变化率与导数.ppt

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1、气气球球膨膨胀胀率率问问题题1 ,):(:,334rrVdmrLV 之间的函数关系是位单与半径单位气球的体积我们知道 .,343VVrVr 那么的函数表示为体积如果把半径 在吹气球的过程中在吹气球的过程中, 可发现可发现,随着气球内空气随着气球内空气容量的增加容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢气球的半径增加得越来越慢. 从数从数学的角度学的角度, 如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢? ,.,cmrrLV6200110 气球半径增加了时增加到从当空气容积 100.62/.10rrdm L气球的平均膨胀率为 ,.,dmrrLL1601221 增加了气球半径时增加到当空气容量从类似地 210.

2、16/.21rrdm L气球的平均膨胀率为.,胀率逐渐变小了它的平均膨随着气球体积逐渐变大可以看出?,均膨胀率是多少均膨胀率是多少气球的平气球的平时时增加到增加到当空气的容量从当空气的容量从思考思考21VV 2121r Vr VrVVV利用函数图象计算：利用函数图象计算：r(0)=_r(1) _r(2) _r(2.5) _r(4) _所以：所以：r(1)-r(0) 1-0_(dm/L)r(2)-r(1) 2-1_(dm/L)r(2.5)-r(2) 2.5-2_(dm/L)r(4)-r(2.5) 4-2.5_(dm/L)所以，随着气球体积逐渐变大，它的所以，随着气球体积逐渐变大，它的_逐渐变小了

3、。逐渐变小了。00.620.780.8510.620.160.140.10平均膨胀率平均膨胀率函数函数334Vr(V)=(0V5V5 )的图象为的图象为:在跳水运动中，运动员相对于水面高度在跳水运动中，运动员相对于水面高度h（单位（单位:m）与起跳后的）与起跳后的时间时间t(单位单位:s)存在函数关系：存在函数关系：h(t)= - 4.9 t2+6.5 t+10（如图）（如图）h(0.5) - h(0) 0.5 - 0 t:0 0.5时时, v=t:1 2时时, v= 4.05(m/s)h(2) h(1) 2 1= - 8.2(m/s)一般地一般地,t1 t2时时,v=h(t2) h(t1)

4、t2 t1答答: (1)不是。先上升，后下降。不是。先上升，后下降。(2)平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态平均速度只能粗略的描述运动员的运动状态它并不能反映某一刻的运动状态。它并不能反映某一刻的运动状态。计算运动员在计算运动员在0t t 这段时间这段时间里的平均速度：里的平均速度：v=_v=_，思考，思考下面的问题：下面的问题：(1)(1)运动员在这段时间里是静止运动员在这段时间里是静止 的吗？的吗？(2)(2)你认为用平均速度描述运动员你认为用平均速度描述运动员 的运动状态有什么问题？的运动状态有什么问题？65490m/s2121)()(xxxfxf在例在例2中：对于函数中：对于函数h

5、=-4.9t2+6.5t+10计算运动员在计算运动员在0s到到0.5s内的内的 平均速度平均速度)/(05. 405 . 0) 0( h) 5 . 0( hsmv在例在例1中：对于函数中：对于函数 当空气容量当空气容量从从V1增加到增加到V2时时,气球的气球的 平均膨胀率平均膨胀率)/()()(1212ldmvvvrvr一般地，函数一般地，函数f（x）在区间）在区间x1，x2上的上的 平均变化率平均变化率343vr 2121)()(xxxfxf1212xxxxxx，即表示习惯上用)()()()(1212xfxfyxfxfy，即表示用所以，平均变化率可以表示为：所以，平均变化率可以表示为：xxf

6、xxf)()(111212）（）（xxxfxfxy平均变化率平均变化率: 式子式子 2121()()f xf xxx令令x = x2 x1 , y = f (x2) f (x1) ,则则2121()() y f xf xxxx称为函数称为函数 f (x)从从x1到到 x2的平均变化的平均变化率率.平均变化率的定义：.,相乘相乘与与而不是而不是是一个整体符号是一个整体符号xx11221,;,.xxxxxyf xf x 可把看作是相对于的一个 增量 可用代替类似地,.yx于是 平均变化率可表示为1、式子中、式子中x 、 y 的值可正、可负，但的值可正、可负，但 的的x值不能为值不能为0， y 的值

7、可以为的值可以为0 y x2、若函数、若函数f (x)为常函数时，为常函数时， y =0 理解理解211121()()( )() f xf xf xxf xxxx3、变式、变式:2121()() y f xf xxxxl观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率 表示什么表示什么?121()()f xf xxx2xyoBx2f (x2)Ax1f (x1)f (x2)-f (x1)x2-x1直线AB的斜率y=f (x)思考 ?,1 . 1 . 11212表示什么变化率平均图的图象观察函数思考xxxfxfxyxfOxy 1xf 2xf xfy 12xfxf 12xx 1x2x111

8、.图图直线直线AB的斜率的斜率AB思考函数函数y=f(x)，从，从x1到到x2的平均变化率的平均变化率 =的几何意义是什么？的几何意义是什么？y yx xf(x2) f(x1) x2 x1答：连接函数图象上对应两点的割线的斜率答：连接函数图象上对应两点的割线的斜率例例 (1) 计算函数计算函数 f (x) = 2 x +1在区间在区间 3 , 1上的平均变化率上的平均变化率 ；(2) 求函数求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。的平均变化率。(1)解：解：y=f (-1)- f (-3)=4 x=-1- (-3)=2422yx(2)解：解：y=f (x+x)- f (x) =2x x+

9、(x )2 22()2yx xxxxxx 题型一：求函数的平均变化率题型一：求函数的平均变化率练习1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+x,-2+y),则y/x=( ) A . 3 B . 3x-(x)2 C . 3-(x)2 D . 3-x D3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率. 2.t2质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+ t)中相应的平均速度为( )9A. 6+ t B. 6+ t+ C.3+ t D.9+ tAx+2x01、已知自由落体的运动方程为、已知自由落体的运动方程为s= gt2，求，求:(1) 落体在落体在t0到到t0+

10、tt这段时间内的平均速度；这段时间内的平均速度；(2) 落体在落体在t t0=2=2秒到秒到t t1=2.1=2.1秒这段时间内的平均速度秒这段时间内的平均速度(g=10m/s(g=10m/s2 2) )。 122、过曲线、过曲线f(x)=x2上两点上两点P(1,1)和和Q(2,4)做曲线的割线，做曲线的割线，求割线求割线PQ的斜率的斜率k。 小结：小结：l 1.函数的平均变化率函数的平均变化率l2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量：y=f(x2)-f(x1); (2)计算平均变化率：1212)()( y xxxfxfx1212)()( y xxxfxfx（1）1, 3;（2）1

11、, 2;（3）1, 1.1;（4）1, 1.001; （5）1, 1.0001; 一一运动运动质点的位移质点的位移S与时间与时间t满足满足S(t)=t2,分别计算分别计算S(t)在下列区间上的平均变化率在下列区间上的平均变化率.(位移单位为位移单位为m,时间单位时间单位为为s) 432.12.0011.9991.991.92（6）0.999, 1;（7）0.99, 1;（8）0.9, 1.2.0001练一练练一练 如何刻画如何刻画t=1这一时刻这一时刻质点运动的快慢程度呢？质点运动的快慢程度呢？ 思考：思考：一、复习1.平均变化率:平均变化率的几何意义平均变化率的几何意义:割线的斜率割线的斜率

12、) 0()()()()(111212 xxxfxxfxxxfxfxyOABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y理解：理解：1，式子中，式子中x 、 y的值可正、可负，但的值可正、可负，但的的x值不能为值不能为0， y的值可以为的值可以为02，若函数，若函数f (x)为常函数时，为常函数时， y =0 3, 变式变式xxfxxfxxxfxf )() ()()(111212l 求函数的平均变化率的步骤求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量求函数的增量y=f(x2)-f(x1);(2)计算平均变化率计算平均变化率yx121)()f xxx2f(x

13、问题问题3 高台跳水高台跳水 在在高台跳水运动中高台跳水运动中,运动员相对于水面运动员相对于水面的高度的高度h(h(单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t t（单（单位：秒）存在函数关系位：秒）存在函数关系 h(th(t)=-4.9t)=-4.9t2 2+6.5t+10.+6.5t+10. 如何用运动员在某些时如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态地描述其运动状态? ?hto请计算请计算00.52:ttv 和1时的平均速度htoh(t)=-h(t)=-4.9t4.9t2 2+6.5t+10+6.5t+10(0.5)(0)00.54.05(

14、 / )0.5 0(2)(1)28.2( / )2 1hhtvm shhtvm s 在这段时间里，在1这段时间里， 计算运动员在计算运动员在 这段时间里的平均速度这段时间里的平均速度,并思考下面的问题并思考下面的问题:65049t 探究探究:(1) 运动员在这段时间里是静止的吗运动员在这段时间里是静止的吗?(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?65()(0)1049hh0hvt 在高台跳水运动中在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态他在这段时间里运动状态.我们把物体在某一时刻的速度称为

15、我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度瞬时速度. 如何求如何求瞬时速度呢瞬时速度呢?比如，比如，t=2时的瞬时时的瞬时速度是多少？速度是多少？ t是时间改变量，可以是正值，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为也可以是负值，但不为0。我们先考察我们先考察t=2附近的情况：附近的情况：在在t=2之前或之后，任意取一个时刻之前或之后，任意取一个时刻2+t，当当t0 时，时， 2+t 在在2之后。之后。 计算区间计算区间2+t ，2和区间和区间2，2 +t 内的平均速度内的平均速度 ，可以得到如下表格：，可以得到如下表格：vt0时时, 在在2, 2 +t 这这段时间内段时间内1 .139 .

16、 4tv1 .139 . 4tv051.13v当t = 0.01时,149.13v当t = 0.01时,0951.13v当t = 0.001时,1049.13v当t =0.001时,09951.13v当t = 0.0001时,10049.13v当t =0.0001时,099951.13vt = 0.00001,100049.13vt = 0.00001,0999951.13vt = 0.000001,1000049.13vt =0.000001,如何求（比如，如何求（比如， t=2时的）瞬时速度？时的）瞬时速度？通过列表看出平均速度的变化趋势通过列表看出平均速度的变化趋势 ： 当当 t 趋近于趋近于0时时, 即无论即无论 t 从小于从小于2的一边的一边, 还是从大于还是从大于2的一边趋近于的一边趋近于2时时, 平均速度都趋近与一个确定的值平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.1 .13 )2()2(lim0ththt 从物理的角度看从物理的角度看, 时间间隔时间间隔 |t |无限变小时无限变小时, 平均速度平均速度 就无限趋近于就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度时的瞬时速度. 因此