抛物线的光学性质—— 课本阅读与思考带给我们的收获 论文.docx

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1、抛物线的光学性质课本阅读与思考带给我们的收获在人教A版选修1-1的第二章圆锥曲线的章末有一节阅读与思考,介绍了圆锥曲线的光学性质与实际应用,这给我们解决圆锥曲线的问题提供了一些新的思路.本文就抛物线的光学性质做了些尝试与探究,并用其结果来解决高考题,在此与大家一起分享.1、 预备知识1.1、 抛物线轨迹问题已知A(-a,O),B(a,O)(aO)为两个定点,过A作直线/垂直于X轴,在/上任取一点M,过M作/的垂线,若MB的垂直平分线交/于P,求P的轨迹.解:由条件可知P至心与到B点的距离相等,根据抛物线的定义得P点的轨迹为抛物线,其方程为y2=4ax(a0).1.2、 在1.1的前提下,为抛物

2、线的切线证明:(1)、当点M与点A重合时,显然成m.y立,I、设M(-a,t),其中BO,则=-2a,且MB的中点坐标为(0,-2/、-,.OBX故/方程为y=。2.联立方程组y=2a一2得tx2-2a+4=0,判别式。,所以为抛物线的切缘1.3、 抛物线的光学性质与证明抛物线的光学性质:一束平行于抛物线轴的光线,经过抛物线的反射,反射光线必经过焦点证明:如右图所示,光线PM平行于X轴照射到抛物线上,过M作M1.垂直于准线,由1.2可知,垂直平分MiF,过M作MN垂直于所以MNMF,有故可得PMNP1,NMFMFMI根据抛物线定义,M所以有PMIF,故有PMNMF,即入射角等于反射角,得证N2

3、、 抛物线的切线性质2.1、 过抛物线准线上一点作抛物线的两条切线,则两切点与焦点在同一直线上证明:如图,已知点P是抛物线C:y22px准他上一点,过P作抛物线的两条切线PA、PB,切点为A、B,过A、B作准线的垂线,垂足An,为Bx另由抛物线定义得AbAA,所以有PAFP4,故得PAA PFA 90,由抛物线的光学性质有PAAPAF,同理可得PBBPFB90,所以有A、F、B三点共线.2.2、 过抛物线准线上一点作抛物线的两条切线,则两切线互相垂直,且该点与切点连线垂直于两切点所在直线证明:如图,已知点P是抛物线y2Ipx准线上一点,C:过P作抛物线的两条切PA.PB,切点为A、B,线由2.

4、1证明过程可得PFAPFB900,所以有PFA8,由PAFPAA,APFAPA,同理可得BPFB尸8,所以乙APB=9Oo,即PAPB.3、 光学性质的应用例1、(2005江西理科22改编)如图,设抛物线C:y2X的焦点为F,动点P在直线Xy20上,过P作抛物线的两条切线PA、PB,切点为A、B,证明:PFAPFB证明、(1)、当在准线上时,由2.1、2.2可得八、F、B三点共线,且AFPBFP90;(2)、当不在准线上时,假设在准线上方,过A、B作准线的垂线,垂足Ai、,由抛物线的光学性质有PAAPAF,为R.I另由抛物线定义得ARAA,所以有PAFPAA,故得PAAPFA,同理可得PBBPFB,连接PA、I易得A1.PB,所以有PABPBA,因而PAAP8B,即PFAPFB同理当在准线下方时依然成立.参考文献1数学选修1T.人民教育出版社,20072钟芳、吴首飞,抛物线定义的引入-基于抛物线光学性质的探讨.中学数学教学参考J,2019(03)51-523张润泽,关于抛物线光学性质的探索.福建中学数学J.2003(07)19-20

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