标的最大值,3

10、0为点4尸横坐标的最小值;6熹(2)Hii)中,忽略“含边界”,导致最后横坐标的范围未加等号,如写成:9-3030O五、4学思考1 .数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用。数学素养是现代社会每一个公民应当具备的基本素养。数学教育承载着落实立德树人根本任务、实施素质教育的功能。根据义务教育数学课程标准(2022年版)中确5立的核心素养导向的课程目标:以学生发展为本,以核心素养为导向,进一步强调学生“四基”的获得与发展、“四能”的发展与运用,形成正确的情感、态度和价值观。数学课程要培养的学生核心素养,主要包括以下三个方面:会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思

11、维思考现实世界,会用数学的语言表达现实世界(简称“三会”)。同时这也是数学教育的终极目标。2 .积极促进信息技术与数学课程的融合。合理利用现代信息技术,提供丰富的学习资源,设计生动的教学活动,改进教学方式,促进学生学习方式转变。如在二次函数的课堂教学中,可通过几何画板软件来研究函数图象,形象直观,同时几何画板的数学功能可以直接显示参数a,h,k值变化时函数图象的变化情况,从而清楚地发现二次函数的性质,这样会大大激发学生的求知欲和学习热情,并感受到用计算机解决实际问题的优势。3 .“函数”是初中阶段数与代数领域的三大主题之一,是学生理解数学符号,以及感悟用数学符号表达事物性质、关系和规律的关键内

12、容,是学生初步形成抽象能力和推理能力、感悟用数学语言表达现实世界的重要载体。在函数的教学中,要通过对现实问题中变量的分析,建立两个变量之间变化的依赖关系,让学生理解用函数表达变化关系的实际意义;会用函数表达现实世界事物的简单规律,经历用数学语言表达现实世界的过程,提升学习数学的兴趣,进一步发展应用意识。按教材的编排方式,函数的学习是从问题中来到问题中去的过程。这也体现了数学理论来源于实际又反过来服务实际。教学中要引导学生审清题意,仔细分析问题,经历探索解决实际问题的过程,体会二次函数是解决最优化问题的数学模型之一,进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验,感受数学模型的思想和数学的应用价值。4

13、 .重视学生运算能力的培养,从七年级开始就要狠抓计算,尤其是七下,要通过设置科学有效的计算练习等巩固运算。形成规范化思考问题的品质,养成一丝不苟、严谨求实的科学态度。本次阅卷中遇到书写工整规范的试卷寥寥无几。教师在平时的作业、练习中就要强调学生字迹要清晰,书写要工整规范,严谨有序地表达解题过程,使学生养成良好的书写习惯。在初三的最后阶段,师生不能盲目押题,要关注“四基”、“四能“、“三会”和通性通法的考查,培养学生扎实的数学功底。-W5t1中华人民共和国教育部:义务教育数学课程标准(2022年版)M.北京:北京师范大学出版社2022年版.2中华人民共和国教育部:义务教育课程方窠(2022年版)M.北京:北京师范大学出版社2022年版.

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