二面角大小的几种求法归类总结分析.docx

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1、二面角大小的几种求法二面角大小的求法中学问的综合性较强方法的敏捷性较大i股而言二面角的大小往往转化为其平面向的大小,从而乂化归为三角形的内角大小,在其求解过程中主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要学问。求二面角大小的关键是，依据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可干脆运用射影面枳公式求出二面角的大小.1.找寻有棱二面角的平面角的方法（定义法、三垂线法、垂面法射影面积法）一、定义法：利用二面角的平面向的定义,在二面角的枝上取一点（特别点.过该点在两个半平面内作垂直于极的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。要刷意用二面角的平面用

2、定义的三个“主要特征”来找出平面向。例空间三条射线CA、CP,CB,ZPCA=ZPCB=60o,ZACB=OOo,求二面用B-PC-A的大小.解：过PC上的点D分别作DE_1.AC于E,DF_1.BC于匕连EF.：.ZEDF为二面角B-PC-A的平面角，设CD=a.VZPCA=ZPCB=600.CE=CF=2a,DE=DF=回，X,VZACB=900,AEF=巴.ZEDF=FX1.1 .在三枝椎PABC中,日APB=aBPC=aCPA=600,求二面角APBC的氽弦（ft.2 .如图,已知二面向a等于120”.PAj.。，A.PBJ.,B.求NAPB的大小.在四犊推P-ABCD中,ABCD是正

3、方形.PAJ.平面ABa),PA=AB=a,求二面角BPCD的大小.二、三重线法：已知二面角其中一个面内一点到个面的垂践,用三垂规定理或逆定理作出二面角的平面角。例在四棱锥PABCD中,ABCD是平行四边形.PA_1.平面ABCD.PA=RB-a,NABo30.求二而痢P-BCA的大小。解：如图，PA_1.平面BD,过A作AH_1.Be于H,连结用I,WHI1.BC又AII1.BC,故/PI1.A是二面向P-BC-A的平面角.在RtZkABH中,AH=ABSinNABoaSin30=：a在RtAPHA中，tanZPIIA=PA1.1.=.WZHIA=arctan2.5 .在四棱傩PABCD中A

4、BCD是平行四边形PA_1.平面ABeD,PA=B=a,NABe=30.求二面角P-BC-A的大小。J6 .如图，在三棱惟P-ABC中，PAJ.平面ABC,PA=AB.AC=BC=I.ZACB=900.M是PB的中点.求证：BCIPC,(2)平面MAC及平面ABC所成的二面角的正切7 .ABC,A=90,AB=%AC=3,平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M,二面角P-AC-B的大小为45.求（I）二面角P-BC-A的大小：2二面角C-PB-A的大小.8 .如图，已知AABC中，AB1.BC.S为平面ABC外的一点，SA1.平面ABC,AMJ.SB于N,AN1.SC于N,求证平面

5、SABJ.平面SBC2求证/ANM是二面角A-SC-B的平面角.9 .笫8题的变式：如上图,已知AABC中,BBC.S为平面BC外的一点.SA_1.平面ABC.ZACB=600.SR=AC=a,（D求证平面SAB_1.平面SBC求二面角A-SCBC的正弦应10 .如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,（PJ棱AA1.长为I,底面为正方体且故长为2,E是是BC的中点,求IfOC1.DE及面CDE所成二而角的正切值.I1.,如图九平面.U平面E二=1,AC-，BGH.点A在直线I上的射影为A1.点B在】的射影为B1.已知B=2.A1=1.BB1=2.求：二面角AI-AB-BI的大小.三、垂面法

6、：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面及两个半平面的交线所成的角即为平面向，由此可知,二面角的平面角所在的平面及棱垂真例在四棱卷P-ABeI）中，ABCD是正方形，PAI平面ABCD,PA=AB=a,求B-Pe-D的十几解：（垂面法）如图.PAJ平面BDBD1.tC=JBRBC=1BD作平面BDH_1.PC于H=PC川、B1.1.=ZBIID为二面角BPCD的平面角.因PB=3a,BC=a,PC=ga.PBBC=SAPBC=PCBH则BH=DH.又BD=回在ABHD中由余弦定理,得：IXCosZBIID=,又0BHDA1条或2条交线B2条或3条交线C仅2条交战D1.条或2条或3条交

7、战3 .在300的二面角的一个面内有一个点,若它到另一个面的小禹是10,则它到校的距离是（）4 .在直二面角T-B中，RtAABC在平面内，斜边BC在棱I上，若RB及面B所成的角为600,则AC及平面6所成的角为（）A300B450C6005 .如图，射线BD、BA、BC两两相互垂直，AB=BC=I,BgIi|,则弧度数为;3的二面角是（）I).A-BD-CA.D-AC-BB.A-CO-BC.A-BC-D6.C.SBC=SA1B1C1sin。D.SABC=SAIB1.C1.cos07.如图，若P为二面角M-I-N的面N内一点，PBJ_1.B为垂足，R为1上一点，且NPAB=,PA及平面M所成角

8、为B.二面角M-I-N的大小为丫，则有（ASina=SinBSinYBSinB=SinSinYCsin=sinQsinBD以上都不对8 .在600的二:面角的校上有两点A、B,AC、BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，已知：Af1.=6.AC=3,BD=4,WJCD=.9 .已知aABC和平面,NA=300.ZB600.B=2.AB,且平面ABC及a所成角为300.则点C到平面a的距离为.10 .正方体Abcd-Aibicidi中,平面AA1.CIC和平面A1.BcD1.所成的二面角（锐角）为ABC在平面的射影是AA1B1C1,假如4ABC所在平面和平面成Q角，有（）11 .已知菱形的一个内角是600,边长为a,沿菱形较短的对角的折成大小为600的二面角,则菱形中含600题的两个顶点间的距离为.12 .如图，ZVUJC在平面内的射影为ARBC1.,若NABCI=,BC1.=a,I1.平面RBC及平面a所成的角为,求点C到平面a的距离13 .在二面角a-ABB的一个平面a内,有始终线Aa它及枝AB成450角,AC及平面成300角.求二面角aAB的度数。深化练习若二面角内一点到二面角的两个面的距肉分别为a和臼，