二项式定理典型例题解析.docx

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1、二项式定理概念篇【例I】求：项式的绽开式.分析：干脆利用二项式定理绽开.解：依据：项式定理得(-2，=C：/x，(-2协+C；/(-2Z4：m2/+C：(一2)=a*-8,(-()2+Cj(2x)2(-W)j+C)(一看J4C1.白P=3b2电-里理-J.X*8x732.1分析：；对较繁杂的式子，先化简再用：项式定理绽开.5C；(4.vV+C“4AY-3)+C；(4)j(3P+C(4.v)2(-3p+C(4)(-3)4+C,(-3)s=:(1024/一384+5760fT32M+1620.r-24332”=321*国-半+驾-与MXX48x732x0说明：记准、记熟：项式3+的绽开式是解答好与

2、二JS式定理有关向阳的前提条件.对较困难的二项式.有时先化简再绽开会更简便.【例3】在(X-75严的绽开式中,S的系数是.解法一：依据：项式定理可知V1的系数是C；.解法二：(X-3严的绽开式的通项是7=C0x,-3),.IO-r=6.即c4,由通项公式可知含产项为第5项，UP7i.1=C0(-3)4=9C;0.x*的系数为9C1上面的斛法一与解法二明显不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含Y这一项系数，而不是求含Y的二项式系数.所以应是解法二正确.假如问题改为求含/的二项式系数，解法一就正确了，也即是C；。.说明：螯留意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.:项式系数与项的系数是两个

3、不同的概念,前者仅与二项式的指数及项数有关与二项式无关,后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.【例4】已知二项式(34?严，3x(1)求其淀开式第四项的二项式系数：(2)求其扰开式第四项的系数：(3)求其第四项.分析：干脆用：项式定理艇开式.解：(36一三严的绽开式的通项是7H=C；(36严,(一三so，1.，10).3x3x(I)捉开式的第4项的二项式系数为Co=1.20.旋开式的第4项的系数为Cf037(-I/=-77760.1.I1.(3)捉开式的第4项为一77760(&)p,即一77760、，G.说明：留意把(3一金严写成3&+(?)?从而凑成二项式定理的形式.3x3x【例5】求二项

4、式Cr2+在严的地开式中的常数项.分析：城开式中第E项为C)IOF(众)。要使得它是常数项必需使，、”的指数为零，依匏是W=I.x0解：设第Z1.项为常数项，则I20-rIS。.尸CfO(Xy-(力)=CJ0*2()r(r=0.I.10).令20;r=a知m8.FE5噎.笫9项为常数项，其值为史.256说明：项式的绽开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采纳令通项7,1.中的变元的指数为零的方法求得常数项.例6(I)求(1+24绽开式中系数最大项：(2)求(I-Zx)T绽开式中系数最大项.分析：利用绽开式的通顶公式，可褥系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式,进而求出其呆人值

5、.价：设第皿项系数必大，则有产22仁2：Jr7!C；2，3C，r!(7-r)!(r-1.)!(7-r+1.)!7!2-7!_2r-r!(7-r)!(r+1.)!(7-r-1.)!*化筒得又.0SrW7.:r=5.系数G大项为7=C?25=672?.(2)斛：艇开式中柒有8项，系数最大JS必为正项，即在第一、三、五、七这四项中取得.又因(1.-2x)括号内的两项中后两项系数的肯定值大于前项系数的泞定值,故系数加大值必在中间或偏右，故只偌比较A和7,两项系数的大小即可.C?二2=C;i.所以系数C*(-2)64C；豉大项为笫五项，即7560d说明：本例中(的解法是求系数最大项的一般解法.(2)的解

6、法是通过对战开式多项分析，使解超过程犯到简化,比较简洁.【例7】(1+2)”的维开式中笫6项与第7项的系数相等，求绽开式中：顶式系数最大的项和系数呆大的项.分析：依据已知条件可求出”,再依据”的奇隅性确定二项式系数最大的项.解：K,=C2,，T=Cn2r)3依题旗有C：2aC：26,解得,r=8.(1.+2r)*的绽开式中，二项式系数最大的项为A=C：(2v)4=1I20三Z).则区的侬)A.肯定是奇数B.肯定是偶数C,与的奇偶性相反D,有相同的奇偶性分析一，形如二项式定理可以绽开后考查.解法一：由(立+1)=&+8，知&4+3(1.+五)=c11+c!,2*ci(2)1+ci(2j+-+CZ

7、(2).=1.+C(2)2+Ci(2)4+-.为奇数.答案：A分析1：选齐册的答案是唯一的，因此可以用特别值法.解法二：mN*,MZn=IW,(2*1.)=(2+1.),有加=1为奇数.取n=2时，(I+a=2i+5,有伤=5为奇数.答案；A【例9】若将(Ay+I)绽开为多项式经过合并同类项后它的项数为()A.I1B.33C.55D.66分析：d*看作二项式&+)+门院开.解：我的把x+y+二看成x+,按二项式将其淀开.共有I1.-项二即(K)+二严=U)(X+冷+2严=23(+)产r1*-0这时，由于“和1中各项二的指数各不相同，因此再将各个二项式(m.Y)HrA雄开，不同的乘积C：(I(X

8、+)严七伏=0,1,，10)淀开后，都不会出现同类项，下面,再分别考虑每一个乘积C：(I(AF严-P(D,1.，10).其中每一个乘积坡开后的项数由(+)严”确定.而且各项中X和丫的指数都不相同,也不会出现同类项.故原式绽开后的总项数为1I+I(H9+1=66.答案：D说明：化三项式为二项式是解决三项式问题的常用方法.【例10】求(IXI+-2)3绽开式中的常数项.分析：把原式变形为：顶式定理标准形态.解：.(g+%2洞一台汽绽开式的通项是=c;(7i/1z(-j1.r=(-1rcuE11r2r.若为常数项，W1.6-2r=0.r=3.；.绽开式的第4项为常数项，即7i=-C*=-20.说明：

9、对某些不是二项式,但又可化为二项式的题目,可先化为二项式.再求解.【例11】求(4一五户绽开式中的有理项.分析：绽开式中的有理项.就是遹限公式中的指数为整数的项.IZ7-r解：.1.=c;)9-xr=(-rcjx-r.令包二CZ,即4+=GZ,且m0,I,2.9.66r=3或r=9.当片3时.卫二=4.,=(-),Cy=-846当=9时，&H=3,1.0=(-c?=-?.6(x一表户的绽开式中的有理项是第4项一84V,笫10项一/.说明；利用：项绽开式的通项“可求筵开式中某些特定项.【例12若(3.1.1)=忒+“4+111.+f).求(1.)+G+m:(2)a+m+0m:如yc0(分析：所求

10、结果与各项系数有关可以考虑用“特别值”法，奥体解决.解：(I)令X=0.则=-1.令X=1.则n+6+I+5=2=128.tt+j=129.(2)令x=-1,K1I7+s+as+小+j+8+m+0o=(-4).由得:+wj+W0w+rt=,128+(-4)7=-8128.22说明：(I)本解法依据问时恒等式特点来用“特别值”法，这是一种曳要的方法，它用于恒等式.(2)-般地，对于多项式gdp.v+qrFi+ai.v+ex?+aH+a1.d+asF+aN+siagCr)谷项的系数和为期I)，内。的奇数攻的系数和为1.g(1.+(-1).K(X)的偶数项的系数和为:(1)(-1).【例13】证明下

11、列各式(1)1+2C!,+4C+2,CJ,+2CZ=3;(ChXC:尸+(C：F=C%：(3)C,+2C；+3C+nC=n2分析：(1)(2)与二项式定理的形式有相同之处可以用二项式定理，形如数列求和，因此可以探讨它的通项寻求规律.证明：在二项绽开式M+=C：3.(2)(1.+x)(1.+x)(1.+x)j,(1.+Ci.v+Cx2+-+C;xr+-+*)(1+C：*+：/+-+C,+Z)=(1+x)2.而CJn是(1+X户的绽开式中f的系数，由多项式的恒等定理，得cUci+c1.c：-,+-+c1.c：-+c：c=c1.；C；=C：F,OW1,.(C)2+(C1)2+-hc)2=c:,.证法

12、一：令5=C；,+2C：+3C：+,：.令S=C：+2C：+(-I)Ci*mC=wC;+(n-1.C1.+2C+C1.,=nCHn-DCt+2C-+C.由+得25=C：+mC：+mC：+-+C：=”（C：+C：+C：+C：+C）=n（C+C：+C：+C：+-+C：；）=n2rt.S=2si,BPC!1.+2Ci+3Ci+-+C2,.证法：；视察通项：ACj=A.原式=nc3+C1.+v3+C3+叱：二；=爪C。+C1.Y包3+CZZ)=n2n,.即C：+2C：+3C：+nC；=2,.说明：解法二中小：=MCs可作为性质记住.【例14求1.997精确到0.001的近似值.分析：精确运用二项式定理应把1.997拆成二项之和形式如1.997=2-0.003.解：1.997s=(2-0.3)s=2i-C240.(X)3Y；2)M)32-C2).(X35+加32-0.24+0.0007231,761.说明：利用二项式定理进行近似计算,关键是确定绽开式中的保留项，使其满意近似计算的精确度.【例15】求证:51.5,-1.能被7整除.